2011屆高考數(shù)學(xué)(一輪)復(fù)習(xí)精品學(xué)案課件：第7章 立體幾何―平行關(guān)系

1、學(xué)案4 空間中的平行關(guān)系,返回目錄,一、直線與平面平行的判定和性質(zhì) 1.判定定理 平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.可以用符號表示為 . 2.性質(zhì)定理 一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.可以用符號表示為 .,a,b，且ab a,a,a,=b ab,考點分析,返回目錄,二、平面與平面平行的判定和性質(zhì) 1.判定定理 （1）一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.可以用符號表示 為 . （2）如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么，這兩個平面平行.可以用符號表示為 .,a,b,ab

2、=P,a,b,2.性質(zhì)定理 （1）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行. （2）兩個平面平行，其中任一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面.,返回目錄,返回目錄,考點一 直線與平面平行,如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，側(cè)面對角線AB1，BC1上分別有兩點E，F(xiàn)，且B1E=C1F，求證：EF平面ABCD.,【分析】用線面平行的判定 定理來證,或用面面平行的性 質(zhì)定理來證.,題型分析,【證明】證法一：分別過E，F(xiàn)作EMAB于M， FNBC于N，連結(jié)MN. BB1平面ABCD， BB1AB,BB1BC, EMBB1,FNBB1, EMFN. 又B1E=C1F，EM=FN， 故

3、四邊形MNFE是平行四邊形, EFMN. 又MN在平面ABCD中， EF平面ABCD.,返回目錄,返回目錄,證法二：過E作EGAB交BB1于G，連結(jié)GF， 則 , B1E=C1F,B1A=C1B, , FGB1C1BC. 又EGFG=G，ABBC=B, 平面EFG平面ABCD， 而EF平面EFG， EF平面ABCD.,【評析】判斷或證明線面平行的常用方法有：利用線面平行的定義（無公共點）；利用線面平行的判定定理（a ,b ,ab a ）;利用面面平行的性質(zhì)定理（ ,a a ）;利用面面平行的性質(zhì)（,a / ,a / ,a a）.,返回目錄,對應(yīng)演練,已知有公共邊AB的兩個全等的矩形ABCD和A

4、BEF不在同一平面內(nèi),P,Q分別是對角線AE,BD上的點,且AP=DQ.求證:PQ平面CBE.,返回目錄,證明：證法一:如圖所示,作PMAB交BE于M,作QNAB交BC于N,則PMQN. . AP=DQ,EP=BQ. 又AB=CD,EA=BD, PM=QN.又PMQN, 四邊形PMNQ是平行四邊形, PQMN. PQ平面CBE,MN平面CBE, PQ平面CBE.,返回目錄,返回目錄,證法二:如圖所示,延長AQ交BC或其延長線于G,連EG. ADCB, . 又AP=DQ,AE=DB, , PQGE. 又PQ平面CBE,CE平面CBE, PQ平面CBE.,返回目錄,求證:若兩個相交平面都平行于一條

5、直線,則它們的交線也平行于這條直線.,考點二 直線與平面平行的性質(zhì),【分析】利用線面平行的性質(zhì)定理可證線線平行.,【解析】已知:=b,a,a,求證:ab. 證明:證法一:如圖,過a作平面=c,由a得ac. 同理過a作平面=d,則ad,于是cd.又c,d,所以c.又=b,c,所以cb.又ac,所以ab.,返回目錄,證法二:如圖,在b上任取一點A,過A和a作平面和相交于l1,和相交于l2,因為a,所以al1. 因為a,所以al2. 但過一點只能作一條 直線與另一條直線平 行,所以l1與l2重合. 又因為l1,l2, 所以l1和l1重合于b, 所以ab.,返回目錄,返回目錄,【評析】應(yīng)用線面平行的性

6、質(zhì)定理時,應(yīng)著力尋找過已知直線的平面與已知平面的交線,有時為了得到交線還需作出輔助平面.證法二中用到了結(jié)論“過直線外一點有且只有一條直線和這條直線平行”.,返回目錄,對應(yīng)演練,如圖,在四面體ABCD中,截面EFGH平行于對棱AB和CD,試問截面在什么位置時，其截面面積最大.,AB平面EFGH,平面EFGH與平面ABC和平面ABD分別交于FG,EH, ABFG,ABEH,FGEH, 同理可證EFGH, 截面EFGH是平行四邊形. 設(shè)AB=a,CD=b,FGH=. 又設(shè)FG=x,GH=y,則由平面幾何知識可得 , 兩式相加得 ,即y= (a-x), S =FGGHsin =x (a-x)sin=

7、x(a-x). x0,a-x0且x+(a-x)=a, 當(dāng)且僅當(dāng)x=a-x即x= 時, x(a-x)= . 即當(dāng)截面EFGH的頂點E,F,G,H為棱AD,AC,BC,BD的中點時,截面面積最大.,返回目錄,EFGH,如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中,棱長為a. （1）求證：平面AB1D1平面C1BD； （2）求平面AB1D1和平面C1BD間 的距離.,【分析】要證面面平行，先找線線平行，從而得到線面平行.求平面間的距離的關(guān)鍵是找（或作）出兩平面的公垂線.,考點三 平面與平面平行的判定,返回目錄,返回目錄,【解析】（1）ABCDA1B1C1D1是正方體， B1D1BD.又BD平面C1B

8、D，B1D1平面C1BD. 同理D1A平面C1BD.B1D1和D1A是平面AB1D1內(nèi)的兩條相交直線，因此，平面AB1D1平面C1BD. （2）連接A1C，設(shè)M,N分別是A1C和平面AB1D1，平面C1BD的交點.A1C在平面ABCD內(nèi)的射影 ACBD，A1CBD.同理A1CBC1.A1C平面C1BD.于是A1C平面AB1D1.,因此MN的長即是兩平行平面AB1D1和C1BD間的距離.在平面A1ACC1中，AA1=CC1=a，AC=A1C1= a，A1C= a. 設(shè)平面AB1D1和平面A1ACC1交于AP（P為B1D1的中點），則MAP,又平面C1BD和平面A1ACC1交于C1Q（Q為BD的中

9、點），NC1Q，且APC1Q.由平面幾何 知識,知M,N為A1C的兩個三等分點，MN= a.,返回目錄,返回目錄,【評析】（1）證明兩個平面平行的方法有：用定義，此類題目常用反證法來完成證明；用判定定理或推論，通過線面平行來完成證明；根據(jù)“垂直于同一條直線的兩個平面平行”這一性質(zhì)進(jìn)行證明；借助于“傳遞性”來完成；還可以用向量法來證明直線和平面平行. （2）面面平行問題常轉(zhuǎn)化為線面平行，而線面平行又可轉(zhuǎn)化為線線平行，需要注意其中轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用. （3）證面面平行時，應(yīng)防止出現(xiàn)直接由一個平面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線得到，因為沒有這樣的定理和直接作為命題的說明.此題求兩平面的

10、距離時，將空間距離轉(zhuǎn)化為平面AA1C1C內(nèi)兩條平行直線的距離的方法，用到了降維的思想，值得借鑒.,返回目錄,對應(yīng)演練,如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中， E,F,G,H分別是BC,CC1,C1D1,A1A的中點.求證： （1）BFHD1； （2）EG平面BB1D1D； （3）平面BDF平面B1D1H.,證明: (1)如圖所示,取BB1的中點M,易證四邊形HMC1D1是平行四邊形,HD1MC1. 又MC1BF，BFHD1. （2）取BD的中點O，連接EO，D1O， 則OE DC, 又D1G DC,OE D1G, 四邊形OEGD1是平行四邊形， GED1O. 又D1O 平面BB1D1D

11、，EG平面BB1D1D.,返回目錄,（3）由（1）知D1HBF，又BDB1D1，B1D1， HD1平面HB1D1，BF，BD平面BDF，且 B1D1HD1=D1,DBBF=B. 平面BDF平面B1D1H.,返回目錄,返回目錄,如圖，已知，異面直線AB,CD和平面,分別交于A,B,C,D四點，E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點.求證： （1）E,F,G,H共面; （2）平面EFGH平面.,考點四 平面與平面平行的性質(zhì),【分析】要證明四點共面，結(jié)合已知條件可以轉(zhuǎn)而證明其中一對直線平行；要證明面面平行，容易想到利用面面平行的判定定理來考慮，利用已知的面面平行條件，從而將問題解決.,返回

12、目錄,【證明】（1）E,H分別是AB,DA的中點， EHBD且EH= BD. 同理，F(xiàn)GBD且FG= BD，F(xiàn)GEH且FG=EH. 四邊形EFGH是平行四邊形，即E,F,G,H共面.,返回目錄,(2)平面ABD和平面有一個公共點A，設(shè)兩平面交于過點A的直線AD. ，ADBD. 又BDEH,EHBDAD.EH平面，EH平面. 同理，EF平面，EF平面. 平面EFGH平面平面.,返回目錄,【評析】對于已知條件中出現(xiàn)了有關(guān)的面面平行 的問題，往往就要緊緊圍繞著面面平行的性質(zhì)，從而 得到線線（或線面）平行，從而將問題解決.,對應(yīng)演練,如圖所示，平面平面，A,C,B,D,點E,F 分別在線段AB,CD上

13、，且有 . (1)求證：EF; (2)若E,F分別是AB, CD的中點,AC=4, BD=6,且AC,BD 所成的角為60, 求EF的長.,返回目錄,證明:當(dāng)AB,CD在同一平面內(nèi)時,由,平面 ABDC=AC,平面ABDC=BD,知ACBD, AE：EB=CF：FD, EFBD. 又EF,BD, EF.,返回目錄,當(dāng)AB與CD異面時,設(shè)平面ACD=DH,且DH=AC. ,平面ACDH=AC, ACDH,四邊形ACDH是平行四邊形, 在AH上取一點G,使AG：GH=CF：FD, 又AE：EB=CF：FD,GFHD,EGBH, 又EGGF=G, 平面EFG平面.EF平面EFG,EF. 綜上，EF.

14、,返回目錄,(2)如圖,連接AD,取AD的中點M,連接ME,MF. E,F分別為AB,CD的中點, MEBD,MFAC, 且ME= BD=3,MF= AC=2. EMF為AC與BD所成的角(或其補(bǔ)角), EMF=60或120. 在EFM中,由余弦定理得 即EF= 或= .,返回目錄,返回目錄,1. 若直線與平面平行,則平面內(nèi)有無數(shù)條直線與該直線平行 ,但不能得出這條直線平行于這個平面內(nèi)的所有直線,而 只能得到這條直線與這個平面內(nèi)的任一直線都沒有公共點;但反過來,如果知道一條直線與某個平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行,卻不能得到該直線與該平面平行,因 為此時這條直線可能處于這個平面內(nèi).同樣,對于兩個平行平面而言, 其中任一平面內(nèi)的任一條直線必平行于另一個平面,但這兩個平面內(nèi)的所有直線不一定平行, 它們可能平行,也可能異面,但一定不會相交,否則這兩個平面就有公共點了.,高考專家助教,2.證明線面平行