晉冀魯豫中原名校2020屆高三數(shù)學(xué)第三次聯(lián)考試題 文（含解析）（通用）

1、晉冀魯豫中原名校2020屆高三數(shù)學(xué)第三次聯(lián)考試題 文（含解析）一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合，則（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分別求得集合，由此求得兩個集合的交集.【詳解】由，則.故選B.【點睛】本小題主要考查兩個集合并集的求法，考查一元二次不等式、一元一次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)為虛數(shù)單位，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化簡題目所給表達式為的形式，由此得出正確選項.【詳解】.故選C.【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)乘法的運算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3.已知是第四象限角，則（ ）A. B

2、. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)的正弦值和角所在的象限，求得的值，根據(jù)兩角差的正切公式求得所求表達式的值.【詳解】因為，且為第四象限角，則，故選D.所以.【點睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查兩角差的正切公式，屬于基礎(chǔ)題.4.設(shè)滿足約束條件，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】畫出可行域，利用的幾何意義，求得的最小.【詳解】由圖知的最小值為原點到直線的距離，則最小距離為.故選D.【點睛】本小題主要考查非線性目標函數(shù)的最值的求法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.5.已知，則，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D. 【答案】C【

3、解析】【分析】根據(jù)的單調(diào)性判斷的大小關(guān)系，由判斷出三者的大小關(guān)系.【詳解】由，則.故選C.【點睛】本小題主要考查對數(shù)運算，考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查對數(shù)式比較大小，屬于基礎(chǔ)題.6.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，若該幾何體的表面積為，則的值為（）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三視圖還原為原圖.利用幾何體的表面積列方程，解方程求得的值.【詳解】由三視圖可知，該幾何體為如圖所示的直三棱柱，其中，則，所以該幾何體的表面積為，得.故選B.【點睛】本小題主要考查三視圖還原為原圖，考查幾何體表面積的計算，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.7.1876年

4、4月1日，加菲爾德在新英格蘭教育日志上發(fā)表了勾股定理的一種證明方法，即在如圖的直角梯形中，利用“兩個全等的直角三角形和一個等腰直角三角形的面積之和等于直角梯形面積”，可以簡潔明了地推證出勾股定理.1881年加菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng).后來，人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀、易懂的證明，就把這一證明方法稱為“總統(tǒng)證法”.如圖，設(shè)，在梯形中隨機取一點，則此點取自等腰直角中（陰影部分）的概率是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】在直角三角形中，求得的表達式，利用計算出所求的概率.【詳解】在直角中，則，故選C.【點睛】本小題主要考查幾何概型，考查三角形的面積公式，考查梯形的面積公式，考

5、查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于中檔題.8.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對分成兩種情況，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及零點存在性定理列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】.當時，若，則，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，不可能有兩個零點；當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，因為，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點，有，得.故選B.【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果是（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】由S=0

6、,n=1,第一次循環(huán):S=0+,n=2;第二次循環(huán):S=+ =,n=3;第三次循環(huán):S=+=,n=4; 第四次循環(huán):S=+=,n=5; 第五次循環(huán):S=+ =, n=6;第六次循環(huán):S=+ =,n=7; 第七次循環(huán):S=+ =,n=8;符合題意輸出n=8,故選C.10.已知圓的方程為，點在直線上，線段為圓的直徑，則的最小值為（）A. 2B. C. 3D. 【答案】B【解析】【分析】將轉(zhuǎn)化為，利用圓心到直線的距離求得的取值范圍求得的最小值.【詳解】.故選B.【點睛】本小題主要考查向量的線性運算，考查點到直線距離公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.11.如圖，在正方體中，點是線段上的動

7、點，點為正方體對角線上的動點，若三棱錐的體積為正方體體積的，則直線與底面所成角的正切值為（）A. B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線面角的定義作出直線與底面所成的角，根據(jù)三棱錐的體積和正方體的體積關(guān)系列方程，求得到底面的距離，進而求得線面角的正切值.【詳解】設(shè)正方體的邊長為1，連，在上取一點，使得.由底面，得底面，直線與底面所成的角為，記為，則.又由，則，得，可得，則.故選A.【點睛】本小題主要考查線面角的正切值的求法，考查線面角的概念，考查空間想象能力，屬于中檔題.12.已知橢圓的左、右焦點分別為，過點的直線交橢圓于，兩點，且，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D. 【

8、答案】C【解析】【分析】不妨設(shè)，根據(jù)橢圓的定義求得，的值.在中由余弦定理求得，在中，由余弦定理求得，由此求得橢圓的離心率.【詳解】設(shè)，則，得，則.在中，由余弦定理有.在中，由余弦定理有，則橢圓的離心率為.故選C.【點睛】本小題主要考查橢圓離心率的求法，考查利用余弦定理解三角形，考查橢圓的定義，屬于中檔題.二、填空題。13.已知向量，若，則_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩個向量平行的坐標表示列方程，解方程求得的值，由此求得的坐標，進而求得的模.【詳解】由，得，即，則，所以.【點睛】本小題主要考查兩個向量平行的坐標表示，考查向量加法的坐標運算，考查向量模的計算，屬于基礎(chǔ)題.14.函數(shù)的值域為_.

9、【答案】【解析】【分析】利用降次公式和輔助角公式化簡函數(shù)，根據(jù)的取值范圍，求得的取值范圍.【詳解】由，當時，則，所以.【點睛】本小題主要考查降次公式、輔助角公式應(yīng)用，考查三角函數(shù)求值域的方法，屬于基礎(chǔ)題.15.在中，角，的對邊分別為，且，的面積為，則周長的最小值為_.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)正弦定理化簡題目所給表達式，求得的值，由此求得的大小，根據(jù)三角形的面積公式得到，利用基本不等式和余弦定理求得的最小值，進而求得的最小值.【詳解】由，得，即，因為，所以，所以，所以.由，得，（當且僅當時，“”成立），則，可得，故.【點睛】本小題主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，考查利用

10、基本不等式求和的最小值，屬于中檔題.16.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且為偶函數(shù)，則不等式的解集為_.【答案】【解析】分析】根據(jù)為偶函數(shù)可得圖像關(guān)于對稱.由此求得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，由將原不等式轉(zhuǎn)化為，由此求得的取值范圍.【詳解】為偶函數(shù)，的圖象關(guān)于對稱，的圖像關(guān)于對稱，.又，.設(shè)，則.又，在上單調(diào)遞減.，即.又，.【點睛】本小題主要考查函數(shù)圖像的對稱性，考查函數(shù)圖像變換，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)解不等式，綜合性較強，屬于中檔題.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知正項等比數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，

11、記數(shù)列的前項和為，求及的最大值.【答案】（1）（2）；最大值為.【解析】【分析】（1）利用基本元的思想將已知轉(zhuǎn)化為的形式，由此求得，進而求得數(shù)列的通項公式.（2）先求得的表達式，根據(jù)等差數(shù)列前項和公式求得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值.【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，若，有，而，故，則，解得.故數(shù)列的通項公式為.（2）由，則.由二次函數(shù)的對稱軸為，故當或15時有最大值，其最大值為.【點睛】本小題主要考查利用基本元的思想求解等比數(shù)列的通項公式，考查等差數(shù)列的識別，考查等差數(shù)列前項和公式，考查二次函數(shù)求最值的方法，屬于中檔題.18.某企業(yè)購買某種儀器，在儀器使用期間可能出現(xiàn)故障，需要請銷售儀

12、器的企業(yè)派工程師進行維修，因為考慮到人力、成本等多方面的原因，銷售儀器的企業(yè)提供以下購買儀器維修服務(wù)的條件：在購買儀器時，可以直接購買儀器維修服務(wù)，維修一次1000元；在儀器使用期間，如果維修服務(wù)次數(shù)不夠再次購買，則需要每次1500元.現(xiàn)需決策在購買儀器的同時購買幾次儀器維修服務(wù)，為此搜集并整理了500臺這種機器在使用期內(nèi)需要維修的次數(shù)，得到如下表格：維修次數(shù)56789頻數(shù)（臺）50100150100100記表示一臺儀器使用期內(nèi)維修的次數(shù)，表示一臺儀器使用期內(nèi)維修所需要的費用，表示購買儀器的同時購買的維修服務(wù)的次數(shù).（1）若，求與的函數(shù)關(guān)系式；（2）以這500臺儀器使用期內(nèi)維修次數(shù)的頻率代替一

13、臺儀器維修次數(shù)發(fā)生的概率，求的概率.（3）假設(shè)購買這500臺儀器的同時每臺都購買7次維修服務(wù)，或每臺都購買8次維修服務(wù)，請分別計算這500臺儀器在購買維修服務(wù)所需要費用的平均數(shù)，以此為決策依據(jù)，判斷購買7次還是8次維修服務(wù)？【答案】（1）（2）0.7（3）應(yīng)該購買7次維修服務(wù).【解析】【分析】（1）分別求得和時，關(guān)于的表達式，由此求得與的函數(shù)關(guān)系式.（2）利用的頻數(shù)和除以，得到所求的概率.（3）分別計算出購買次和次所需費用的平均數(shù)，由此判斷出應(yīng)該購買此維修服務(wù).【詳解】解：（1）當時，；當時，.故與的函數(shù)關(guān)系式為.（2）的概率為.（3）購買7次維修服務(wù)所需的平均費用為.購買8次維修服務(wù)所需的平

14、均費用為.因為，故應(yīng)該購買7次維修服務(wù).【點睛】本小題主要考查分段函數(shù)解析式的求法，考查古典概型概率計算，考查平均數(shù)的計算，考查閱讀與理解能力，屬于中檔題.19.如圖，在多面體中，四邊形和四邊形是兩個全等的等腰梯形.（1）求證：四邊形為矩形；（2）若平面平面，求多面體的體積.【答案】（1）見證明；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)全等的等腰梯形和已知條件得到且，由此證得四邊形為平行四邊形. 分別取，的中點，連接，通過證明四點共面，且，且相交，由此證得平面，從而證得,由此證得四邊形為矩形.（2）連結(jié)，作，垂足為，則.先證明平面，然后證明平面，由此求得點到平面的距離、點到平面的距離，分別求得和的體積

15、，由此求得多面體的體積.【詳解】（1）證明：四邊形和四邊形是兩個全等的等腰梯形，且，四邊形為平行四邊形.分別取，的中點，.，為的中點，同理，.為中點，為的中點，且.，四點共面，且四邊形是以，為底的梯形.，且，是平面內(nèi)的相交線，平面.平面，又，.四邊形為矩形.（2）解：連結(jié)，作，垂足為，則.，.在中，.，平面，平面，平面.平面平面，平面平面，平面，平面，點到平面的距離為2，同理，點到平面的距離為2，則，；，.故多面體的體積為.【點睛】本小題主要考查證明一個四邊形為矩形的方法，考查四點共面的證明，考查線面平行的證明，考查面面垂直的性質(zhì)定理，考查分割法求幾何體的體積，考查空間想象能力和邏輯推理能力，

16、綜合性較強，屬于中檔題.20.已知拋物線：，點為拋物線的焦點，焦點到直線的距離為，焦點到拋物線的準線的距離為，且.（1）求拋物線的標準方程；（2）若在軸上存在點，過點直線分別與拋物線相交于，兩點，且為定值，求點的坐標.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求得點的坐標，由點到直線距離公式求得，由拋物線的定義求得，根據(jù)的值列方程，解方程求得的值，由此求得拋物線方程.（2）設(shè)點的坐標為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，消去得到關(guān)于的一元二次方程，寫出判別式和韋達定理.化簡的表達式，根據(jù)為定值求得的值，由此求得點的坐標.【詳解】解：（1）由題意知，焦點的坐標為，則，又，解得：.故

17、拋物線的標準方程為.（2）設(shè)點的坐標為，設(shè)點，的坐標分別為，顯然直線的斜率不為0.設(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程，消去，并整理得，則且，.由，.有.若為定值，必有.所以當為定值時，點的坐標為.【點睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查點到直線距離公式，考查直線和拋物線的交點，考查兩點間的距離公式，考查運算求解能力，屬于中檔題.21.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）先求得函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)求導(dǎo)，對分成四種情況，討論函數(shù)的單調(diào)性.（2）根據(jù)（1）中所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對四種情況分別研究函數(shù)的函數(shù)值，結(jié)合來求得的取值范圍.

18、【詳解】解：（1）由題意知，的定義域為，由，得.當時，令，可得，得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；當時，令，可得，得或，故的增區(qū)間為，減區(qū)間為、；當時，故函數(shù)的減區(qū)間為；當時，令，可得，得，或，故的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.綜上所述：當時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；當時，在，上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；當時，在為減函數(shù)；當時，在，上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).（2）由（1）可知：當時，此時；當時，當時，有，可得，不符合題意；當時，由函數(shù)的單調(diào)性可知，當時，不符合題意；當時，由函數(shù)的單調(diào)性可知，當時，不符合題意.綜上可知，所求實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)值恒大于零的問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，綜合性較強，屬于難題.22.在極坐標系中，為極點，點，點.（1）以極點為坐標原點，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系，求