高中數(shù)學(xué) 立體幾何同步和單元試題 蘇教版必修2（通用）

1、第九章 直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體1、平面的基本性質(zhì)1 下面是一些命題的敘述語,其中命題和敘述方法都正確的是（ ）A， B，C， D，2下列推斷中，錯(cuò)誤的是（ ）A C，且A,B,C不共線重合 B D3兩個(gè)平面把空間最多分成_ 部分，三個(gè)平面把空間最多分成_部分4判斷下列命題的真假，真的打“”，假的打“” （1）空間三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面 （ ）（2）兩個(gè)平面若有不同的三個(gè)公共點(diǎn)，則兩個(gè)平面重合（ ） （3）兩條直線可以確定一個(gè)平面（ ）（4）若四點(diǎn)不共面，那么每三個(gè)點(diǎn)一定不共線（ ） （5）兩條相交直線可以確定一個(gè)平面（ ）（6）三條平行直線可以確定三個(gè)平面（ ） （7）一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一

2、個(gè)平面（ ）（8）兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面（ ）5看圖填空 （1）ACBD= （4）平面A1C1CA平面D1B1BD= （2）平面AB1平面A1C1= （5）平面A1C1平面AB1平面B1C= （3）平面A1C1CA平面AC= （6）A1B1B1BB1C1= 66選擇題（1）下列圖形中不一定是平面圖形的是（ ）A三角形B菱形C梯形D四邊相等的四邊形（2）空間四條直線每?jī)蓷l都相交，最多可以確定平面的個(gè)數(shù)是（ ）A 1個(gè)B 4個(gè)C 6個(gè)D 8個(gè)（3）空間四點(diǎn)中，無三點(diǎn)共線是四點(diǎn)共面的（ ） （A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要7已知直線a/b/c，

3、直線d與a、b、c分別相交于A、B、C，求證：a、b、c、d四線共面. 答案：1. C 2. D 3. 2,4,8 4. 5.OA1B1OOO1B1B16. 答案： D C D7. 證明：因?yàn)閍/b，由推論3，存在平面，使得又因?yàn)橹本€d與a、b、c分別相交于A、B、C，由公理1，下面用反證法證明直線：假設(shè)，則,在平面內(nèi)過點(diǎn)C作，因?yàn)閎/c，則，此與矛盾.故直線.綜上述，a、b、c、d四線共面. 2、線線問題及線面平行問題1判斷題（對(duì)的打“”，錯(cuò)的打“”） （1）垂直于兩條異面直線的直線有且只有一條（ ）EAFBCMND （2）兩線段AB、CD不在同一平面內(nèi)，如果AC=BD，AD=BC，則ABC

4、D（ ） （3）在正方體中，相鄰兩側(cè)面的一對(duì)異面的對(duì)角線所成的角為60（ ） （4）四邊形的一邊不可能既和它的鄰邊垂直，又和它的對(duì)邊垂直（ ）2右圖是正方體平面展開圖，在這個(gè)正方體中BM與ED平行；CN與BE是異面直線；CN與BM成60角；DM與BN垂直.以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（ ）（A）（B）（C）（D）3已知空間四邊形ABCD.(1)求證：對(duì)角線AC與BD是異面直線;(2)若ACBD,E,F,G,H分別這四條邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),試判斷四邊形EFGH的形狀;(3)若ABBCCDDA,作出異面直線AC與BD的公垂線段.翰林匯4完成下列證明，已知直線a、b、c不共面，它們相

5、交于點(diǎn)P，Aa，Da，Bb，Ec求證：BD和AE是異面直線證明：假設(shè)_ 共面于g，則點(diǎn)A、E、B、D都在平面_內(nèi) QAa，Da，_. QPa，P_.QPb，Bb，Pc，Ec _g，_g，這與_矛盾 BD、AE_5 已知分別是空間四邊形四條邊的中點(diǎn)，（1）求證四邊形是平行四邊形（2）若ACBD時(shí)，求證：為矩形；（3）若BD=2，AC=6，求；（4）若AC、BD成30角，AC=6，BD=4，求四邊形的面積；（5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC與BD間的距離.6 空間四邊形中，分別是的中點(diǎn)，求異面直線所成的角7. 在正方體ABCDA1B1C1D1中,求(1)A1B與B1D1所成角;

6、(2)AC與BD1所成角.翰林匯翰林匯8在長(zhǎng)方體中，已知AB=a，BC=b，=c(ab)，求異面直線與AC所成角的余弦值 9如圖，已知是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）若， 求異面直線與所成的角的大小10如圖,正方形與不在同一平面內(nèi),、分別在、上，且求證：平面參考答案：1.（1） （2） （3） （4） 2. C3. 證明：(1)ABCD是空間四邊形,A點(diǎn)不在平面BCD上,而C平面BCD,AC過平面BCD外一點(diǎn)A與平面BCD內(nèi)一點(diǎn)C,又BD平面BCD,且CBD.AC與BD是異面直線.(2)解如圖,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),EF/AC,且EF=AC.同理HG

7、/AC,且HG=AC.EF平行且相等HG,EFGH是平行四邊形.又F,G分別為BC,CD的中點(diǎn),FG/BD,EFG是異面直線AC與BD所成的角.ACBD,EFG=90o.EFGH是矩形.(3)作法取BD中點(diǎn)E,AC中點(diǎn)F,連EF,則EF即為所求.4. 答案：假設(shè)BD、AE共面于g，則點(diǎn)A、E、B、D都在平面 g 內(nèi)Aa，Da， a g. Pa，P g .Pb，Bb，Pc，Ec. b g，c g，這與a、b、c不共面矛盾BD、AE是異面直線翰林5. 證明（1）：連結(jié)，是的邊上的中點(diǎn)，同理，同理，所以，四邊形是平行四邊形證明（2）：由（1）四邊形是平行四邊形，由ACBD得，為矩形.解（3）：由（1

8、）四邊形是平行四邊形BD=2，AC=6，由平行四邊形的對(duì)角線的性質(zhì) .解（4）：由（1）四邊形是平行四邊形BD=4，AC=6，又，AC、BD成30角，EF、EH成30角，四邊形的面積 .解（5）：分別取AC與BD的中點(diǎn)M、N,連接MN、MB、MD、NA、NC，AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，MBMDNANC，MN是AC與BD的公垂線段且 AC與BD間的距離為. 6. 解：取中點(diǎn)，連結(jié)，分別是的中點(diǎn)，且，異面直線所成的角即為所成的角，在中，異面直線所成的角為7. 解(1)如圖,連結(jié)BD,A1D,ABCD-A1B1C1D1是正方體,DD1平行且相等BB1.DBB1D1為平行四邊形,BD/B

9、1D1.A1B,BD,A1D是全等的正方形的對(duì)角線.A1B=BD=A1D,A1BD是正三角形,A1BD=60o,A1BD是銳角,A1BD是異面直線A1B與B1D1所成的角.A1B與B1D1成角為60o.(2)連BD交AC于O,取DD1 中點(diǎn)E,連EO,EA,EC.O為BD中點(diǎn),OE/BD1.EDA=90o=EDC,ED=ED,AD=DC,EDAEDC,EA=EC.在等腰EAC中,O是AC的中點(diǎn),EOAC,EOA=90o.又EOA是異面直線AC與BD1所成角,AC與BD1成角90o. 8. 解(1)如圖,連結(jié)BD,A1D,ABCD-A1B1C1D1是正方體,DD1平行且相等BB1.DBB1D1為

10、平行四邊形,BD/B1D1.A1B,BD,A1D是全等的正方形的對(duì)角線.A1B=BD=A1D,A1BD是正三角形,A1BD=60o,A1BD是銳角,A1BD是異面直線A1B與B1D1所成的角.A1B與B1D1成角為60o.(2)連BD交AC于O,取DD1 中點(diǎn)E,連EO,EA,EC.O為BD中點(diǎn),OE/BD1.EDA=90o=EDC,ED=ED,AD=DC,EDAEDC,EA=EC.在等腰EAC中,O是AC的中點(diǎn),EOAC,EOA=90o.又EOA是異面直線AC與BD1所成角,AC與BD成角90o. 9. 略證（1）取PD的中點(diǎn)H，連接AH， 為平行四邊形解(2): 連接AC并取其中點(diǎn)為O，連

11、接OM、ON，則OM平行且等于BC的一半，ON平行且等于PA的一半，所以就是異面直線與所成的角，由，得，OM=2，ON=所以，即異面直線與成的角10. 略證：作分別交BC、BE于T、H點(diǎn)從而有MNHT為平行四邊形3、線面垂直問題1（1）“直線垂直于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線”是“a”的（ ）（A）充分條件（B）必要條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件（2）如果一條直線與平面a的一條垂線垂直，那么直線與平面a的位置關(guān)系是（ ）（A）a （B）a （C）a （D）a或a 答案：（1）B (2)D2（1）過直線外一點(diǎn)作直線的垂線有 條；垂面有 個(gè)；平行線有 條；平行平面有 個(gè).（2）過平面外一點(diǎn)作

12、該平面的垂線有 條；垂面有 個(gè)；平行線有 條；平行平面有 個(gè).答案：（1）無數(shù)，一，一，無數(shù)；（2）一，無數(shù)，無數(shù)，一3能否作一條直線同時(shí)垂直于兩條相交直線？能否作一條直線同時(shí)垂直于兩個(gè)相交平面？為什么？ 答案：（能，而且有無數(shù)條） （不能）4拿一張矩形的紙對(duì)折后略為展開，豎立在桌面上，說明折痕為什么和桌面垂直答案：因?yàn)檎酆鄞怪庇谧烂鎯?nèi)的兩條相交直線.5一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條平行直線，這條直線垂直于這個(gè)平面嗎？為什么？答案：不一定.因?yàn)檫@條直線可能與這個(gè)平面斜交或在其內(nèi).6過一點(diǎn)和一條直線垂直的平面是否只有一個(gè)？為什么？答案：是.假若有兩個(gè)平面過點(diǎn)A都于垂直，過這條公共垂線作一個(gè)不經(jīng)過

13、兩平面的交線的平面，與分別相交于直線且，從而有，此與矛盾.7如果三條直線共點(diǎn)，且兩兩垂直，問其中一條直線是否垂直于另兩條直線所確定的平面答案：是8點(diǎn)為所在平面外的一點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)在平面內(nèi)的射影，若，求證：證明：連結(jié)，且（三垂線定理逆定理）同理，為的垂心，又，（三垂線定理）9如圖，已知ABCD是矩形，SA平面ABCD，E是SC上一點(diǎn)求證：BE不可能垂直于平面SCD證明：用到反證法，假設(shè)BE平面SCD， ABCD；ABBE ABSB，這與RtSAB中SBA為銳角矛盾 BE不可能垂直于平面SCD 10 已知：空間四邊形，求證：證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，平面，又平面，4、空間向量坐標(biāo)運(yùn)算 二面角與距離1設(shè)，且，

14、記，求與軸正方向的夾角的余弦值2在ABC中，已知AB(2,4,0),BC(1,3,0)，則ABC3已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5)，求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；若向量分別與向量垂直，且|，求向量的坐標(biāo)4直角的斜邊在平面內(nèi)，與所成角分別為，是斜邊上的高線，求與平面所成角的正弦值5如果二面角的平面角是銳角，點(diǎn)到的距離分別為，求二面角的大小6如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，求：（1）與所成角；（2）與平面所成角的正切值；（3）平面與平面所成角7已知正方體的棱長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)，是對(duì)角線的中點(diǎn)，（1）求證：是異面直線和的公垂線；（2）求異面直線和的距離參考答案：1設(shè)，且

15、，記，求與軸正方向的夾角的余弦值解：取軸正方向的任一向量，設(shè)所求夾角為，即為所求2在ABC中，已知AB(2,4,0),BC(1,3,0)，則ABC解： ABC453已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5)求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；若向量分別與向量垂直，且|，求向量的坐標(biāo)分析：BAC60，設(shè)(x,y,z)，則解得xyz1或xyz1，(1,1,1)或(1，1，1).4直角的斜邊在平面內(nèi)，與所成角分別為，是斜邊上的高線，求與平面所成角的正弦值解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，則，為所求與所成角，記為，令，則，則在中，有在中，與平面所成角的正弦值.5如果二面角的平面角是銳角，

16、點(diǎn)到的距離分別為，求二面角的大小分析：點(diǎn)可能在二面角內(nèi)部，也可能在外部，應(yīng)區(qū)別處理解：如圖1是點(diǎn)在二面角的內(nèi)部時(shí)，圖2是點(diǎn)在二面角外部時(shí)， 面同理，面而面面面與面應(yīng)重合即在同一平面內(nèi)，則是二面角的平面角在中， 在中， 故（圖1）或（圖2）即二面角的大小為或說明：作一個(gè)垂直于棱的平面，此平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角就是二面角的平面角6如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，求：（1）與所成角；（2）與平面所成角的正切值；（3）平面與平面所成角解：（1） 與所成角就是平面 （三垂線定理）在中， （2）作，平面平面平面，為與平面所成角在中， （3） 平面又平面 平面平面即平面與平面所成角為7已知正方體的棱長(zhǎng)為，是

17、的中點(diǎn)，是對(duì)角線的中點(diǎn)，（1）求證：是異面直線和的公垂線；（2）求異面直線和的距離解：（1）解法一：延長(zhǎng)交于，則為的中點(diǎn)， ，連結(jié)，則，又是的中點(diǎn)，是異面直線和的公垂線（2）由（1）知，解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)運(yùn)算證明（略）引申：求與間的距離解法一：（轉(zhuǎn)化為到過且與平行的平面的距離）連結(jié)，則/，/平面，連，可證得，平面，平面平面，且兩平面的交線為，過作，垂足為，則即為與平面的距離，也即與間的距離，在中，（解法二）：坐標(biāo)法：以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，由（解法一）求點(diǎn)到平面的距離，設(shè)，在平面上，即，解得：，解法三：直接求與間的距離設(shè)與的公垂線為，且，設(shè)，

18、設(shè)，則，同理，解得：，5、棱柱與棱錐1判斷下列結(jié)論是否正確，為什么？（1）有一個(gè)面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐；（2）正四面體是四棱錐；（3）側(cè)棱與底面所成的角相等的棱錐是正棱錐；（4）側(cè)棱長(zhǎng)相等，各側(cè)面與底面所成的角相等的棱錐是正棱錐2 如圖平行六面體中，求對(duì)角面的面積3已知：正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，（1）求二面角的大?。唬?）求點(diǎn)到平面的距離4棱長(zhǎng)為的正方體中，分別為棱上的動(dòng)點(diǎn)，且，（1）求證：；（2）當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，求二面角的大小5 如圖，M、N分別是棱長(zhǎng)為1的正方體的棱、的中點(diǎn)求異面直線MN與所成的角6在三棱錐中，為正三角形，為中點(diǎn)，二面角為，（1）求證：；（

19、2）求與底面所成的角，（3）求三棱錐的體積CBOC1B1A1A7 斜三棱柱的底面的邊長(zhǎng)是4cm的正三角形,側(cè)棱長(zhǎng)為3cm,側(cè)棱與底面相鄰兩邊都成角.(1)求證:側(cè)面是矩形;(2)求這個(gè)棱柱的側(cè)面積;(3)求棱柱的體積.參考答案：1判斷下列結(jié)論是否正確，為什么？（1）有一個(gè)面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐，（2）正四面體是四棱錐，（3）側(cè)棱與底面所成的角相等的棱錐是正棱錐，（4）側(cè)棱長(zhǎng)相等，各側(cè)面與底面所成的角相等的棱錐是正棱錐答：（1）錯(cuò) ，（2）錯(cuò)，（3）錯(cuò)，（4）對(duì)2 如圖平行六面體中，求對(duì)角面的面積解：，所以，對(duì)角面是矩形，它的面積是3已知：正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，（1

20、）求二面角的大??；（2）求點(diǎn)到平面的距離解：（1）連結(jié)，設(shè)交于，連結(jié)，是正方形，又底面，是二面角的平面角，在中，又，二面角為（2）作于，平面，平面，即為點(diǎn)到平面的距離，在等腰直角三角形中，所以，點(diǎn)到平面的距離為4棱長(zhǎng)為的正方體中，分別為棱上的動(dòng)點(diǎn)，且，（1）求證：；（2）當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，求二面角的大小證：（1）以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，（2）由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)分別為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連，則，根據(jù)三垂線定理知，即為二面角的平面角，在中，在中，所以，二面角的大小是5 如圖，M、N分別是棱長(zhǎng)為1的正方體的棱、的中點(diǎn)求異面直線MN與所成的角解：，()，又，

21、cos，即異面直線MN與所成的角為6在三棱錐中，為正三角形，為中點(diǎn)，二面角為，（1）求證：；（2）求與底面所成的角，（3）求三棱錐的體積解：（1）取的，連結(jié)，則，由，知，由為正三角形，得，又，平面，平面，（2）作，垂足為，平面，平面，平面，與底面所成的角，由，知是二面角的平面角，又，與底面所成的角為（3）為中點(diǎn)，到平面的距離，CBOC1B1A1A7 斜三棱柱的底面的邊長(zhǎng)是4cm的正三角形,側(cè)棱長(zhǎng)為3cm,側(cè)棱與底面相鄰兩邊都成角.(1)求證:側(cè)面是矩形;(2)求這個(gè)棱柱的側(cè)面積;(3)求棱柱的體積.證明(1):與所成的角都為,A在面ABC上的射影O在的平分線上.又是正三角形 .又, ,四邊形是

22、矩形.(2)解:,又,.另法：可以作出直截面. (3)解:作,垂足為E,連結(jié)AE,則. 在中, 在中, 在中, 6、歐拉定理與球 1 一個(gè)面體共有8條棱，5個(gè)頂點(diǎn)，求2一個(gè)正面體共有8個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處共有三條棱，求3一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的各面都是三角形，證明它的頂點(diǎn)數(shù)V和面數(shù)F有下面的關(guān)系：F2V44有沒有棱數(shù)是7的簡(jiǎn)單多面體？說明理由5是否存在這樣的多面體，它有奇數(shù)個(gè)面，且每一個(gè)面都有奇數(shù)條邊6過球面上任意兩點(diǎn)，作球的大圓的個(gè)數(shù)是 球半徑為，球心到截面距離為，則截面面積為 已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別是和，它們位于球心同一側(cè)，且相距，則球半徑是 球直徑為，為球面上的兩點(diǎn)且，則兩點(diǎn)的球面距離為

23、北緯圈上兩地，它們?cè)诰暥热ι系幕￠L(zhǎng)是（為地球半徑），則這兩地間的球面距離為 7北緯圈上有兩地，在東徑，在西徑，設(shè)地球半徑為，兩地球面距離為 ；8一個(gè)球夾在二面角內(nèi)，兩切點(diǎn)在球面上最短距離為，則球半徑為 ；9.設(shè)地球的半徑為R，在北緯45圈上有A、B兩點(diǎn)，它們的經(jīng)度相差90，那么這兩點(diǎn)間的緯線的長(zhǎng)為_，兩點(diǎn)間的球面距離是_10球的大圓面積增大為原來的倍，則體積增大為原來的 倍；11三個(gè)球的半徑之比為，那么最大的球的體積是其余兩個(gè)球的體積和的 倍；12.若球的大圓面積擴(kuò)大為原來的倍，則球的體積比原來增加 倍；13.把半徑分別為3，4，5的三個(gè)鐵球，熔成一個(gè)大球，則大球半徑是 ；14.正方體全面積是

24、，它的外接球的體積是 ，內(nèi)切球的體積是 15球O1、O2分別與正方體的各面、各條棱相切，正方體的各頂點(diǎn)都在球O3的表面上，求三個(gè)球的表面積之比16表面積為的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是，求這個(gè)正四棱柱的表面積17 正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，球O是內(nèi)切球，球O1是與正四面體的三個(gè)面和球O都相切的一個(gè)小球，求球O1的體積練習(xí)參考答案：1 一個(gè)面體共有8條棱，5個(gè)頂點(diǎn)，求解：，即2一個(gè)正面體共有8個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處共有三條棱，求解：，即3一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的各面都是三角形，證明它的頂點(diǎn)數(shù)V和面數(shù)F有下面的關(guān)系：F2V4證明：，VFE2 VF2F2V44有沒有棱數(shù)是7的簡(jiǎn)單多面體？說明理由解：若E7，VFE

25、2，VF729 ，多面體的頂點(diǎn)數(shù)V4，面數(shù)F4只有兩種情況V4，F(xiàn)5或V5，F(xiàn)4，但是有4個(gè)頂點(diǎn)的多面體只有四個(gè)面，不可能是5個(gè)面，有四個(gè)面的多面體是四面體，也只有四個(gè)頂點(diǎn)，不可能有5個(gè)頂點(diǎn)，沒有棱數(shù)是7的多面體5是否存在這樣的多面體，它有奇數(shù)個(gè)面，且每一個(gè)面都有奇數(shù)條邊解：設(shè)有一個(gè)多面體，有F（奇數(shù)）個(gè)面，并且每個(gè)面的邊數(shù)也都是奇數(shù)，則，但是上式左端是奇數(shù)個(gè)“奇數(shù)相加”，結(jié)果仍為奇數(shù)，可右端是偶數(shù)，這是不可能的 不存在這樣的多面體 6過球面上任意兩點(diǎn)，作球的大圓的個(gè)數(shù)是 球半徑為，球心到截面距離為，則截面面積為 已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別是和，它們位于球心同一側(cè)，且相距，則球半徑是 球直

26、徑為，為球面上的兩點(diǎn)且，則兩點(diǎn)的球面距離為 北緯圈上兩地，它們?cè)诰暥热ι系幕￠L(zhǎng)是（為地球半徑），則這兩地間的球面距離為 答案：一個(gè)或無數(shù)個(gè) 7北緯圈上有兩地，在東徑，在西徑，設(shè)地球半徑為，兩地球面距離為 ；答案：8一個(gè)球夾在二面角內(nèi)，兩切點(diǎn)在球面上最短距離為，則球半徑為 ；答案：9.設(shè)地球的半徑為R，在北緯45圈上有A、B兩點(diǎn)，它們的經(jīng)度相差90，那么這兩點(diǎn)間的緯線的長(zhǎng)為_，兩點(diǎn)間的球面距離是_分析：求A、B兩點(diǎn)間的球面距離，就是求過球心和點(diǎn)A、B的大圓的劣弧長(zhǎng)，因而應(yīng)先求出弦AB的長(zhǎng)，所以要先求出A、B兩點(diǎn)所在緯度圈的半徑解：連結(jié)AB設(shè)地球球心為O，北緯45圈中心為O1，則O1OO1A，O1

27、OO1B O1AO1BO1O兩點(diǎn)間的緯線的長(zhǎng)為： A、B兩點(diǎn)的經(jīng)度相差90，在中，兩點(diǎn)間的球面距離是：10球的大圓面積增大為原來的倍，則體積增大為原來的 倍；答案： 8 11三個(gè)球的半徑之比為，那么最大的球的體積是其余兩個(gè)球的體積和的 倍；答案： 3 12.若球的大圓面積擴(kuò)大為原來的倍，則球的體積比原來增加 倍；答案： 7 13.把半徑分別為3，4，5的三個(gè)鐵球，熔成一個(gè)大球，則大球半徑是 ；答案： 6 14.正方體全面積是，它的外接球的體積是 ，內(nèi)切球的體積是 答案： ，15球O1、O2分別與正方體的各面、各條棱相切，正方體的各頂點(diǎn)都在球O3的表面上，求三個(gè)球的表面積之比分析：球的表面積之比

28、事實(shí)上就是半徑之比的平方，故只需找到球半徑之間的關(guān)系即可解：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則三個(gè)球的半徑依次為、， 三個(gè)球的表面積之比是16表面積為的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是，求這個(gè)正四棱柱的表面積解：設(shè)球半徑為，正四棱柱底面邊長(zhǎng)為，則作軸截面如圖，又，17 正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，球O是內(nèi)切球，球O1是與正四面體的三個(gè)面和球O都相切的一個(gè)小球，求球O1的體積分析：正四面體的內(nèi)切球與各面的切點(diǎn)是面的中心，球心到各面的距離相等解：如圖，設(shè)球O半徑為R，球O1的半徑為r，E為CD中點(diǎn)，球O與平面ACD、BCD切于點(diǎn)F、G，球O1與平面ACD切于點(diǎn)H由題設(shè)AOFAEG ，得AO1HAOF ，得另法：以O(shè)為頂

29、點(diǎn)將正四面體分成相等體積的四個(gè)三棱錐，用體積相等法，可以得到，。7、立體幾何高考題型 熱點(diǎn)之一：點(diǎn)、線、面問題 包括平面的基本性質(zhì)、空間的直線和平面的位置關(guān)系及判定方法，特別注意三垂線定理及其逆定理的應(yīng)用。1已知是兩個(gè)平面，直線若以，中兩個(gè)為條件，另一個(gè)為結(jié)論構(gòu)成三個(gè)命題，則其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ） （A）0個(gè) （B）1個(gè) （C）2個(gè) （D）3個(gè)2把邊長(zhǎng)為的正方形剪去圖中的陰影部分，沿圖中所畫的線折成一個(gè)正三棱錐，則這個(gè)正三棱錐的高為（ ）（A） （B）（C） （D）3在一個(gè)倒置的正三棱錐容器內(nèi)，放入一個(gè)鋼球，鋼球恰好與棱錐的四個(gè)面都接觸，經(jīng)過棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，正確的截面圖形是（ ）

30、4如右圖，點(diǎn)E是正方體的棱的中點(diǎn)，則過點(diǎn)E與直線和都相交的直線的條數(shù)是（ ） （A）0條 （B）1條 （C）2條 （D）無數(shù)5在正方體中，寫出過頂點(diǎn)A的一個(gè)平面_，使該平面與正方體的12條棱所在的直線所成的角均相等(注：填上你認(rèn)為正確的一個(gè)平面即可，不必考慮所有可能的情況)。熱點(diǎn)之二：空間角與距離問題三個(gè)角：包括兩條直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角；八個(gè)距離：包括點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到面的距離、兩條平行直線的距離、異面直線的距離、直線與平行平面的距離、兩個(gè)平行平面之間的距離、球面上兩點(diǎn)的距離。 在求角或距離時(shí)，一定要“先找后解”。6如圖，在正方體中，E、F分別為、的中點(diǎn)，(1)與所成角的

31、大小是_;(2) 與所成角的大小是_;(3) 與所成角的大小是_;(4)與所成角的大小是_;(5)與所成角大小是_;(6)與平面所成角的大小是_;(7)與平面所成角的大小是_;(8)二面角的大小是_;(9)二面角的大小是_;(10)二面角的大小是_;7將銳角為60，邊長(zhǎng)為的菱形沿較短的對(duì)角線BD折成60的二面角后，（1）求異面直線與的距離；（2）求三棱錐的體積；（3）求D到面的距離。8.已知斜三棱柱ABCA1 B1 C1的側(cè)面A1 ACC1與底面ABC垂直，ABC=90，BC=2，AC=2，且AA1 A1C，AA1= A1 C求側(cè)棱A1A與底面ABC所成角的大小；求側(cè)面A1 ABB1 與底面A

32、BC所成二面角的大小；求頂點(diǎn)C到側(cè)面A1 ABB1的距離熱點(diǎn)之三：表面積與體積問題9.棱錐被平行于底面的平面所截，當(dāng)截面分別平分側(cè)棱、側(cè)面積、體積時(shí)，相應(yīng)截面面積記作、，則( ) (A) (B) (C) (D)10三棱臺(tái)的上底面積為4，下底面積為9，且三棱的體積為9，則三棱臺(tái)的體積為( ) (A)19 (B)18 (C) (D)11直四棱柱的體積等于1，底面為平行四邊形，則四面體體積為_。熱點(diǎn)之四：立幾綜合題12.直四棱柱的側(cè)棱的長(zhǎng)是a，底面ABCD是邊長(zhǎng)AB=2a，BC=a的矩形，E為的中點(diǎn)。()求證:平面BCE平面BDE;()求二面角E-BD-C的大小;()求三棱錐的體積. 參考答案：1C

33、 2 D 3B 4B 5面6（1）（2）（3）（4） （5）（6）（7）（8）（9） （10）7（1）（2）（3）8解：作A1DAC，垂足為D，由面A1ACC1面ABC，得A1D面ABC，所以A1AD為A1A與面ABC所成的角.因?yàn)锳A1A1C，AA1=A1C，所以A1AD =45為所求. 解：作DEAB，垂足為E，連A1E，則由A1D面ABC，得A1EAB.所以A1ED是面A1ABB1與面ABC所成二面角的平面角.由已知，ABBC，得EDBC.又D是AC的中點(diǎn)，BC=2，AC=2，所以DE=1，AD=A1D=， tgA1ED=.故A1ED=60為所求.解：由點(diǎn)C作平面A1ABB1的垂線，垂足

34、為H，則CH的長(zhǎng)是C到平面A1ABB1的距離.連結(jié)HB，由于ABBC，得ABHB.又A1EAB，知HBA1E，且BCED，所以HBC=A1ED=60,所以CH=BCsin60=為所求.另解：連結(jié)A1B.根據(jù)定義，點(diǎn)C到面A1ABB1的距離，即為三棱錐CA1AB的高h(yuǎn).由得，即 所以為所求. 9A 10C 1112()直四棱柱的側(cè)棱的長(zhǎng)是a，底面ABCD是邊長(zhǎng)AB=2a，BC=a的矩形，E為的中點(diǎn)。，DECE又DEEBDE平面EBC又DE平面EBD,平面EBC平面EBD. () 取DC的中點(diǎn)F，則EF平面BCD,作FHBD于H，連EH，則EHF就是二面角E-BD-C的一個(gè)平面角。由題意得 EF=

35、a，EHF，EHF二面角E-BD-C的求大小為;(), 三棱錐的體積為. 8、單元測(cè)試題一、選擇題1、點(diǎn)P到ABC三邊所在直線的距離相等，P在ABC內(nèi)的射影為O，則O為ABC的 （ ） （A）外心 （B）重心 （C）內(nèi)心 （D）以上都不對(duì)2、已知兩條異面直線a,b所成的角為，直線l與a, l與b所成的角都等于, 則的取值范圍是 （ ） (A) (B) (C) (D) 3、ABC是正三角形，P是ABC所在平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC，若SPABSABC=，則二面角P-AB-C的余弦值為 （ ） （A） （B） （C） （D）4、已知矩形ABCD的長(zhǎng)AD=4，寬AB=3，E、F分別為AD、BC的中

36、點(diǎn)，現(xiàn)將ABFE沿EF折成 使二面角的平面角為60，則= （ ） （A） （B） （C） （D）5、一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的各面都是三角形，且有六個(gè)頂點(diǎn)，則這個(gè)簡(jiǎn)單多面體的面數(shù)是（ ） （A）4 （B）6 （C）8 （D）106、A、B兩地在同一緯線上，這兩地間的緯線長(zhǎng)為pRcosa，（R是地球半徑，a是兩地的緯度數(shù)），則這兩地間的距離為 （ ） （A）pR （B）pRcosa （C）pR-2aR （D）pR-aR7、已知正四棱錐P-ABCD的棱長(zhǎng)為a，側(cè)面等腰三角形的頂角為30，則從點(diǎn)A出發(fā)環(huán)繞側(cè)面一周后回到A點(diǎn)的最短路程等于 （ ） （A） （B）4a （C）6a （D）8、空間四邊形ABCD的各

37、邊與對(duì)角線的長(zhǎng)都為1，點(diǎn)P在邊AB上移動(dòng)，點(diǎn)Q在CD上移動(dòng)，則點(diǎn)P和Q的最短距離為 （ ） （A） （B） （C） （D）9、在長(zhǎng)方形ABCD-A1B1C1D1中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為4，則點(diǎn)A1到截面AB1D1的距離是 （ ） （A） （B） （C） （D）10、若四面體的一條棱長(zhǎng)為x，其余棱長(zhǎng)為1，體積為F(x)，則函數(shù)F(x)在其定義域上（ ） （A）是增函數(shù)但無最大值 （B）是增函數(shù)且有最大值 （C）不是增函數(shù)且無最大值 （D）不是增函數(shù)但有最大值二、填空題11、正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面的邊長(zhǎng)為，E是SA的中點(diǎn)，則異面直線BE與SC所成的角為 。 12、已知a=(3

38、,1,5), b=(1,2,-3), 向量c與z軸垂直，且滿足ca=9, cb=-4，則c= 13、已知PA、PB、PC兩兩垂直且PA=，PB=，PC=2，則過P、A、B、C四點(diǎn)的球的體積為 。14、已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2cm, 高為4cm，過BC作一個(gè)截面，截面與底面ABC成60角，則截面的面積是 三、解答題15、 在立體圖形P-ABCD中，四邊形ABCD是DAB=60，且邊長(zhǎng)為a的棱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD。（1）若G在AD邊的中點(diǎn)，求證：BG平面PAD；（2）求證ADPB；（3）求二面角A-BC-P的大??；（4）若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF平面ABCD，并證明你的結(jié)論。 16、在三棱錐P-ABC中，PAAC，PBBC，ACBC，PA，PB與