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文檔簡介
1、四、多自由度系統(tǒng)的振動、多自由度無阻尼自由振蕩模式的正交性多自由度的強制振動杠桿系統(tǒng)結構有限元動力分析多自由度時間分析方法的結論和探討:很多工程問題可以作為單自由度問題計算,但是由于具有一盞茶的分析精度,所以一些問題也必須以多自由度進行分析。 在等效粘性阻尼理論下,第二章討論了二自由度系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng)的運動方程,理論上阻尼矩陣C=Cij,Cij表示j自由度單位速度下I自由度方向的阻尼力。 然而,實際上Cij一般不能確定。 當前對多自由度問題的分析通過以下方式得到解決:首先以無衰減的自由振蕩確定諸如頻率、模式等的動力特性,然后利用模式的正交性,并且在衰減矩陣也正交的條件下將多自由度分析分解為模
2、式中的單自由度問題的組合。 重新體現(xiàn)了以未知問題為已知問題的研究方法和思想。 必須用時間分析方法和隨機振動理論來解決復雜的負荷狀況(地震的地面運動等離散負荷) (第6章)。 因此,首先介紹沒有衰減的自由振蕩。4.1多自由度無衰減自由振蕩、多自由度運動方程式是將無衰減自由振蕩運動方程式將其解設為Asint,代入運動方程式而獲得的(- 2M K) Asint=0,是為了使系統(tǒng)具有非零振動解,而使用- 2M K=0 (1)或(- 2M K) A=0 (2)上述兩個公式從式(1)展開得到二n次方程式,對于一般的建筑施工結構,求解得到n個實的不均勻的正根,這就是系統(tǒng)的頻度。 但是,一般多從式(2)出發(fā)。
3、4.1自由度多,沒有衰減自由振蕩,式(2)可以改寫為2MA=KA (3),數(shù)學上廣義的特征值問題。 為了使其成為標準的實際尺對稱矩陣的特征量,若設M=(M1/2)TM1/2 (4) M1/2A=X,則A=(M1/2)-1X (5)在代替式(3)的2(M1/2)TX=K(M1/2)-1X (6)方程式的兩側進一步左乘因為-1X (7)記載(m1/2)-1k(m1/2)-1=d(8)k是對稱矩陣,所以根據式(8)可知d是對稱矩陣. 如果將式(8)代入式(7),則能夠得到2X=DX (9)、4.1自由度無衰減自由振蕩,式2X=DX (9)是實際對稱矩陣的標準特征量問題的方程式,能夠利用在線性代數(shù)中介
4、紹的特征量問題解法來求出d矩陣的特征對2,x,并且能夠根據式(5)求出廣義的如從數(shù)學可見,對于建筑施工的一般問題,可以從n階特征方程(3)中獲得n個特征對,即與n個頻率I和I相對應的模式Ai。 排列可從小到大結構化的頻譜,將1和a-1分別稱為第一頻率(基頻或基頻)、第一模式。 其他依次稱為第二、第三等頻率、模式。 有任意n自由度問題的自由振蕩解法、結論,2自由度問題作為其特例,可以用上述解法、思維方法進行分析。4.1自由度沒有衰減自由振蕩,對于2自由度問題,可以基于具體的問題用剛性法確立運動方程式,也可以用柔軟度法確立。 因此,教材中基于剛性法和柔性法進行了具體的討論,給出了頻率、振動型和剛性
5、系數(shù)、質量的關系和柔性系數(shù)、質量的關系。 我能更好地記住這些個公式,但我覺得不用記住。 重要的是要記住以下基本概念。 1 )在沒有衰減的自由振蕩下-M=Ku,即慣性力和彈性回復力平衡,它們?yōu)橥辔弧?因此,設振幅為a,式(3)也可以由列慣性力、復原力的振幅方程式得到。 2 )在基于依從性法的化學基的情況下,位移起因于慣性力,依從性法的特征方程式為相同的理由(同相位),在能夠建立直接振幅方程式并使其與A=2fMA (10) 3具有具體的問題后,重要的是通過正確地確定m、k、f,無論有什么樣的結構,以統(tǒng)一形式使用式(3)或式(3)。 沒有、4.1多自由度衰減自由振蕩,4)2自由度問題n=2。展開特
6、征方程得到二次頻率方程,基于具體的剛度系數(shù)、柔度系數(shù)和質量化學基,求解該頻率方程得到頻率1和2。 5 )將頻率1和2代返回到特征方程式后,只能得到與某個頻率對應的位移比(次方程式只能得到比),能夠對其進行“歸一化”,通常,將最大值設為1時,能夠得到模式。 6 )自由振蕩的解是將各頻率的簡單共振解多重日式榻榻米而得到的,振幅、相位由質量的初始位移、初始速度(n自由度為2n個初始條件)決定。 綜上所述,有m、k、f,其馀的工作主要是數(shù)學運算。 但是,要熟練,必須在SMCAI中看例子進行練習。 僅限學期在此不舉例。4.2模式的正交性是,i2MAi=KAi,j2MAj=KAj前式左乘AjT,后式左乘A
7、iT,再減去二式,根據質量、剛性的對稱性得到(i2-j2)AjTMAi=0 (11 ),因此AjTMAi=0 (12 ) j2MAj的物理意義被認為是對應于第j模式的慣性力振幅,因此式(1.2 )根據表示對應于第j模式的慣性力不在第I模式位移的式(1.2 )和特征方程式能夠立即證明AjTKAi=0 (13 ),這意味著對應于第j模式的彈性恢復力為、4.2模式的正交性、式(1.2 )和式(1.3 )在數(shù)學上不同的模式加權質量、剛性而正交。 即,振蕩型具有正交性。 根據第I模式振幅方程式,i2AiTMAi=AiTKAi (14 )符號Mi*=AiTMAi (15 )可稱為第I模式廣義質量,Ki*=
8、AiTKAi (16 )可稱為第I模式廣義剛性。 i2=Ki*/Mi* (17 ),即第I頻率的平方可通過廣義上的剛性和質量如單自由度地求出。 式(1.2 )和式(1.3 )是最基本和最常用的正交關系。 關于4.2模式的正交性,由于i2MAi=KAi (a )的兩邊對云同步乘以左AjTKM-1,所以I2aj tkm-1 mai=I2aj tkm-1 kai=0(b )式(a )的兩邊對云同步乘以左AjTKM-1KM-1 當以2ai=0(c )的思維方法繼續(xù)進行左乘法時,與AjTK(M-1K)nAi=0 (18 )同樣,在AjTM(K-1M)nAi=0 (19 )式(1.8 )和式(1.9 )中
9、,能夠證明n是正整數(shù)。 這些個也可以組合為一個公式,但請考慮如何整合。這是一個更常見的正交關系。4.2模式的正交性、式(1.2 )與(1.3 )或者式(1.8 )與(1.9 )的正交性在多自由度分析中具有非常重要的作用,應該深入理解。 利用正交性可以做如下工作:1)在正確確定k,m的基礎上,用它來驗證振動型計算的精準性。 2 )可在已知模式、k、m的條件下確定對應于每一模式的頻率。 3 )可以將任意的位移以正交性分解為振動型的組合。 例如有位移y,能夠將y=ciAi,ci設為組合系數(shù)。 由于在方程式的兩側有在云同步上進行左乘法的AjTM,根據正交性,有AjTMy=cjMj* (d ),所以能夠
10、求出組合系數(shù)cj,如果替換y=ciAi,則得到按照模式進行分解的結果。 可以將、4.2模式的正交性、4 )多自由度問題作為單自由度問題來解決。 實際上,假設u(t)=yi(t)Ai,則通過對代入運動方程式的Mi(t)Ai K yi(t)Ai=0 (e )方程式的兩側乘以AjT的正交性,從Mj*j(t) Kj*yi(t)=0 (20 )式(2.0 )得到通過取代多自由度假設的解,可以在u(t)=aisin(it ci)Ai (21) 5)式(2.1 )中的保留常數(shù)ai、ci由初始條件來決定。 如何決定請用自各兒考慮。 6 )正交性是壓迫振動分析的基礎。4.3自由度的壓迫振動、4.3.1自由度的壓
11、迫振動的模式分解法自由度自由負荷下運動方程式,如前節(jié)4 )所示,將u=yi(t)Ai,即位移分解為各模式的組合,將組合系數(shù)yi(t )稱為廣義坐標。 如果Mi(t)Ai Ci(t)Ai Kyi(t)Ai=P(t) (a )衰減矩陣對于該模式不正交,即,AjTCAi0 (b ),則方程(a )成為聯(lián)立的差分方程并且難以求解。因此,通常引入正交衰減假設,瑞利(Rayleigh )比例衰減被稱為C=0M 1K (22 ),認為衰減與系統(tǒng)的質量、剛性成比例,因此0對1由模式正交性由衰減比I,j和頻率I,j決定(操作)。 在、4.3自由度的強制振動、正交衰減的假定下,在AiTCAi=Ci* (23 )式
12、(a )的兩側對云同步乘以AiT,則mi* I (t ) ci* I (t ) ki* yi (t )=aitp (t ) (2.4 )中的mi *、ci *、ki *分別為第I摩單自由度方程mi * I (t ) ci * ki * yi(t )=pi * (t ) (2.6 ) Duhamel積分,其中,第I模式的廣義載荷是AiTP(t)=Pi*(t) (25 )式(2.4 )是廣義坐標yi (t ),可以求出式(2.6 )的解答,u=yi 如果P(t)=Pf(t) (27 ),則將Pi*(t)=AiTPf(t)=Pi*f(t) (c )上述i=AiTP/Mi*=Pi*/Mi* (28 )
13、稱為第I模式的模式參考系數(shù)。 其中,在零初始條件下,mi * I * I * ki * yi (t )=imi * f (t ) (2.9 )或i(t) 2iii(t) i2yi(t)=if(t) (30 )的廣義坐標取代u=yi(t)Ai i(t )被稱為第I模型的廣義位移。 (3.1 )、(3.2 )、4.3自由度的強制振動、4.3.2簡并性載荷下的強制振動反應如果將動載荷(基于旋轉機械的)設為P(t)=Psint (33 ),則可根據式(2.8 )求出各模式的模式參加系數(shù)I,僅研究穩(wěn)態(tài)振動,求出i=i、d (基于衰減的頻率單自由度的結果廣義的位移在i(t)=isin(it-i)/i2 (
14、34 )式(3.4 )中,I是第I模式動力系數(shù)i=(1-i2)2 4i2i2-1/2 (35 ),I是第I模式頻率比(i=/i ),I是第I模式相位角tgi=2i /。 在代入Ai,沒有u(t)=iisin(it-i)/i2Ai (37 )的舞蹈大頭針的情況下,當然被認為是有舞蹈大頭針的情況下的特例,在上述結果中設為i=0。 在、4.3自由度的壓迫振動、4.3.3簡單的調和負荷的壓迫振動反應分析程序動載荷是Psint或Pcost的情況下,多自由度系統(tǒng)的穩(wěn)定反應分析可以按照以下的程序進行1 )決定系統(tǒng)質量m、剛性k (或柔軟度f )沉積基質。 2 )求出沒有跳大頭針自由振動的模式Ai、頻率I。
15、3 )獲得衰減比1和2以及頻率1和2的瑞利衰減的0和1。 4 )求出I模式參照系數(shù)i=AiTP/AiTMAi。 5 )求出I模式衰減比i=1/2(0/i 1i) 6),求出I模式動力系數(shù)i=(1-i2)2 4i2i2-1/2。 7 )求出I模式相位角i=arctg2i/i(1-i2)。 8 )求出I模型廣義位移i(t)=isin(it-i)/i2。 9 )將各模式的廣義位移代入u=ii(t)Ai,最終u(t)=iisin(it-i)/i2Ai (37 )、4.4桿系結構有限元動力分析、4.4.1基本原理對動力問題、單元位移場表示為d=Nde,當前d=d(x,t )、de=。 假設桿針織面料的密
16、度以微階慣性力-aAdx為體積力,該單針織面料載荷的總虛功為(3.8 ),導入單針織面料一致質量矩陣me,根據(3.9 )、(4.4 )桿系結構有限元動力分析、式(3.9 )代入形函數(shù)并積分,對質量均勻分布的平面彎曲單元針織面料,將單元一致質量矩陣me除以(40 ) 、4.4桿系結構有限元動力分析,在沒有阻尼大頭針的情況下,能夠使用虛位移原理對尤針織面料剛性方程式進行分析,能夠從該“尤針織面料剛性方程式”(注意:當前的分析相對于尤針織面料的局部坐標系)經過坐標變換、整體集合(定位矢量“指定席”)得到有限元的運動方程式, 考慮到(4.1 )、(4.2 )和阻尼大頭針,利用瑞利大頭針,能由結構一致
17、質量矩陣m和結構剛性矩陣k建立結構阻尼大頭針矩陣c。4.4桿系構造有限要素動力解析,4.4.2點說明1 )載荷不作用于尤針織面料,作為尤針織面料位移場,僅產生尤針織面料位移的形函數(shù)是一般的近似處理。 2 )結構一致質量矩陣和結構剛性矩陣的零以外的要素分布相同。 3)Clough教授指出,關于框架建筑,如果將部件的一半質量集中在活塞桿前端,用集中質量法計算的話,不僅能夠在處理后減少未知數(shù)的個數(shù)(自由度),而且多數(shù)情況下精度良好。4 )如果采用集中質量法,則假定m中的對應旋轉自由度的相對折角線元素(慣性矩)為0并且位移查詢密碼最后集中旋轉自由度,那么dunning -大頭針運動方程式的子搖滾樂形式以M1 K11u K12=R1 K21u K22=R2消除,并僅獲得線位移自由度的方程式。4.4桿系結構有限元動力分析,4.4.2點說明5 )分析時采用集中質量法,如不考慮軸向變形,則集成后的最終質量矩陣為各層質量對角陣的形式。 這是當前桿模型的一般計算方案。 6 )上述桿系模型的計算步驟,質量矩陣簡單。 但是,在集體形成剛性沉積基質時,進行4 )中所述的“靜力縮聚”。 在R2=0的情況下
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