高中數(shù)學(xué)備課資料 3.2 奇偶性 新人教A版必修1（通用）

1、備課資料奇、偶函數(shù)的性質(zhì)(1)奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.(2)奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對定義域內(nèi)任意一個x都必須成立.(3)f(-x)=f(x)f(x)是偶函數(shù)，f(-x)=-f(x)f(x)是奇函數(shù).(4)f(-x)=f(x)f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0.(5)兩個奇函數(shù)的和(差)仍是奇函數(shù)，兩個偶函數(shù)的和(差)仍是偶函數(shù).奇偶性相同的兩個函數(shù)的積(商、分母不為零)為偶函數(shù)，奇偶性相反的兩個函數(shù)的積(商、分母不為零)為奇函數(shù)；如果函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相同，那么復(fù)合函數(shù)y=fg

2、(x)是偶函數(shù)，如果函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相反，那么復(fù)合函數(shù)y=fg(x)是奇函數(shù)，簡稱為“同偶異奇”.(6)如果函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)，那么f(x)在區(qū)間(a,b)和(-b,-a)上具有相同的單調(diào)性；如果函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)在區(qū)間(a,b)和(-b,-a)上具有相反的單調(diào)性.(7)定義域關(guān)于原點對稱的任意函數(shù)f(x)可以表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和，即f(x)=.(8)若f(x)是(-a,a)(a0)上的奇函數(shù)，則f(0)0；若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則f(x)=f(-x)=f(|x|)=f(-|x|).若函數(shù)y=f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則有f(x

3、)=0.本章復(fù)習(xí)整體設(shè)計教學(xué)分析本節(jié)課是對第一章的基本知識和方法的總結(jié)與歸納，從整體上來把握本章，使學(xué)生的基本知識系統(tǒng)化和網(wǎng)絡(luò)化，基本方法條理化.本章三部分內(nèi)容是獨立的，但是又相互聯(lián)系，集合是基礎(chǔ)，用集合定義函數(shù)，將函數(shù)拓展為映射，層層深入，環(huán)環(huán)相扣，組成了一個完整的整體.三維目標(biāo)通過總結(jié)和歸納集合與函數(shù)的知識，能夠使學(xué)生綜合運用知識解決有關(guān)問題，培養(yǎng)學(xué)生分析、探究和思考問題的能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)分類討論的思想和抽象思維能力.重點難點教學(xué)重點：集合與函數(shù)的基本知識.含有字母問題的研究.抽象函數(shù)的理解.教學(xué)難點：分類討論的標(biāo)準(zhǔn)劃分.抽象函數(shù)的理解.課時安排1課時教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路

4、1.建設(shè)高樓大廈的過程中，每建一層，都有質(zhì)量檢查人員驗收，合格后，再繼續(xù)建上一層，否則返工重建.我們學(xué)習(xí)知識也是這樣，每學(xué)完一個章節(jié)都要總結(jié)復(fù)習(xí)，引出課題.思路2.為了系統(tǒng)掌握第一章的知識，教師直接點出課題.推進(jìn)新課新知探究提出問題第一節(jié)是集合，分為幾部分？第二節(jié)是函數(shù)，分為幾部分？第三節(jié)是函數(shù)的基本性質(zhì)，分為幾部分？畫出本章的知識結(jié)構(gòu)圖.活動：讓學(xué)生自己回顧所學(xué)知識或結(jié)合課本，重新對知識整合，對沒有思路的學(xué)生，教師可以提示按課本的章節(jié)標(biāo)題來分類.對于畫知識結(jié)構(gòu)圖，學(xué)生可能比較陌生，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先畫一個本班班委的結(jié)構(gòu)圖或?qū)W校各個處室的關(guān)系結(jié)構(gòu)圖，待學(xué)生了解了簡單的畫法后，再畫本章的知識結(jié)構(gòu)

5、圖.討論結(jié)果:分為：集合的含義、集合間的基本關(guān)系和集合的運算三部分.分為：定義、定義域、解析式、值域四部分；其中又把函數(shù)的概念拓展為映射.分為：單調(diào)性、最值和奇偶性三部分.第一章的知識結(jié)構(gòu)圖如圖1-1所示，圖1-1應(yīng)用示例思路1例1若P=x|y=x2,Q=(x,y)|y=x2,xR，則必有( )A.PQ= B.PQ C.P=Q D.PQ分析：從選項來看，本題是判斷集合P,Q的關(guān)系，其關(guān)鍵是對集合P,Q的意義的理解.集合P是函數(shù)y=x2的定義域，則集合P是數(shù)集，集合Q是函數(shù)y=x2的圖象上的點組成的集合，則集合Q是點集，PQ=.答案：A點評：判斷用描述法表示的集合間關(guān)系時，一定要搞清兩集合的含義

6、，明確集合中的元素.形如集合x|xP(x),xR是數(shù)集，形如集合(x,y)|x、yP(x,y),x、yR是點集，數(shù)集和點集的交集是空集.變式訓(xùn)練1.2020山東威海一模，文1設(shè)集合M=x| x1，P=x| x2-6x+9=0，則下列關(guān)系中正確的是( )A.M=P B.PM C.MP D.MP=R分析：P=3，31,3M.PM.答案：B2.2020河南周口高三期末調(diào)研，理6定義集合A與B的運算A*B=x|xA或xB,且xAB,則(A*B)*A等于( )A.AB B.AB C.A D.B分析：設(shè)A=1,2,3,4,B=1,2,5,6,7,則A*B=3,4,5,6,7，于是(A*B)*A=1,2,5

7、,6,7=B.答案：D點評：解決新定義集合運算問題的關(guān)鍵是抓住新運算定義的本質(zhì)，本題A*B的本質(zhì)就是集合A與B的并集中除去它們公共元素組成的集合.例2求函數(shù)y=x2+1的最小值.分析：思路一:利用實數(shù)運算的性質(zhì)x20，結(jié)合不等式的性質(zhì)得函數(shù)的最小值；思路二:直接利用二次函數(shù)的最值公式，寫出此函數(shù)的最小值.解：方法一（觀察法）函數(shù)y=x2+1的定義域是R,觀察到x20.x2+11.函數(shù)y=x2+1的最小值是1.方法二:（公式法）函數(shù)y=x2+1是二次函數(shù)，其定義域是xR，則函數(shù)y=x2+1的最小值是f(0)=1.點評：求函數(shù)最值的方法：觀察法：當(dāng)函數(shù)的解析式中僅含有x2或|x|或時，通常利用常見

8、的結(jié)論x20,|x|0,0等，直接觀察寫出函數(shù)的最值；公式法：求基本初等函數(shù)（正、反比例函數(shù)，一次、二次函數(shù)）的最值時，應(yīng)用基本初等函數(shù)的最值結(jié)論（看成最值公式），直接寫出其最值.例3求函數(shù)y=的最大值和最小值.分析：把變量y看成常數(shù)，則函數(shù)的解析式可以整理成必有實數(shù)根的關(guān)于x的方程，利用判別式的符號得關(guān)于y的不等式，解不等式得y的取值范圍，從而得函數(shù)的最值.解：（判別式法）由y=得yx2-3x+4y=0，xR， 關(guān)于x的方程yx2-3x+4y=0必有實數(shù)根.當(dāng)y=0時，則x=0.故y=0是一個函數(shù)值；當(dāng)y0時，則關(guān)于x的方程yx2-3x+4y=0是一元二次方程,則有=(-3)2-44y20.

9、0y2.y0或0y.綜上所得，y. 函數(shù)y=的最小值是，最大值是.點評：形如函數(shù)y=(d0)，當(dāng)函數(shù)的定義域是R（此時e2-4df0）時，常用判別式法求最值，其步驟是把y看成常數(shù)，將函數(shù)解析式整理為關(guān)于x的方程的形式mx2+nx+k=0；分類討論m0是否符合題意；當(dāng)m0時，關(guān)于x的方程mx2+nx+k=0中有xR，則此一元二次方程必有實數(shù)根，得n2-4mk0即關(guān)于y的不等式，解不等式組此不等式組的解集與中y的值取并集得函數(shù)的值域，從而得函數(shù)的最大值和最小值.例42020河南開封一模，文10函數(shù)f(x)=x2-2ax+a在區(qū)間（-，1）上有最小值，則函數(shù)g(x)=在區(qū)間（1，+）上一定( )A.

10、有最小值 B.有最大值 C.是減函數(shù) D.是增函數(shù)分析：函數(shù)f(x)=x2-2ax+a的對稱軸是直線x=a，由于函數(shù)f(x)在開區(qū)間（-，1）上有最小值，所以直線x=a位于區(qū)間（-，1）內(nèi)，即a1.g(x)=，下面用定義法判斷函數(shù)g(x)在區(qū)間（1，+）上的單調(diào)性.設(shè)1x1x2，則g(x1)-g(x2)=(x1+-2)-(x2+-2)=(x1-x2)+()=(x1-x2)(1)=(x1-x2).1x1x2，x1-x210.又aa.x1x2-a0.g(x1)-g(x2)0.g(x1)2p-1，解得p2.當(dāng)B時，則有解得2p3.綜上所得實數(shù)p的取值范圍是p2或2p3,即(-,3.點評：本題是已知集

11、合運算的結(jié)果，求參數(shù)的值，解決此類問題的關(guān)鍵是依據(jù)集合運算的含義，觀察明確各集合中的元素，要注意集合元素的互異性在解決含參數(shù)集合問題中的作用；空集是一個特殊的集合，是任何集合的子集，求解有關(guān)集合間的關(guān)系問題時一定要首先考慮空集；要重視常見結(jié)論AB=BAB=ABA的應(yīng)用，此時通常要分類討論解決集合問題，分類討論時要考慮全面，做到不重不漏.例2求函數(shù)y=|x+2|-|x-2|的最小值.分析：思路一:畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)最小值的幾何意義，寫出函數(shù)的最小值；思路二:利用絕對值的幾何意義，轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的幾何問題：數(shù)軸上到2兩點的距離和的最小值.解：方法一（圖象法）:y=|x+2|-|x-2|=-4,

12、2x,4, x-2,-2x0，求證：f(x)在(-1，1)上是減函數(shù).分析：（1）定義法證明，利用賦值法獲得f(0)的值進(jìn)而取x=-y是解題關(guān)鍵；（2）定義法證明，其中判定的范圍是關(guān)鍵.解： (1)函數(shù)f(x)的定義域是(-1，1)，由f(x)+f(y)=f()，令x=y=0,得f(0)+f(0)=f()，f(0)=0.令y=-x,得f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0,f(-x)=-f(x). f(x)為奇函數(shù).(2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，令0x1x21,則f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f()f().0x1x20,1-x1x20，0.又(x2-x1)-

13、(1-x1x2)=(x2-1)(x1+1)0，0x2-x11-x1x2.-10.由題意知f()0，f(x1)f(x2).f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)，f(x)在(-1，1)上也是減函數(shù).點評：對于抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性問題時，必用單調(diào)性和奇偶性的定義來解決，即定義法是解決抽象函數(shù)單調(diào)性和奇偶性問題的通法；判斷抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性時，在依托定義的基礎(chǔ)上，用好賦值法，注意賦值的科學(xué)性、合理性， 知能訓(xùn)練1.2020陜西高考，文1已知集合P=xN|1x10,集合Q=xR|x2+x-6=0,則PQ等于( )A.1,2,3 B.2,3 C.1,2 D.2分析：明確集合P、Q的

14、運算，依據(jù)交集的定義求P=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，Q=-3,2,則PQ2.答案：D點評：解決本題關(guān)鍵是集合P是大于等于1且小于等于10的自然數(shù)組成的集合，集合Q是方程x2+x-6=0的解集，將這兩個集合化簡后再運算.2.2020安徽高考，文1設(shè)全集U=1,2,3,4,5,6,7,8，集合S=1,3,5，T=3,6，則(ST)等于( )A. B.2,4,7,8 C.1,3,5,6 D.2,4,6,8分析：直接觀察（或畫出Venn圖）得ST=1,3,5,6，則(ST)2,4,7,8.答案：B點評：求解用列舉法表示的數(shù)集運算時，首先看清集合元素的特征，理解并確定集合中的元素，最后通

15、過觀察或借助于數(shù)軸、Venn圖寫出運算結(jié)果.3.已知二次函數(shù)f（x）滿足條件f（0）=1和f（x1）-f（x）=2x.（1）求f（x）；（2）求f（x）在區(qū)間-1，1上的最大值和最小值.分析：（1）由于已知f（x）是二次函數(shù)，用待定系數(shù)法求f（x）；（2）結(jié)合二次函數(shù)的圖象，寫出最值.解：（1）設(shè)f（x）ax2bxc，由f（0）1，可知c1.而f（x1）-f（x）a（x1）2b（x1）c-（ax2bxc）2axab.由f（x1）-f（x）2x，可得2a2，ab0.因而a1，b-1.故f（x）x2-x1.（2）f(x)=x2-x+1=(x-)2+，當(dāng)x-1，1時，f（x）的最小值是f()=，f（

16、x）的最大值是f（-1）3.拓展提升問題：某人定制了一批地磚.每塊地磚 (如圖14所示）是邊長為0.4米的正方形ABCD，點E、F分別在邊BC和CD上，CFE、ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成CFE、ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價格之比依次為321.若將此種地磚按圖15所示的形式鋪設(shè)，能使中間的深色陰影部分成四邊形EFGH.(1) 求證：四邊形EFGH是正方形；(2) E、F在什么位置時，定制這批地磚所需的材料費用最省？圖1-4圖1-5思路分析：（1）由于四塊地磚拼出了四邊形EFGH，只需證明CFE、CFG、CGH、CEH為等腰直角三角形即可；（2）建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.設(shè)CE=x，每塊地磚的費用為W，求出函數(shù)W=f(x)的解析式，轉(zhuǎn)化為討論求函數(shù)的最小值問題.解：(1)圖1-5可以看成是由四塊如圖1-4所示地磚繞點C按順時針旋轉(zhuǎn)90后得到，則有CE=CF，ECF=90,CFE為等腰直角三角形，同理可得CFG、CGH、CEH為等腰直角三角形. 四邊形EFGH是正方形.(2)設(shè)CE=x，則BE=0.4-x，每塊地磚的費用為W，設(shè)制成CFE、ABE和四邊形AEFD三種材料的每平方米價格依次為3a、2a、a(元)，W=x23a+0.4(0