平面匯交力系的合成與平衡

1、一、平面匯交力系合成的幾何法 多邊形法則,從匯交點出發(fā)，依次將力系中各分力首尾相連接，最后連接第一個力的始點和最后一個力的終點，即得原力系的合力。合力作用線仍過原力系的匯交點。力的多邊形法則 （適用于平面匯交力系）,對于由n個力組成的匯交力系,2.1 平面匯交力系的合成與平衡的幾何法,一、平面匯交力系合成的幾何法 多邊形法則,矢量加法的交換律,由矢量加法的交換律與結(jié)合律可知，力的多邊形的形狀不唯一,A + B = B + A,矢量加法的結(jié)合律,A + B + C = A+（ B + C ）,力的相加順序可改變,2.1 平面匯交力系的合成與平衡的幾何法,例：平面匯交力系，F(xiàn)1 = 3kN，F(xiàn)2

2、= 1kN，F(xiàn)3 = 1.5kN， F4 = 2kN。方向如圖所示，求此力系合力。,解：幾何法。 將力系中各力依次首尾連接，最后連接第一個力的始端和最后一個力的未端,由幾何關(guān)系,合力沿右下方與水平方向成69.5,FR = 3.325kN,二、平面匯交力系平衡的幾何條件,1.匯交力系的平衡條件,匯交力系平衡的充分必要條件是力系的合力為零,2.平面匯交力系平衡的幾何條件,平面匯交力系平衡的充分必要的幾何條件是力的多邊形自行封閉,第一個力的始點與最后一個力的終點重合,2.1 平面匯交力系的合成與平衡的幾何法,例：構(gòu)架由AB、AC組成，A、B、C三點都是鉸接。A點受向下力G，桿重忽略不計。求AB、AC

3、桿的受力。,解：取整個構(gòu)架為研究對象，畫受力圖,平衡,平衡力系,力系的平衡條件,由幾何關(guān)系,一、力在軸與平面上的投影,1.力在軸上的投影,a,b,B,A,從力的始端和未端分別向 n 軸做垂線,連線ab 稱為力 F 在 n 軸上的投影：Fn,ab 指向與 n 軸正向一致時，投影為正；反之為負,力在軸上的投影等于力的大小乘以力與軸的正向間夾角的余弦,2.2 力在坐標軸上的投影,一、力在軸與平面上的投影,2.力在平面上的投影,2.2 力在坐標軸上的投影,a,b,B,A,從力的始端和未端分別向平面做垂線,矢量ab 稱為 力 F 在 xy平面上的投影：Fxy,大小為,Fxy=F cos,Fxy,二、力在

4、直角坐標軸上的投影,1.力在平面直角坐標軸上的投影,2.2 力在坐標軸上的投影,Fx,Fy,Fx=F cos,Fy=F sin,二、力在直角坐標軸上的投影,2.力在空間直角坐標軸上的投影,2.2 力在坐標軸上的投影,O,Fy,Fz,Fx,直接投影法,Fx=F cos,Fy=F cos,Fz=F cos,二、力在直角坐標軸上的投影,2.力在空間直角坐標軸上的投影,2.2 力在坐標軸上的投影,O,Fy,Fz,Fx,二次投影法,Fx=F cos cos,Fy=F cos sin,Fz=F sin,三、力的投影與分力的比較,1.聯(lián)系,2.2 力在坐標軸上的投影,O,力在直角坐標軸上投影的大小與其沿相應

5、軸分力的模相等，且投影的正負與分力的指向相應一致,F =Fxy+Fz,Fxy =Fx+Fy,Fx =Fx i,Fy =Fy j,Fz =Fz k,F =Fx+Fy+Fz = Fx i +Fy j +Fz k,i、j、k表示沿xyz軸方向的單位矢量,|Fx | =Fx,|Fy | =Fy,|Fz | =Fz,三、力的投影與分力的比較,1.聯(lián)系,2.2 力在坐標軸上的投影,O,力在直角坐標軸上投影的大小與其沿相應軸分力的模相等，且投影的正負與分力的指向相應一致,| F | =,cos (F , i ) = Fx / F,cos (F , j ) = Fy / F,cos (F ,k ) = Fz

6、/ F,Fx2+Fy2+Fz2,F =,F 方向余弦,三、力的投影與分力的比較,2.區(qū)別,2.2 力在坐標軸上的投影,分力是矢量，投影為標量。 在斜坐標系中，分力的模不等于投影。,O,力 F 在兩坐標軸上投影 Fx、Fy,力 F 在兩坐標軸上分力 Fx、Fy,|Fx | Fx,|Fy | Fy,在圖示斜坐標系中，假設,一、平面匯交力系合成的解析法（合力的大小和方向）,2.3 平面匯交力系的合成與平衡的解析法,對于由n個力組成的平面匯交力系,于是 FR =FRx i +FRy j +FRz k,定義i、j、k表示沿xyz軸方向的單位矢量,Fi =Fix i +Fiy j +Fiz k,FRx i

7、 +FRy j +FRz k = (Fix i +Fiy j +Fiz k),= (Fix) i + (Fiy) j + (Fiz) k,一、平面匯交力系合成的解析法（合力的大小和方向）,2.3 平面匯交力系的合成與平衡的解析法,合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上的投影的代數(shù)和 合力投影定理,FRx = Fix,FRy = Fiy,FRz = Fiz,= Fx,= Fy,= Fz,一、平面匯交力系合成的解析法（合力的大小和方向）,2.3 平面匯交力系的合成與平衡的解析法,于是可得合力FR大小,| FR | =,FRx2+FRy2+FRz2,(Fx)2+ (Fy)2 + (Fz)2,cos

8、 (F , i ) = Fx / FR,cos (F , j ) = Fy / FR,cos (F , k) = Fz / FR,FR方向余弦,FR =,一、平面匯交力系合成的解析法（合力的大小和方向）,2.3 平面匯交力系的合成與平衡的解析法,于是可得合力FR大小,| FR | =,FRx2+FRy2+FRz2,(Fx)2+ (Fy)2 + (Fz)2,cos (F , i ) = Fx / F,cos (F , j ) = Fy / F,cos (F , k) = Fz / F,FR方向余弦,FR =,一、平面匯交力系合成的解析法（合力的大小和方向）,2.3 平面匯交力系的合成與平衡的解析

9、法,于是可得合力FR大小,| FR | =,FRx2+FRy2+FRz2,(Fx)2+ (Fy)2 + (Fz)2,cos (F , i ) = Fx / F,cos (F , j ) = Fy / F,cos (F , k) = Fz / F,FR方向余弦,FR =,平面匯交力系,例：平面匯交力系，F(xiàn)1 = 3kN，F(xiàn)2 = 1kN，F(xiàn)3 = 1.5kN， F4 = 2kN。方向如圖所示，求此力系合力。,解：解析法。 以匯交點O為原點，建立直角坐標系,于是,合力大小,FRx =Fx = 0-F2+F3cos60+F4cos45,FRy =Fy =-F1+0+F3sin60-F4cos45,F

10、R=,FRx2+FRy2,合力方向,tan= | FRy /FRx |,= 3.115 / 1.164 = 2.676,= 69.5,二、平面匯交力系平衡的解析條件平衡方程,2.3 平面匯交力系的合成與平衡的解析法,于是可得合力FR大小為0，即,(Fx)2+ (Fy)2 + (Fz)2 =0,匯交力系平衡的充分必要條件是力系的合力為零,匯交力系中各力在任一軸上的投影的代數(shù)和均為零,匯交力系平衡的充必要的解析條件,匯交力系的平衡方程,二、平面匯交力系平衡的解析條件平衡方程,2.3 平面匯交力系的合成與平衡的解析法,于是可得合力FR大小為0，即,(Fx)2+ (Fy)2 + (Fz)2 =0,匯交力系平衡的充分必要條件是力系的合力為零,匯交力系中各力在任一軸上的投影的代數(shù)和均為零,匯交力系平衡的充必要的解析條件,匯交力系的平衡方程,平面匯交力系,例：構(gòu)架由AB、AC組成，A、B、C三點都是鉸接。A點受向下力G，桿重忽略不計。求AB、AC桿的受力。,解：取整個構(gòu)架為研究對象，畫受力圖 選投影軸 列平衡方程求解,解得,Fx = 0,-FB sin60+FC sin30= 0,Fy = 0,FB