高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：拋物線蘇教版（理） 知識(shí)精講（通用）

1、高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：拋物線蘇教版（理）【本講教育信息】一、教學(xué)內(nèi)容：拋物線二、教學(xué)目標(biāo)：1、理解并掌握拋物線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，幾何性質(zhì)及焦參數(shù)p的幾 何意義，并能靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決有關(guān)問題。2、能根據(jù)所給條件熟練地求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。3、逐步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用能力。三、知識(shí)要點(diǎn)：1拋物線的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線2拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：開口向右、向左、向上、向下的拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的異同點(diǎn)：相同點(diǎn)：（1）原點(diǎn)在拋物線上；（2）對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；p值的意義表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；（3）p0為常數(shù)；

2、（4）p值等于一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的一半；（5）準(zhǔn)線與對(duì)稱軸垂直，垂足與焦點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它們與原點(diǎn)的距離等于一次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的1，即2p/4=p/2.不同點(diǎn)：方程對(duì)稱軸開口方向焦點(diǎn)位置y2=2pxx軸向右x軸正半軸上y2= 2px（p0）x軸向左x軸負(fù)半軸上x2=2py（p0）y軸向上y軸正半軸上x2= 2py（p0）y軸向下y軸負(fù)半軸上3拋物線的圖像和性質(zhì)：焦點(diǎn)坐標(biāo)是：，準(zhǔn)線方程是：。焦準(zhǔn)距：通徑：過焦點(diǎn)垂直于軸的弦長(zhǎng)為。焦半徑公式：若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則該點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離（稱為焦半徑）是：，焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：過焦點(diǎn)弦長(zhǎng)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P或或P【典型例題】例1、拋物線y2=2px上一點(diǎn)

3、M（4，m）到焦點(diǎn)距離等于6，則m2p=_分析：M（4，m）位于第一、四象，限焦點(diǎn)在x軸上，故p0解法1：焦點(diǎn)F（，0），因?yàn)镸（4，m）在拋物線上，且|MF|=6，故 解法2：由焦半徑公式：4+=6 得p=4，拋物線方程為y2=8x 點(diǎn)M在拋物線上，得m2=84=32 故m2p=128例2、已知拋物線，點(diǎn)P是拋物線上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（12，6），則點(diǎn)P到A的距離與點(diǎn)P到x 軸距離之和的最小值是_分析：將x=12代入拋物線x2=4y，得y=366，A點(diǎn)在拋物線外部，由定義知，拋物線上點(diǎn)P到A的距離與到準(zhǔn)線y=1的距離d之和|PA|+d=|PA|+|PF|，當(dāng)F，P，A共線時(shí)最小，最小值為|F

4、A|=，于是P到點(diǎn)A的距離與到x軸距離之和的最小值為131=12講評(píng)：把點(diǎn)P到x軸的距離換成P到準(zhǔn)線的距離，從而利用拋物線的定義很簡(jiǎn)捷。總結(jié)：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線的距離可以進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，因此要重視焦半徑公式在解題中的應(yīng)用。例3、若拋物線的焦點(diǎn)在（2，2），準(zhǔn)線方程為x+y1=0，求此拋物線方程分析：設(shè)P（x，y）為拋物線上任一點(diǎn) 由拋物線的定義知|PF|=d 即 化簡(jiǎn)得x2+y26x6y2xy+15=0講評(píng)：求拋物線的方程時(shí)，如果不是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)從拋物線的定義入手，這一點(diǎn)應(yīng)引起重視。例4、設(shè)拋物線y2=2px（p0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線

5、的準(zhǔn)線上，且BCx軸證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O分析：證直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O，即證O、A、C三點(diǎn)共線，為此只需證kOC=kOA本題也可結(jié)合圖形特點(diǎn)，由拋物線的幾何性質(zhì)和平面幾何知識(shí)去解決證法一：設(shè)AB：x=my+，代入y2=2px，得y22pmyP2=0由韋達(dá)定理，得yAyB=p2，即yB=BCx軸，且C在準(zhǔn)線x=上，C（，yB）則kOC=kOA故直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O證法二：如圖，記準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為E，過A作ADl，垂足為D 則ADEFBC連結(jié)AC交EF于點(diǎn)N，則=，=|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，|EN|=|NF|，即N是EF的中點(diǎn)從而點(diǎn)N與點(diǎn)O重合，故直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O點(diǎn)評(píng)：本題的“幾

6、何味”特別濃，這就為本題注入了活力在涉及解析思想較多的證法中，關(guān)鍵是得到y(tǒng)AyB=p2這個(gè)重要結(jié)論還有些證法充分利用了平面幾何知識(shí)，這也提醒廣大師生對(duì)圓錐曲線幾何性質(zhì)的重視，也只有這樣才能挖掘出豐富多彩的解析幾何的題目例5、如圖，ABCD是一塊邊長(zhǎng)為4km的正方形地域，地域內(nèi)有一條河流MD，其經(jīng)過路線是以AB中點(diǎn)M為頂點(diǎn)且開口向右的拋物線（河流寬度忽略不計(jì)），某集團(tuán)公司準(zhǔn)備投巨資建一個(gè)大型矩形游樂園PQCN問如何施工才能使游樂園面積最大?并求出最大面積解：以M為原點(diǎn)BA所在直線為y軸，如圖建系設(shè)拋物線方程為，由點(diǎn)D（4， 2）在拋物線上， 故拋物線方程為設(shè)是曲線MD上任意一點(diǎn)則， 矩形游樂園面

7、積 ， 令得當(dāng) 時(shí)； 當(dāng)時(shí)， 時(shí)，S有極大值， 此時(shí)， 又時(shí)， 所以當(dāng)游樂園長(zhǎng)PN=， 寬PQ=時(shí)，其面積最大為小結(jié)：1求拋物線方程時(shí)，若由已知條件可知曲線是拋物線，一般用待定系數(shù)法；若由已知條件可知曲線的動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律，一般用軌跡法。2凡涉及拋物線的弦長(zhǎng)、弦的中點(diǎn)、弦的斜率問題時(shí)要注意利用韋達(dá)定理，能避免求交點(diǎn)坐標(biāo)的復(fù)雜運(yùn)算。3解決焦點(diǎn)弦問題時(shí)，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，而且還應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)。4圓錐曲線統(tǒng)一定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和定直線l的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)0e1時(shí)，表示橢圓；當(dāng)e=1時(shí)，表示拋物線；當(dāng)e1時(shí)，表示雙曲線。5由于拋物線的離心率e=1，所以與橢圓及雙曲線相比，它

8、有許多特殊的性質(zhì)，而且許多性質(zhì)是可以借助于平面幾何的知識(shí)來解決的。6拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離，等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離牢記它對(duì)解題非常有益?！灸M試題】（答題時(shí)間：75分鐘）1、拋物線上一點(diǎn)M到位點(diǎn)F的距離為則該點(diǎn)縱坐標(biāo)為（ ）A、 B、 C、 D、2、若拋物線上兩點(diǎn) 關(guān)于直線對(duì)稱，且，則（ ）A、 B、2 C、 D、33、過拋物線的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，若A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影為，。則（ ）A、45 B、60 C、75 D、904、已知拋物線的焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)，在上取動(dòng)點(diǎn)P，則取最小值時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）A、 B、 C、 D、5、拋物線上

9、有A、B、C三點(diǎn)橫坐標(biāo)依次為，2，3，在軸一點(diǎn)D縱坐標(biāo)為6，則四邊形ABCD為（ ）A、正方形 B、菱形 C、平行四邊形 D、任意四邊形6、等邊內(nèi)接于拋物線，則（ ）A、3 B、 C、 D、無法判斷7、拋物線的焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線交軸于R，過拋物線上一點(diǎn)作于，則（ ）A、12 B、14 C、16 D、188、拋物線與橢圓的公共弦長(zhǎng)為（ ）A、1 B、 C、2 D、9、已知A、B是拋物線上兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若且的重心恰為拋物線的焦點(diǎn)，則AB的直線方程為（ ）A、 B、 C、 D、10、拋物線與直線交于兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)為、，直線與軸交點(diǎn)為，則，關(guān)系為（ ）A、 B、 C、 D、11、已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足則P點(diǎn)軌跡為（ ）A、拋物線 B、直線 C、雙曲線 D、橢圓12、兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上移動(dòng)。則重心G的軌跡方程為（ ）A、 B、C、 D、13、拋物線上兩定點(diǎn)A、B（A在軸上方，B在軸下方）F為焦點(diǎn)，P為拋物線AOB這一段上一點(diǎn)，求面積最大值。14、O為原點(diǎn)，A、B為拋物線上兩點(diǎn)，并且。（1）求最小值 （2）弦AB中點(diǎn)M到直線距離最小值15、為拋物線內(nèi)一點(diǎn)，過A作直線交拋物線于P、