六年級奧數(shù)44、幾何圖形的計數(shù)

1、44、幾何圖形的計數(shù)【點與線的計數(shù)】例1如圖5.45，每相鄰的三個圓點組成一個小三角形，問：圖中是這樣的小三解形個數(shù)多還是圓點的個數(shù)多？（全國第二屆“華杯賽”決賽試題）講析：可用“分組對應(yīng)法”來計數(shù)。將每一排三角形個數(shù)與它的下行線進(jìn)行對應(yīng)比較。第一排三角形有1個，其下行線有2點；第二排三角形有3個，其下行線有3點；第三排三角形有5個，其下行線有4點；以后每排三角形個數(shù)都比它的下行線上的點多。所以是小三角形個數(shù)多。例2 直線m上有4個點，直線n上有5個點。以這些點為頂點可以組成多少個三角形？（如圖5.46）（哈爾濱市第十一屆小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）講析：本題只要數(shù)出各直線上有多少條線段，問題就好解決了

2、。直線n上有5個點，這5點共可以組成43+21=10（條）線段。以這些線段分別為底邊，m上的點為頂點，共可以組成410=40（個）三角形。同理，m上4個點可以組成6條線段。以它們?yōu)榈走叄詎上的點為頂點可以組成65=30（個）三角形。所以，一共可以組成70個三角形?！鹃L方形與三角形的計數(shù)】例1圖5.47中的正方形被分成9個相同的小正方形，它們一共有16個頂點，以其中不在一條直線上的3點為頂點，可以構(gòu)成三角形。在這些三角形中，與陰影三角形有同樣大小面積的有多少個？（全國第三屆“華杯賽”復(fù)賽試題）為3的三角形，或者高為2，底為3的三角形，都符合要求。底邊長為2，高為3的三角形有244=32（個）；

3、高為2，底邊長為3的三角形有82=16（個）。所以，包括圖中陰影部分三角形共有48個。例2 圖5.48中共有_個三角形。（現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)）邀請賽試題）講析：以AB邊上的線段為底邊，以C為頂點共有三角形6個；以AB邊上的線段為底邊，分別以G、H、F為頂點共有三角形3個；以BD邊上的線段為底邊，以C為頂點的三角形共有6個。所以，一共有15個三角形。例3 圖5.49中共有_個正方形。（現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽試題）講析：可先來看看圖5.50的兩個圖中，各含有多少個正方形。圖5.50（1）中，正方形個數(shù)是635241=32（個）；圖5.50（2）中，正方形個數(shù)是44+33+2211=30（個）如果把圖5.49

4、中的圖形，分成56和411兩個長方形，則：56的長方形中共有正方形56+45342312=70（個）；411的長方形中共有正方形411+310+2918=100（個）。兩個長方形相交部分45的長方形中含有正方形45+342312=40（個）。所以，原圖中共有正方形70100-40=130（個）。例4 平面上有16個點，排成一個正方形。每行、每列上相鄰兩點的距離都相等如圖5.51（1），每個點上釘上釘子。以這些點為頂點，用線將它們圍起來，一共可圍成_個正方形。（小學(xué)生科普報奧林匹克通訊賽試題）講析：能圍成圖5.51（2）的正方形共14（個）；能圍成圖5.51（3）的正方形共2（個）；能圍成圖5.

5、51（4）的正方形共4（個）。所以，一共可圍成正方形20個?！玖Ⅲw圖形的計數(shù)】例1 用125塊體積相等的黑、白兩種正方體，黑白相間地拼成一個大正方體（如圖5.52）。那么，露在表面上的黑色正方體的個數(shù)是_。（1991年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）講析：本題要注意不能重復(fù)計數(shù)。八個頂點上各有一個黑色正方體，共8個；每條棱的中間有一個黑色正方體，共12個；除上面兩種情況之外，每個面有5個黑色正方體，共56=30（個）。所以，總共有50個黑色正方體露在表面上。例2 把1個棱長為3厘米的正方體分割成若干個小正方體，這些小正方體的棱長必須是整數(shù)。如果這些小正方體的體積不要求都相等，那么，最少可以分割成_個小正方體。（北京市第九屆“迎春杯小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）講析：若分成的小正方體，則共可分成27個。但是分割時，要求正方體盡可能地少