量綱分析法建模

1、數(shù)學建模,量綱分析法,量綱分析法,量綱分析（Dimensional Analysis)是20世紀初提出的在物理領(lǐng)域中建立數(shù)學模型的一種方法，它在經(jīng)驗和實驗的基礎(chǔ)上利用物理定律的量綱齊次原則,確定各物理量之間的關(guān)系。,一、量綱齊次原則,長度 l 的量綱記 L=l,質(zhì)量 m的量綱記 M=m,時間 t 的量綱記 T=t,速度 v 的量綱 v=LT-1,加速度 a 的量綱 a=LT-2,力 f 的量綱 f=LMT-2,引力常數(shù) k 的量綱 k,對無量綱量，=1(=L0M0T0),=fl2m-2=L3M-1T-2,量綱齊次原則,等式兩端的量綱一致,量綱分析利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系,例：單擺運

2、動,求擺動周期 t 的表達式,設(shè)物理量 t, m, l, g 之間有關(guān)系式,1, 2, 3 為待定系數(shù)，為無量綱量,(1)的量綱表達式,對比,對 x,y,z的兩組測量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 ),為什么假設(shè)這種形式,設(shè)p= f(x,y,z),x,y,z的量綱單位縮小a,b,c倍,單擺運動中 t, m, l, g 的一般表達式,設(shè) f(q1, q2, , qm) = 0,ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-r,F( 1, 2, m-r ) = 0 與 f (q1, q2,

3、 , qm) =0 等價, F未定,Pi定理 (Buckingham),是與量綱單位無關(guān)的物理定律，X1,X2, , Xn (nm)是基本量綱, q1, q2, , qm 的量綱可表為,量綱矩陣記作,g = LT-2, l = L, = L-3M, v = LT-1, s = L2, f = LMT-2,量綱分析示例：波浪對航船的阻力,航船阻力 f,航船速度v, 船體尺寸l, 浸沒面積 s, 海水密度, 重力加速度g。,m=6, n=3,Ay=0 有6-3=3個基本解,rank A = 3,rank A = r,Ay=0 有m-r個基本解,ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s =

4、1,2, m-r,F(1, 2 ,3 ) = 0與 (g,l,v,s,f) = 0 等價,為得到阻力 f 的顯式表達式,F=0, 未定,F( 1, 2, m-r ) = 0 與 f (q1, q2, , qm) =0 等價,量綱分析法的評注,物理量的選取,基本量綱的選取,基本解的構(gòu)造,結(jié)果的局限性, () = 0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的,基本量綱個數(shù)n; 選哪些基本量綱,有目的地構(gòu)造 Ay=0 的基本解,方法的普適性,函數(shù)F和無量綱量未定,不需要特定的專業(yè)知識,二、案例原子彈爆炸的能量估計,1、問題的提出 1945年7月16日，美國科學家試爆了全球第一顆原子彈。人們想了解這次爆炸的威力究竟

5、有多大。英國物理學家Taylor(1886-1975)通過研究爆炸時的錄像帶，建立數(shù)學模型對這次爆炸所釋放的能量進行了估計，得到的結(jié)果為19.2千噸。這次爆炸所釋放的實際能量為21千噸。 那么，Taylor是如何對原子彈爆炸的能量進行估計的呢？,Taylor認為，爆炸的能量與爆炸形成的“蘑菇云”半徑大小有關(guān)，他根據(jù)錄影帶，測出不同時刻爆炸所產(chǎn)生的“蘑菇云”半徑見下表。 表1 時刻t(ms)所對應(yīng)的“蘑菇云”半徑r(m),2、建立數(shù)學模型 Taylor建立計算爆炸能量的數(shù)學模型所采用的是量綱分析法。記爆炸能量為E，將“蘑菇云”半徑近似看成一個球形。除時刻t和能量E外， 與“蘑菇云”半徑r有關(guān)的物理量還可能有“蘑菇云” 周圍的空氣密度（記為 ）和大氣壓強P，將要尋求的關(guān)系為：,記作更一般的形式,取3個基本量綱：長度L，質(zhì)量M和時間T，（2）中各個物理量的量綱分別是,由此得到量綱矩陣為,齊次方程 Ay=0的基本解為,根據(jù)量綱分析的Bucking-ham Pi定理，由這2個基本解可以得到2個無量綱量,（3）,（4）,（5）,3、數(shù)值計算,為了利用表1中t和r的數(shù)據(jù)由（6）確定原子彈爆炸的能量E，必先估計 的大小。,（