專(zhuān)題4整式的乘除四大必考題型(2)-1

專(zhuān)題4整式乘除四大必考題型 4 1.已知(x3+mx+n)(x23x+4)的展開(kāi)式中不含x3和x2項(xiàng)．（1）求m與n的值．（2）在（1）的條件下，求(m+n)(m2mn+n2)的值．2.若(x+4)(x22ax4b)的展開(kāi)式中不含x的二次項(xiàng)和一次項(xiàng)．（1）求ba的值；3.（1）已知a、b滿足|a2+b28|+(ab1)2=0．①求ab的值；②先化簡(jiǎn)，再求值：(2ab+1)(2ab1)(a+2b)(ab)．已知的積中不含x和x3項(xiàng)，求代數(shù)式4.甲、乙兩人共同計(jì)算一道整式乘法題：(2x+a)(3x+b)．甲由于把第一個(gè)多項(xiàng)式中的“+a”看成了“a”，得到的結(jié)果為6x2+11x10；乙由于漏抄了第二個(gè)多項(xiàng)式中x的系數(shù)，得到的結(jié)果為2x29x+10．（1）求正確的a、b的值．（2）計(jì)算這道乘法題的正確結(jié)果．5.小紅準(zhǔn)備完成題目：計(jì)算(x2x1)(x22x+1)時(shí)，她發(fā)現(xiàn)第一個(gè)因式的一次項(xiàng)系數(shù)被一滴墨水遮擋住了．（1）她把被遮住的一次項(xiàng)系數(shù)猜成2，請(qǐng)你幫她完成計(jì)算：(x2+2x1)(x22x+1)；（2）老師說(shuō)：“你猜錯(cuò)了，這個(gè)題目的正確答案是不含一次項(xiàng)的．”請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明原題中被遮住的一次項(xiàng)系數(shù)是多少？6.在學(xué)習(xí)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式時(shí)，我們知道的結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，并且最高次項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)為4×5×(—6)=—120．那么一次項(xiàng)是什么呢？要解決這個(gè)問(wèn)題，就是要確定一次項(xiàng)的系數(shù)．通過(guò)觀察，我們發(fā)現(xiàn)：一次項(xiàng)的系數(shù)就是即一次項(xiàng)為3x．請(qǐng)參考上面的方法，解決下列問(wèn)題：（1）計(jì)算(x+1)(3x+2)(5x—3)所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)為；（2）如果計(jì)算(x2+x+5)(7x2—2x+a)(3x—1)所得多項(xiàng)式不含一次項(xiàng)，則常數(shù)a的值（3）如果(x+1)20242024202320222023x+a2024，則a2023的值是．1.當(dāng)我們利用兩種不同的方法計(jì)算同一圖形的面積時(shí)，可以得到一個(gè)等式，由圖1，可得（1）由圖2可得等式：．（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：（3）利用圖3中的紙片（足夠多畫(huà)出一種拼圖，使該拼圖可用來(lái)驗(yàn)證等式：2.[知識(shí)生成]通常，用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)恒等式．例如：如圖①是一個(gè)長(zhǎng)為2a，寬為2b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按圖②的形狀拼成一個(gè)正方形．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）觀察圖②,請(qǐng)你寫(xiě)出(a+b)2、(a—b)2、ab之間的等量關(guān)系是；（2）根據(jù)（1）中的等量關(guān)系解決如下問(wèn)題：若求2的值；[知識(shí)遷移]類(lèi)似地，用兩種不同的方法計(jì)算同一幾何體的體積，也可以得到一個(gè)恒等式．（3）根據(jù)圖③,寫(xiě)出一個(gè)代數(shù)恒等式：；（4）已知a+b=3，ab=1，利用上面的規(guī)律求的3.通過(guò)小學(xué)的學(xué)習(xí)，我們知道：周長(zhǎng)一定的長(zhǎng)方形中，正方形的面積最大．此結(jié)論可以利用圖形的割補(bǔ)加以說(shuō)明．已知長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是12，設(shè)長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)是x，則相鄰一邊長(zhǎng)是(6x)．①當(dāng)0<x<3時(shí)，如圖1，將此長(zhǎng)方形進(jìn)行如下割補(bǔ)．如圖2，長(zhǎng)方形B的一邊長(zhǎng)是x，相鄰一邊長(zhǎng)是.如圖3，將長(zhǎng)方形B割補(bǔ)到長(zhǎng)方形A的右側(cè)，陰影部分是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形（以上兩空，均用含x的代數(shù)式表示通過(guò)上述割補(bǔ)，圖1中長(zhǎng)方形的面積可以看成圖3中兩個(gè)正方形的面積之差，所以代數(shù)式x(6x)、9、(3x)2滿足的等量關(guān)系是；②當(dāng)3<x<6時(shí)，類(lèi)似上述過(guò)程進(jìn)行割補(bǔ)；③當(dāng)x=3時(shí)，該長(zhǎng)方形即為正方形．綜上分析，周長(zhǎng)是12的長(zhǎng)方形的最大面積是；當(dāng)2<x<6時(shí)，仿照上述割補(bǔ)過(guò)程，求代數(shù)式(6x)(4+2x)的最大值．4.有兩類(lèi)正方形A，B，其邊長(zhǎng)分別為a，b．現(xiàn)將B放在A的內(nèi)部得圖1，將A，B并列放置后構(gòu)造新的正方形得圖2．若圖1和圖2中陰影部分的面積分別為1和12，求：（1）正方形A，B的面積之和為．（2）小明想要拼一個(gè)兩邊長(zhǎng)分別為(2a+b)和(a+3b)的長(zhǎng)方形（不重不漏除用去若干個(gè)正方形A，B外，還需要以a，b為邊的長(zhǎng)方形個(gè)．（3）三個(gè)正方形A和兩個(gè)正方形B如圖3擺放，求陰影部分的面積．5.教科書(shū)第一章《整式的乘除》中，我們學(xué)習(xí)了整式的幾種乘除運(yùn)算，學(xué)會(huì)了研究運(yùn)算的請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（2）若(2x2+1，nx1)②(5，x2)的代數(shù)式中不含x的一次項(xiàng)時(shí)，求n的值；（4）如圖1，小長(zhǎng)方形長(zhǎng)為a，寬為b，用5張圖1中的小長(zhǎng)方形按照?qǐng)D2方式不重疊地放在大長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)，其中AB=5，大長(zhǎng)方形中未被覆蓋的兩個(gè)部分（圖中陰影部分設(shè)左下角長(zhǎng)方形的面積為S1，右上角長(zhǎng)方形的面積為S2，當(dāng)2S13S2=20，求(2a+b，6b)(b3，3a6b)的值.6.（1）通過(guò)計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式，甲圖是邊長(zhǎng)為x的正方形，請(qǐng)用兩種不同的方法表示甲圖中陰影部分的面積(a，b為常數(shù)）①因式的積的形式②關(guān)于x的二次多項(xiàng)式的形式由①與②,可以得到一個(gè)等式：（2）由（1）的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)用：若(am)(a2)=a2+na+6對(duì)a的任何值都成立，求m，n（3）事實(shí)上，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，乙圖表示的是一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方體挖去一個(gè)小長(zhǎng)方體后重新拼成一個(gè)新長(zhǎng)方體，請(qǐng)你根據(jù)乙圖中圖形的變化關(guān)系，利用整式乘法寫(xiě)出一個(gè)代數(shù)恒等式．7.問(wèn)題再現(xiàn)：利用圖形的幾何意義證明完全平方公式．證明：將一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形的邊長(zhǎng)增加b，形成兩個(gè)矩形和兩個(gè)正方形，如圖1．這個(gè)圖形的面積可以表示成：(a+b)2或a2+2ab+b2，:(a+b)2=a2+2ab+b2這就驗(yàn)證了兩數(shù)和的完全平方公式．（1）類(lèi)比解決：如圖2，一個(gè)邊長(zhǎng)為a的大正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，將陰影部分拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形．則①的陰影面積表示為．則②的陰影面積表示為．由此可以得到的等式是．（2）嘗試解決：?jiǎn)栴}提出：如何利用圖形幾何意義的方法證明：13+23=32？如圖3，A表示1個(gè)1×1的正方形，即：1×1×1=13B表示1個(gè)2×2的正方形，C與D恰好可以拼成1個(gè)2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2個(gè)2×2的正方形，即：3，而A、B、C、D恰好可以拼成一個(gè)(1+2)×(1+2)的大正方形．請(qǐng)你類(lèi)比上述推導(dǎo)過(guò)程，利用圖形的幾何意義求：13+23+33（要求寫(xiě)出結(jié)論并構(gòu)造圖形（3）問(wèn)題拓廣：請(qǐng)用上面的表示幾何圖形面積的方法探究：13+23+33+…+n3=.（直接寫(xiě)出結(jié)論即可，不必寫(xiě)出解題過(guò)程）1.有一系列等式：2222…（1）根據(jù)你的觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，寫(xiě)出8×9×10×11+1的結(jié)果（2）試猜想n(n+1)(n+2)(n+3)+1是哪一個(gè)數(shù)的平方，并予以證明．2.觀察以下等式：3+1…（1）按以上等式的規(guī)律，填空：(a+b)()=a3+b3；（2）利用多項(xiàng)式的乘法法則，說(shuō)明（1）中的等式成立；（3）利用（1）中的公式化簡(jiǎn)：(x+y)(x2—xy3.觀察下列各式：(x1)÷(x1)=1；(x21)÷(x1)=x+1；(x31)÷(x1)=x2+x+1；(x41)÷(x1)=x3+x2+x+1；…(x81)÷(x1)=x7+x6+x5+…+x+1；（1）根據(jù)上面各式的規(guī)律填空：①(x20161)÷(x1)=②(xn1)÷(x1)=（2）利用②的結(jié)論求22016+22015+…+2+1的值；（3）若1+x+x2+…+x2015=0，求x2016的值．4.【核心概念】素材1：楊輝是我國(guó)南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家，在其所著的《詳解九章算法》中有記載了如圖1，源于北宋時(shí)期數(shù)學(xué)家賈憲的“開(kāi)方作法本源圖”，我們把這個(gè)表叫做“楊輝三角”．素材2：我們知道，(a+b)1=a+b，(a+b)2=a2+2ab+b2．利用多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，還可以得到：(a+b)3=(a+b)(a2+2ab+b2)=a3+3a2b+3ab2+b3．當(dāng)a+b≠0時(shí)，將計(jì)算結(jié)果中多項(xiàng)式（以a降次排序）各項(xiàng)的系數(shù)排列成表，可得到如圖2:【任務(wù)規(guī)劃】（1）任務(wù)：請(qǐng)根據(jù)素材1和素材2直接寫(xiě)出：①(a+b)4展開(kāi)式中a3b的系數(shù)是；②(a+b)10展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為；【項(xiàng)目成效】（2）成果展示：若(2x1)2025202520242023【拓展應(yīng)用】（3）“楊輝三角”的應(yīng)用很廣泛，例如“堆垛術(shù)”，圖3中的立體圖形是由若干形狀、大小相同的圓球擺放而成，從上至下每層小球的個(gè)數(shù)依次為：1，3，6，10…，記第n層的圓球5.我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，“楊輝三角”就是其中一例，如圖所示為這個(gè)“三角形”的構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了(a+b)n(n為正整數(shù)）的展開(kāi)式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如，在“三角形”中，第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)(a+b)2=a2+2ab+b2展開(kāi)式中的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展開(kāi)式中的系數(shù)．（1）根據(jù)上面的規(guī)律，寫(xiě)出(a+b)4的展開(kāi)式；（2）利用上面的規(guī)律計(jì)算：255×24+10×2310×22+5×21；（3）(a+b)n的展開(kāi)式的系數(shù)和為；（4）運(yùn)用：若今天是星期三，經(jīng)過(guò)天后是星期．6.“楊輝三角”揭示了(a+b)n(n為非負(fù)數(shù)）展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律．在歐洲，這個(gè)表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年，請(qǐng)仔細(xì)觀察“楊輝三角”中每個(gè)數(shù)字與上一行的左右兩個(gè)數(shù)字之和的關(guān)系：根據(jù)上述規(guī)律，完成下列各題：（1）將(a+b)5展開(kāi)后，各項(xiàng)的系數(shù)和為．（2）將(a+b)n展開(kāi)后，各項(xiàng)的系數(shù)和為．（3）(a+b)6=下圖是世界上著名的“萊布尼茨三角形”，類(lèi)比“楊輝三角”，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列（4）若(m,n)表示第m行，從左到右數(shù)第n個(gè)數(shù)，如(4,2)表示第四行第二個(gè)數(shù)是，則(6,2)表示的數(shù)是，(8,3)表示的數(shù)是．7.我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”（如圖所示）就是一例這個(gè)三角形的構(gòu)造法則為：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)均為其上方（左右）兩數(shù)之和．事實(shí)上，這個(gè)三角形給出了(a+b)n(n為正整數(shù)）的展開(kāi)式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1、2、1，恰好對(duì)應(yīng)(a+b)2=a2+2ab+b2展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1、3、3、1，恰好對(duì)應(yīng)著(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)等等．（1）根據(jù)上面的規(guī)律，(a+b)4展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)中最大的數(shù)為；（3）若(2x1)2018201820172016……+++8.觀察下列算式，嘗試問(wèn)題解決：楊輝三角形是一個(gè)由數(shù)字排列成的三角形數(shù)表，一般形式如圖所示，其中每一橫行都表示(a+b)n（此處n=0，1，2，3，4，5..)的計(jì)算結(jié)果中的各項(xiàng)系數(shù)：（1）請(qǐng)根據(jù)上題中的楊輝三角系數(shù)集”，仔細(xì)觀察下列各式中系數(shù)的規(guī)律，并填空：(a+b)1=a+b各項(xiàng)系數(shù)之和1+1=2=21(a+b)2=a2+2ab+b2各項(xiàng)系數(shù)之和1+2+1=4=22(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3各項(xiàng)系數(shù)之和1+3+3+1=①請(qǐng)補(bǔ)全下面展開(kāi)式的系數(shù)：(a—b)6=a6+a5b+15a4b2+a3b3+15a2b4—6ab5+b6②請(qǐng)寫(xiě)出(a+b)10各項(xiàng)系數(shù)之和：（3）你能在（2）的基礎(chǔ)上求出a2+a4+a6+…+a14+a16的值嗎？若能，請(qǐng)寫(xiě)出過(guò)程．1.閱讀材料，解答問(wèn)題：如果一個(gè)四位自然數(shù)，十位數(shù)字是千位數(shù)字的2倍與百位數(shù)字的差，個(gè)位數(shù)字是千位數(shù)字的2倍與百位數(shù)字的和，則我們稱(chēng)這個(gè)四位數(shù)“亞運(yùn)數(shù)”，例如，（1）填空：①21是“亞運(yùn)數(shù)”（在橫線上填上兩個(gè)數(shù)字②最小的四位“亞運(yùn)數(shù)”是；（2）若四位“亞運(yùn)數(shù)”的后三位表示的數(shù)減去百位數(shù)字的3倍得到的結(jié)果除以7余3，這樣的數(shù)叫做“冠軍數(shù)”，求所有“冠軍數(shù)”；（3）已知一個(gè)大于1的正整數(shù)m可以分解成m=pq+n的形式(p≤q，n≤6，p，q，n均4有“冠軍數(shù)”的F(m)的最大值．2.【計(jì)算】小紅計(jì)算(x2y)2+(2xy)(2x+y)x(□x3y)2y2時(shí)，得到的結(jié)果是x2+y2xy，則“□”表示的數(shù)為．【發(fā)現(xiàn)】小紅對(duì)計(jì)算結(jié)果x2+y2xy很感興趣，她發(fā)現(xiàn)有些數(shù)A可以表示成A=x2+y2xy(x、y為自然數(shù)）的形式，她把這類(lèi)數(shù)稱(chēng)為“神秘?cái)?shù)”．例如：3=22+122×1，19=52+325×3，327=192+17219×17…，所以3，19，327是“神秘?cái)?shù)”．請(qǐng)寫(xiě)出兩個(gè)10以?xún)?nèi)的“神秘?cái)?shù)”【探究】小紅進(jìn)一步研究，發(fā)現(xiàn)像19，327這樣的“神秘?cái)?shù)”可以用兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)按發(fā)現(xiàn)中給出的運(yùn)算表達(dá)出來(lái)，她把這些“神秘?cái)?shù)”稱(chēng)為“雙奇神秘?cái)?shù)”．試說(shuō)明所有“雙奇神秘?cái)?shù)”被4除【應(yīng)用】若兩個(gè)“雙奇神秘?cái)?shù)”的差是12，則這兩個(gè)“雙奇神秘?cái)?shù)”是和．3.定義：L（A）是多項(xiàng)式A化簡(jiǎn)后的項(xiàng)數(shù)，例如多項(xiàng)式A=x2+2x—3，則L（A）=3．一個(gè)多項(xiàng)式A乘多項(xiàng)式B化簡(jiǎn)得到多項(xiàng)式C（即C=A×B)，如果L（A）≤L（C）≤L（A）+1，則稱(chēng)B是A的“好多項(xiàng)式”，如果L（A）=L（C則稱(chēng)B是A的“極好多項(xiàng)式”．（1）若A=x—2，B=x+3均是關(guān)于x的多項(xiàng)式，則B是不是A的“好多項(xiàng)式”？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由；4.閱讀與理解：已知ax2+bx+c是關(guān)于x的多項(xiàng)式，記為P(x)．我們規(guī)定：P(x)的導(dǎo)出多項(xiàng)式為：2ax+b，記為Q(x)．例如：若P(x)=3x2—2x+1，則P(x)的導(dǎo)出多項(xiàng)式Q(x)=2.3x2=6x2．根據(jù)以上信息，回答問(wèn)題：若則它的導(dǎo)出多項(xiàng)式Q(x)=；（2）設(shè)Q(x)是P(x)的導(dǎo)出多項(xiàng)式．①若P(x)=4x2+