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1、重慶市西南大學(xué)附中2020屆高三數(shù)學(xué)第十次月考試題 理(含解析)一、選擇題:本大題共12小題,每題5分,共60分在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的1.設(shè)集合,集合,則( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】,故選D.2.已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為,則雙曲線的離心率為( )A. B. C. D. 2【答案】A【解析】試題分析:由雙曲線方程可知漸近線為,由漸近線夾角為,可知漸近線傾斜角為,所以考點:雙曲線方程及性質(zhì)3.在平行四邊形中,點為的中點, 與的交點為,設(shè),則向量 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】,故選C.4.甲、乙兩類水果的質(zhì)量(單位:)分別服從
2、正態(tài)分布,其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示,則下列說法錯誤的是( )A. 甲類水果的平均質(zhì)量B. 甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右C. 甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D. 乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)【答案】D【解析】由圖象可知甲圖象關(guān)于直線x=0.4對稱,乙圖象關(guān)于直線x=0.8對稱,1=0.4,2=0.8,故A正確,C正確,甲圖象比乙圖象更“高瘦”,甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右,故B正確;乙圖象的最大值為1.99,即,21.99,故D錯誤。本題選擇D選項.5.已知等差數(shù)列的前項和為,且,則數(shù)列的前項和為A. B. C. D. 【答案】B【解析
3、】因為等差數(shù)列的前項和為,所以,所以,又,所以公差,所以,所以,顯然數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列,所以數(shù)列的前項和為故選B6.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】觀察可知,這個幾何體由兩部分構(gòu)成,:一個半圓柱體,底面圓的半徑為1,高為2;一個半球體,半徑為1,按公式計算可得體積?!驹斀狻吭O(shè)半圓柱體體積,半球體體積為,由題得幾何體體積為,故選A?!军c睛】本題通過三視圖考察空間識圖的能力,屬于基礎(chǔ)題。7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果s = 132,則判斷框中可以填( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】第一次循環(huán)第二
4、次循環(huán) 結(jié)束循環(huán),輸出,所以判斷框中應(yīng)填選B.8.已知,則實數(shù)a,b,c的大小關(guān)系是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】將第一個等式兩邊同時除以,然后比較a,b大小,對第二個等式進行整理,比較出c,b的大小,可得三者大小關(guān)系。詳解】由題得,可得,則;因為,則,可得,因此,所以有,故選C?!军c睛】本題考查比較實數(shù)大小,此類題的整體思路是做差或者做商,再根據(jù)函數(shù)特點進行化簡判斷大小。9.甲、乙、丙三人中,一人是工人,一人是農(nóng)民,一人是知識分子已知:丙的年齡比知識分子大;甲的年齡和農(nóng)民不同;農(nóng)民的年齡比乙小根據(jù)以上情況,下列判斷正確的是( )A. 甲是工人,乙是知識分子,丙是農(nóng)民
5、B. 甲是知識分子,乙是農(nóng)民,丙是工人C. 甲是知識分子,乙是工人,丙是農(nóng)民D. 甲是農(nóng)民,乙是知識分子,丙是工人【答案】C【解析】“甲的年齡和農(nóng)民不同”和“農(nóng)民的年齡比乙小”可以推得丙是農(nóng)民,所以丙的年齡比乙?。辉儆伞氨哪挲g比知識分子大”,可知甲是知識分子,故乙是工人,故選C.10.已知角的頂點在坐標原點,始邊與x軸正半軸重合,將終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后,終邊經(jīng)過點,則( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先建立角和旋轉(zhuǎn)之后得所到的角之間的聯(lián)系,再根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式進行計算可得。【詳解】設(shè)旋轉(zhuǎn)之后的角為,由題得,又因為,所以得,故選B。【點睛】本題考查任意角的三角函數(shù)
6、和三角函數(shù)的性質(zhì),是基礎(chǔ)題。11.在ABC中,點D為邊AB上一點,若,則ABC的面積是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先用余弦定理求出CD,進而求AB,BC,再根據(jù)三角形面積公式即得?!驹斀狻坑深}在中,代入可得,舍掉負根有.于是根據(jù)三角形面積公式有:.故選A.點睛】本題考查利用余弦定理解三角形,屬于中檔題.12.當直線和曲線E:交于三點時,曲線E在點A,點C處的切線總是平行的,則過點可作曲線E的切線的條數(shù)為( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】直線過定點由題意可知:定點是曲線的對稱中心,解得,所以曲線,f(x)= ,設(shè)切點M(x0,y0),則M縱坐標y
7、0=,又f(x0)=,切線的方程為:又直線過定點,得-2=0,即解得:故可做兩條切線故選:C點睛:求曲線的切線方程是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一,用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出切點及斜率,其求法為:設(shè)是曲線上的一點,則以的切點的切線方程為:若曲線在點的切線平行于軸(即導(dǎo)數(shù)不存在)時,由切線定義知,切線方程為二、填空題:本大題共4小題,每題5分,共20分13.若與互為共軛復(fù)數(shù),則_【答案】 【解析】,又與互為共軛復(fù)數(shù),則,故答案為.14.已知x,y滿足約束條件,則的取值范圍為_【答案】【解析】【分析】先畫出可行域,求的范圍,再求的取值范圍。【詳解】由題得,可行域為圖中陰影部分所示,則,作直線,結(jié)合圖像可知
8、,所以有?!军c睛】本題考查線性規(guī)劃的有關(guān)知識和數(shù)形結(jié)合的思想。15.在直線,圍成的區(qū)域內(nèi)撒一粒豆子,則落入,圍成的區(qū)域內(nèi)的概率為_【答案】【解析】 由題意,直線所圍成的區(qū)域為一個長為,高為的矩形,所以其的面積為, 又由,解得, 所以由所圍成的區(qū)域的面積為,所以概率為.16.在三棱錐ABCD中,平面ABC平面BCD,是邊長為2的正三角形,若,三棱錐的各個頂點均在球O上,則球O的表面積為_【答案】【解析】【分析】用投影結(jié)合勾股定理來計算外接球的半徑,再應(yīng)用球的表面積公式即可.【詳解】球心在平面的投影為,在平面的投影為,于是有是的外心,是的外心.設(shè)中點,連結(jié),于是四邊形是矩形.連結(jié).有.在中根據(jù)正弦
9、定理,得到.在中,因為是的角平分線,故.所以球的表面積為【點睛】本題考查四面體的外接球表面積問題,這種題一般都是先計算外接球半徑進而求解。需有一定的空間想象能力。三、解答題:共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721題為必考題,每個試題考生都必須作答第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答17.在中,內(nèi)角的對邊分別是,且滿足(1)求角C;(2)設(shè)為邊的中點,的面積為,求邊的最小值【答案】(1);(2)3【解析】【分析】(1) 先用正弦定理將已知等式兩邊都化為正,余弦角的關(guān)系,再根據(jù)對其進行化簡,計算可得角C。(2)由三角形的面積可得,用余弦定理將邊CD表示出來,再根據(jù)可求出CD最
10、小值。【詳解】(1) 由正弦定理:,又,由題,所以.因為,所以,即,即,因為,所以,則.(2) 由,即,所以.由,所以當且僅當時取等所以邊的最小值為.【點睛】本題考查正弦定理和余弦定理,運用基本不等式是求解最小值的關(guān)鍵。18.已知四棱錐中,底面為菱形,平面平面,點E,F(xiàn)分別為,上的一點,且,(1)求證:平面;(2)求與平面所成角的正弦值【答案】(1)見解析;(2)【解析】【分析】(1)作輔助線FG,點G在PC邊上,且,由題中條件可得為平行四邊形,再由線線平行證得線面平行。(2)用建系的方法求線面正弦值?!驹斀狻?1) 證明:取邊上點,使得,連接.因為,所以,且.又,所以,且.所以,且,所以四邊
11、形為平行四邊形,則.又平面,平面,所以平面.(2) 解:取中點,由,所以又平面平面,交線為,且,所以平面.以為原點建系,以,為軸,軸,軸.所以,所以,.設(shè)平面法向量為,則,可取,設(shè)與平面所成角為,則【點睛】本題考查線面的位置關(guān)系,立體幾何中的向量方法,屬于常考題型。19.現(xiàn)代研究表明,體脂率(體脂百分數(shù))是衡量人體體重與健康程度的一個標準為分析體脂率對人體總膽固醇的影響,從女性志愿者中隨機抽取12名志愿者測定其體脂率值及總膽固醇指標值(單位:mmol/L),得到的數(shù)據(jù)如表所示:(1)利用表中的數(shù)據(jù),是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系?請用相關(guān)系數(shù)加以說明.(若,則線性相關(guān)程度很高,可用線性回歸模
12、型擬合)(2)求出與的線性回歸方程,并預(yù)測總膽固醇指標值為9.5時,對應(yīng)的體脂率值為多少?(上述數(shù)據(jù)均要精確到0.1)(3)醫(yī)學(xué)研究表明,人體總膽固醇指標值服從正態(tài)分布,若人體總膽固醇指標值在區(qū)間之外,說明人體總膽固醇異常,該志愿者需作進一步醫(yī)學(xué)觀察.現(xiàn)用樣本的作為的估計值,用樣本的標準差作為的估計值,從這12名女志愿者中隨機抽4人,記需作進一步醫(yī)學(xué)觀察的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望附:參考公式:相關(guān)系數(shù),參考數(shù)據(jù):,【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析【解析】【分析】由相關(guān)系數(shù)公式直接計算可得;(2)先后求出,和,可得線性回歸方程,將y=9.5代入回歸方程,可得x的值。(3)先由
13、公式計算標準差作為的估計值,那么根據(jù)區(qū)間,可知志愿者中膽固醇異常者的人數(shù)為2人,則需要進一步觀察,從12名志愿者中隨機抽4人,記需作進一步醫(yī)學(xué)觀察的人數(shù)為,可能為0,1,2,先分別求出對應(yīng)概率,即可得的分布列進而求得數(shù)學(xué)期望【詳解】(1) 相關(guān)系數(shù)所以線性相關(guān)程度很高,可用線性回歸模型擬合.(2) ,又,所以,所以回歸直線,當時,(3) ,所以,則,所以在這12人中,有2人是膽固醇異常,需要進一步作醫(yī)學(xué)觀察的. 所以變量,所以的分布列為X012P數(shù)學(xué)期望【點睛】本題考查相關(guān)系數(shù)和線性回歸方程,以及分布列數(shù)學(xué)期望等概率統(tǒng)計知識,是一道很好的綜合性題目。20.已知橢圓的左頂點為,離心率為(1)求橢
14、圓C的方程;(2)過點的直線l交橢圓C于A,B兩點,當取得最大值時,求的面積【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)由左頂點M坐標可得a=2,再由可得c,進而求得橢圓方程。(2)設(shè)l的直線方程為,和橢圓方程聯(lián)立,可得,由于,可用t表示出兩個交點的縱坐標 和,進而得到的關(guān)于t的一元二次方程,得到取最大值時t的值,求出直線方程,而后計算出的面積?!驹斀狻?1) 由題意可得:,得,則.所以橢圓的方程: (2) 當直線與軸重合,不妨取,此時當直線與軸不重合,設(shè)直線的方程為:,設(shè),聯(lián)立得,顯然,.所以當時,取最大值.此時直線方程為,不妨取,所以.又,所以的面積【點睛】本題考查橢圓的基本性質(zhì),運用了設(shè)
15、而不求的思想,將向量和圓錐曲線結(jié)合起來,是典型考題。21.已知函數(shù)(1)當,求的單調(diào)區(qū)間;(2)若有兩個零點,求的取值范圍【答案】(1)見解析;(2)【解析】【分析】(1)將a=1代入函數(shù),再求導(dǎo)即可得單調(diào)區(qū)間;(2)法一:先對函數(shù)求導(dǎo):當時,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),且x=1為的極值點,當 所以,當,所以此時有兩個零點;當時,函數(shù)只有一個零點;當時,再分成三種情況, ,三種情況進行討論,最后取并集即得a的范圍。法二:分離參變量,每一個a對應(yīng)兩個x,根據(jù)新構(gòu)造的函數(shù)單調(diào)性和值域,找到相應(yīng)滿足條件的a的范圍即可?!驹斀狻?1) 當令,可得,當時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,當時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
16、。所以函數(shù)減區(qū)間在區(qū)間,增區(qū)間(2) 法一:函數(shù)定義域為,則當時,令可得,當時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,當時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增。且,當;當 所以所以有兩個零點.,符合當,只有一個零點2,所以舍設(shè),由得或,若,則,所以在單調(diào)遞增,所以零點至多一個.(舍)若,則,故時,當時,所以在,單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減。又,要想函數(shù)有兩個零點,必須有,其中.又因為當時,所以故只有一個零點,舍若,則,故時,;當時,所以在,單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減。又極大值點,所以只有一個零點在(舍)綜上,的取值范圍為。法二: ,所以不是零點.由,變形可得.令,則,即當,;當,.所以在遞增;在遞減.當時,當時,.所以當時,值域為.當時
17、,當時,.所以當時,值域為.因為有兩個零點,故的取值范圍是故的取值范圍是.【點睛】這是函數(shù)的零點問題,可用討論含參函數(shù)的單調(diào)性或者參變量分離的方法。22.在平面直角坐標系中,已知曲線的參數(shù)方程為,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為(1)求曲線與曲線兩交點所在直線的極坐標方程;(2)若直線的極坐標方程為,直線與軸的交點為,與曲線相交于兩點,求的值.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)先將和化為普通方程,可知是兩個圓,由圓心的距離判斷出兩者相交,進而得相交直線的普通方程,再化成極坐標方程即可;(2)先求出l的普通方程有,點,寫出直線l的參數(shù)方程,代入曲線:,設(shè)交點兩點的參數(shù)為,根據(jù)韋達定理可得和,進而求得的值?!驹斀狻?1) 曲線的普通方程為:曲線的普通方程為:,即由兩圓心的距離,所以兩圓相交,所以兩方程相減可得交線為,即.所以直線的極坐標方程為.(2) 直線的直角坐標方程:,則與軸的交點為直線的參數(shù)方程為,帶入曲線得.設(shè)兩點的參數(shù)為,所以,所以,同號.所以【點睛】本題考查了極坐標,參數(shù)方程和普通方程的互化和用參數(shù)方
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