蘇科版2025年新八年級數(shù)學(xué)暑假銜接講義第2部分-預(yù)習(xí)-第09講等腰三角形的軸對稱性(學(xué)生版+解析)

/第09講等腰三角形的軸對稱性模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．探索等腰三角形的軸對稱性的過程；2．探索并證明等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)和判定定理；3.會利用基本作圖作三角形。1.把等腰三角形紙片沿頂角平分線折疊，有什么發(fā)現(xiàn)？幾何語言說明：由題意得AB=AC，∠BAD=∠CAD，在▲ABD和▲ACD中，∴▲ABD≌▲ACD（SAS）所以三角形ABD和三角形ACD重合。所以，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD。由此可以發(fā)現(xiàn)，等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸。并且得到下面定理：（1）等腰三角形的兩底角相等（簡稱“等邊對等角”）幾何語言：∵AB=AC∴∠B=∠C（2）等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（三線合一）幾何語言：已知角平分線，用SAS證高與中線。幾何語言：∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD∴AD⊥BC，BD＝CD已知中線，用SSS證角平分線與高線。幾何語言：∵AB＝AC，BD＝CD∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC（3）已知高線，用HL證角平分線與中線。幾何語言：∵AB＝AC，AD⊥BC∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD按下列作法，用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC，使底邊BC=a，高AD=h。作法：（1）作線段BC=a；（2）作線段BC的垂直平分線，MN交BC與點D；（3）在MN上截取線段DA，使DA=h；（4）連接AB、AC?！鳤BC就是所求作的等腰三角形。3.已知如圖，在△ABC中，∠B＝∠C．求證：AB＝AC．方法1：作∠BAC的平分線AD，交BC于點D．由∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，可得△BAD≌△CAD，則AB＝AC．方法2：作BC邊上的高AD．由∠B＝∠C，∠BDA＝∠CDA＝90°，AD＝AD，可得△BAD≌△CAD，則AB＝AC．因此，可以得到有兩個角相等的三角形是等腰三角形（簡稱“等角對等邊”）幾何語言：∵∠B＝∠C∴AB=AC4.（1）回想一下什么是等邊三角形，也可以稱為什么三角形？三邊相等的三角形叫做等邊三角形或正三角形。（2）等邊三角形是特殊的等腰三角形，它有它特有的性質(zhì)嗎？等邊三角形是軸對稱圖形，并且有3條對稱軸。已知AB=BC=CA，證∠A=∠B=∠C。證：∵AB=BC，BC=CA∴∠A=∠C，∠A=∠B∴∠A=∠B=∠C∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=60°因此，等邊三角形的各角都等于60°。幾何語言：∵AB=AC=BC∴∠A=∠B=∠C=60°5.（1）那如果一個三角形的三個角都相等，那么這個三角形是等邊三角形嗎？已知∠A=∠B=∠C，證：AB=AC=BC證：∵∠A=∠C，∠A=∠B∴AB=BC，BC=CA∴AB=AC=BC∴▲ABC是等邊三角形因此，三個角都相等的三角形是等邊三角形。幾何語言：∵∠A=∠B=∠C∴▲ABC是等邊三角形（2）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？已知頂角∠A=60°，AB=AC，證：▲ABC是等邊三角形證：∵∠A=60°，AB=AC∴∠B=∠C==60°∴∠A=∠B=∠C∴▲ABC是等邊三角形已知底角∠A=60°，BA=BC，證：▲ABC是等邊三角形證：∵∠A=60°，BA=BC∴∠A=∠C=60°∴∠B=180°-∠A-∠C=60°∴∠A=∠B=∠C∴▲ABC是等邊三角形因此，有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。幾何語言：∵∠A=60°，AB=AC∴▲ABC是等邊三角形6.兩個斜邊的一半（1）如圖，已知∠B=90°，∠A=30°，證：證：延長CB到點D，使得BC=BD，連接AD?！連C=BD,BC+BD=CD∴∵∠B=90°，BC=BD∴AD垂直平分∴AC=AD∵∠BAC=30°，∠ABC=90°∴∠C=60°∵AC=AD∴▲ACD是等邊三角形∴CD=AC∵∴因此，30°對應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半。幾何語言：∵∠B=90°，∠A=30°∴（2）如圖，∠ABC=90°，在AC上取一點D，使得BD=CD證：∵∠ABC=90°∴∠A+∠C=90°，∠ABD+∠CBD=90°∵BD=CD∴∠C=∠CBD∴∠A=∠AB∴AD=BD∵BD=CD，AC=AD+CD∴AC=2BD∴因此，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。幾何語言：∵∠ABC=90°，D是AC中點∴考點一：等邊對等角例1．等腰三角形的一個角是，則它頂角的度數(shù)是（

）A． B．或 C．或 D．【變式1-1】如圖，已知直線，線段分別與直線m，n相交于點、點，以點為圓心，的長為半徑畫弧交直線于點、點．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式1-2】如圖，在中，，分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線，分別交于點D，E，連接．若，則等于．【變式1-3】如圖，在中，是邊上的高線，是中線，且于，．(1)求證：是的中點；(2)求證．考點二：根據(jù)等邊對等角證明例2．在中，，，則等于（

）A． B． C． D．【變式2-1】如圖，在中，，，，分別是，，上的點，且，，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式2-2】如圖，將紙片沿折疊，使點A落在點處，且平分，平分，若，則．【變式2-3】如圖，是的中線，是的中線，且．求證：(1)；(2)平分．考點三：三線合一例3.如圖，在中，，平分，若，則（）A．10 B．12 C．5 D．6【變式3-1】如圖，D為內(nèi)一點，平分，，，若，則的長為（）

A．5 B．4 C．3 D．2【變式3-2】如圖，在中，平分于點于點，則．【變式3-3】如圖，在中，的垂直平分線交于點E，交于點F，D為線段的中點，且．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．考點四：根據(jù)三線合一證明例4．如圖，在中，，分別以點A，為圓心，以長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接．下列結(jié)論錯誤的是（）A． B．C． D．是的垂直平分線【變式4-1】如圖，在中，，點在上，且，點和點分別是和的中點，則的長是（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【變式4-2】如圖，等邊三角形中，，垂足為點D，點E在線段上，，則等于．【變式4-3】如圖，已知在中，，點、在邊上，且．試說明的理由．考點五：等角對等邊例5．如圖，在中，，，①以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交邊，于點D，E；②分別以點D，E為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部交于點F；③作射線交于點G．若，則長（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式5-1】如圖，中，平分交于點D，過點D作交于點E，若，，則的長為（）A．5 B．6 C．7 D．8【變式5-2】如圖，，F(xiàn)為的中點，，則的長為．【變式5-3】如圖，在中，的平分線交于點F，過點F作分別交于點D，E．若的周長為20，，求的周長．考點六：根據(jù)等角對等邊證明例6.如圖，在中，，，，交于點D，，則的長為（

）A．8 B．10 C．12 D．14【變式6-1】下列條件中，不能判定是等腰三角形的是（

）A．，， B．C．， D．【變式6-2】如圖，在中，的垂直平分線交于點D，交于點．若，，則的長是．【變式6-3】如圖，在中，，D是上一點（D與C不重合）．(1)尺規(guī)作圖：過點D作的垂線交于點E．作的平分線交于點F，交于點H（保留作圖痕跡，不用寫作法）．(2)求證：．考點七：等邊三角形的性質(zhì)例7．如圖，直線，等邊的頂點C在直線b上，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式7-1】如圖所示，是等邊三角形，為角平分線，為上一點，且，則等于（

）A． B． C． D．【變式7-2】如圖，等邊中，點、分別在邊、上，把沿直線翻折，使點落在點處，分別交邊于點、．如果測得，那么．【變式7-3】已知，如圖，為等邊三角形，，、相交于點．(1)求證：；(2)求的度數(shù)；(3)若于，，，求的長．考點八：等邊三角形的判定例8．下列命題的逆命題是真命題的是（

）A．若，則 B．等邊三角形的每一個角都等于C．全等三角形的面積相等 D．若，則【變式8-1】滿足下列條件的三角形中，不一定是等邊三角形的是（）A．有兩個內(nèi)角是的三角形 B．有兩邊相等且是軸對稱圖形的三角形C．有一個內(nèi)角是且有兩邊相等的三角形 D．三邊都相等的三角形【變式8-2】已知：如圖，在中，，，于點，且，則是三角形．

【變式8-3】閱讀材料：若，求m，n的值．解：，，，，，．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)，則_______，_______；(2)已知的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足，求的周長．(3)已知a、b、c分別是三邊的長且，請判斷的形狀，并說明理由．考點九：含30°角的直角三角形例9.如圖，一個地鐵站入口的雙翼閘機的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點P與Q之間的距離為，雙翼的邊緣，且與閘機側(cè)立面的夾角，閘機的通道寬度為（

）

A． B． C． D．【變式9-1】如圖，等邊三角形的頂點分別在等邊三角形的各邊上，且與E，若，則的長為（

）A． B． C． D．【變式9-2】如圖，在矩形中，，連接，分別以點B，D為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點M，N，直線分別交，于點E，F(xiàn)．若平分，，則．【變式9-3】如圖，在等腰中，頂角，點D是邊的中點，連接，作于點E，再作交于點F．

(1)求證：；(2)若，則的面積為______．考點十：斜中定理例10.一直角三角形斜邊上的中線長是，則斜邊的長（

）A． B． C． D．【變式10-1】如圖，在中，是斜邊上的中線，于點，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式10-2】直角三角形兩直角邊長分別為5和12，則它斜邊上的中線長為．【變式10-3】綜合與實踐：(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接①的度數(shù)為______；（直接寫出）②線段之間的數(shù)量關(guān)系為______（直接寫出）(2)類比探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，點A，D，E在同一直線上，為中邊上的高，連接①的度數(shù)為______；（直接寫出）②證明：線段之間的數(shù)量關(guān)系；（詳細過程）(3)拓展延伸：在（2）的條件下，若，求四邊形的面積．（詳細過程）1．如圖，在中，是斜邊上的中線，若，則（

）A．10 B．6 C．8 D．52．等腰三角形一邊長9cm，另一邊長4cm，它第三邊是（

）A．4cm B．5cm C．9cm D．12cm3．一個等腰三角形的兩邊長分別為3cm和7cm，則此三角形的周長為（）A．13cm B．17cmC．7cm或13cm D．不確定4．如圖，已知在中，，，根據(jù)圖中尺規(guī)作圖痕跡，（

）

A． B． C． D．5．如圖，在中，，是的平分線，點E是延長線上一點，連接是的垂直平分線，若，，則的周長為（

）A． B． C． D．6．在等腰三角形中，，（如圖，一個含30度角的直角三角板的一直角邊與邊重合，斜邊經(jīng)過的頂點A），則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．7．如圖，在中，，平分交于點D，平分交于點E，、交于點F．則下列說法正確的個數(shù)為（）①；②，③若，則；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．如圖，與都是等邊三角形，點B，C，D在同一條直線上，與相交于點G，與相交于點F，與相交于點H，連接．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．49．已知等邊三角形的邊長為2，則該等邊三角形的周長為．10．如圖，在中，，，則．11．如圖，在中，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于兩點，作直線，交邊于點，連接，若，則的度數(shù)為．12．如圖，在中，是BC的中點，若，則．13．如圖，，是正六邊形的兩條對角線，則的大小為．14．如圖，已知在四邊形中，，平分交于點，于點，于點，，，則的面積為．15．如圖，已知，點在射線上，點在射線上．均為等邊三角形，若，則的邊長為．16．已知正方形，點是邊上的動點，以為邊作等邊三角形，連接，交邊于點，當(dāng)最小時，．17．如圖，在中，，過點A作且，連接．試說明：．18．如圖，在中，，是的平分線，，交于點E．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．19．圖①、圖②、圖③分別是的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點、、的頂點均在格點上，僅用無刻度的直尺在下列網(wǎng)格中按要求作圖，保留作圖痕跡．(1)在圖①中，畫的角平分線；(2)在圖②中，畫的角平分線；(3)在圖③中，在邊上確定點N，使得．20．如圖，在中，的平分線交于點E，點F是上一點，連接．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．21．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們利用全等三角形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，對以和為腰的等腰三角形，從特殊情形到一般情形進行如下探究：【獨立思考】（1）如圖1，，即△ABC為等邊三角形，D，E分別是上的點，且．①求證：；②求的度數(shù)；【實踐探究】（2）如圖2，在等腰中，，點D是上的點，過點B作于點E．若，猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【問題拓展】（3）如圖3，在等腰中，，D，E分別是上的點，且，當(dāng)?shù)闹底钚r，求的度數(shù)．22．【基礎(chǔ)鞏固】

（1）如圖1，在與中，，，，求證：；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在與中，，，，，，、、三點在一條直線上，與交于點，若點為中點．①求的大??；②，求的面積；【拓展提高】（3）如圖3，與中，，，，與交于點，，，的面積為18，請直接寫出的長．

第09講等腰三角形的軸對稱性模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．探索等腰三角形的軸對稱性的過程；2．探索并證明等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)和判定定理；3.會利用基本作圖作三角形。1.把等腰三角形紙片沿頂角平分線折疊，有什么發(fā)現(xiàn)？幾何語言說明：由題意得AB=AC，∠BAD=∠CAD，在▲ABD和▲ACD中，∴▲ABD≌▲ACD（SAS）所以三角形ABD和三角形ACD重合。所以，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD。由此可以發(fā)現(xiàn)，等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸。并且得到下面定理：（1）等腰三角形的兩底角相等（簡稱“等邊對等角”）幾何語言：∵AB=AC∴∠B=∠C（2）等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（三線合一）幾何語言：已知角平分線，用SAS證高與中線。幾何語言：∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD∴AD⊥BC，BD＝CD已知中線，用SSS證角平分線與高線。幾何語言：∵AB＝AC，BD＝CD∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC（3）已知高線，用HL證角平分線與中線。幾何語言：∵AB＝AC，AD⊥BC∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD按下列作法，用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC，使底邊BC=a，高AD=h。作法：（1）作線段BC=a；（2）作線段BC的垂直平分線，MN交BC與點D；（3）在MN上截取線段DA，使DA=h；（4）連接AB、AC?！鳤BC就是所求作的等腰三角形。3.已知如圖，在△ABC中，∠B＝∠C．求證：AB＝AC．方法1：作∠BAC的平分線AD，交BC于點D．由∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，可得△BAD≌△CAD，則AB＝AC．方法2：作BC邊上的高AD．由∠B＝∠C，∠BDA＝∠CDA＝90°，AD＝AD，可得△BAD≌△CAD，則AB＝AC．因此，可以得到有兩個角相等的三角形是等腰三角形（簡稱“等角對等邊”）幾何語言：∵∠B＝∠C∴AB=AC4.（1）回想一下什么是等邊三角形，也可以稱為什么三角形？三邊相等的三角形叫做等邊三角形或正三角形。（2）等邊三角形是特殊的等腰三角形，它有它特有的性質(zhì)嗎？等邊三角形是軸對稱圖形，并且有3條對稱軸。已知AB=BC=CA，證∠A=∠B=∠C。證：∵AB=BC，BC=CA∴∠A=∠C，∠A=∠B∴∠A=∠B=∠C∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=60°因此，等邊三角形的各角都等于60°。幾何語言：∵AB=AC=BC∴∠A=∠B=∠C=60°5.（1）那如果一個三角形的三個角都相等，那么這個三角形是等邊三角形嗎？已知∠A=∠B=∠C，證：AB=AC=BC證：∵∠A=∠C，∠A=∠B∴AB=BC，BC=CA∴AB=AC=BC∴▲ABC是等邊三角形因此，三個角都相等的三角形是等邊三角形。幾何語言：∵∠A=∠B=∠C∴▲ABC是等邊三角形（2）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？已知頂角∠A=60°，AB=AC，證：▲ABC是等邊三角形證：∵∠A=60°，AB=AC∴∠B=∠C==60°∴∠A=∠B=∠C∴▲ABC是等邊三角形已知底角∠A=60°，BA=BC，證：▲ABC是等邊三角形證：∵∠A=60°，BA=BC∴∠A=∠C=60°∴∠B=180°-∠A-∠C=60°∴∠A=∠B=∠C∴▲ABC是等邊三角形因此，有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。幾何語言：∵∠A=60°，AB=AC∴▲ABC是等邊三角形6.兩個斜邊的一半（1）如圖，已知∠B=90°，∠A=30°，證：證：延長CB到點D，使得BC=BD，連接AD?！連C=BD,BC+BD=CD∴∵∠B=90°，BC=BD∴AD垂直平分∴AC=AD∵∠BAC=30°，∠ABC=90°∴∠C=60°∵AC=AD∴▲ACD是等邊三角形∴CD=AC∵∴因此，30°對應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半。幾何語言：∵∠B=90°，∠A=30°∴（2）如圖，∠ABC=90°，在AC上取一點D，使得BD=CD證：∵∠ABC=90°∴∠A+∠C=90°，∠ABD+∠CBD=90°∵BD=CD∴∠C=∠CBD∴∠A=∠AB∴AD=BD∵BD=CD，AC=AD+CD∴AC=2BD∴因此，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。幾何語言：∵∠ABC=90°，D是AC中點∴考點一：等邊對等角例1．等腰三角形的一個角是，則它頂角的度數(shù)是（

）A． B．或 C．或 D．【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時要注意分情況進行討論．“等腰三角形的一個內(nèi)角”沒明確是頂角還是底角，分兩種情況進行討論，即可求解．【詳解】解：本題可分兩種情況：①當(dāng)角為底角時，頂角為；②角為等腰三角形的頂角；因此這個等腰三角形的頂角為或．故選：B．【變式1-1】如圖，已知直線，線段分別與直線m，n相交于點、點，以點為圓心，的長為半徑畫弧交直線于點、點．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識點，先由尺規(guī)作圖得出，由等邊對等角得出，進而即可得解，熟練掌握等邊對等角及平行線的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】∵以點A為圓心，的長為半徑畫弧交直線m于點B、點D，∴,∴，∵,∴，∵，∴，故選：C．【變式1-2】如圖，在中，，分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線，分別交于點D，E，連接．若，則等于．【答案】/度【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的進行解題．根據(jù)題意，由垂直平分線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，求出，然后求出的度數(shù)．【詳解】解：根據(jù)題意，垂直平分，∴點D是的中點，，在中，，∴，∴，∵，∴，∵，∵，∴，∴，∴，∴；故答案為：．【變式1-3】如圖，在中，是邊上的高線，是中線，且于，．(1)求證：是的中點；(2)求證．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析．【分析】（）連接，由直角三角形的性質(zhì)可得，由是中線得，進而可得，即得，再根據(jù)三角形三線合一即可求證；（）由等腰三角形的性質(zhì)得，，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可求證；本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：連接，∵是的中線，∴是的中線，∵是高，∴，∴，∵是中線，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即是的中點；（2）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴．考點二：根據(jù)等邊對等角證明例2．在中，，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌據(jù)等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，，，故選：B．【變式2-1】如圖，在中，，，，分別是，，上的點，且，，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查的是等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，證明，得到，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可．【詳解】解：∵，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∴，故選C．【變式2-2】如圖，將紙片沿折疊，使點A落在點處，且平分，平分，若，則．【答案】/80度【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，靈活運用所學(xué)知識，屬于中考?？碱}型．連接，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得出，再結(jié)合角平分線的定義，得到，由折疊的性質(zhì)可知，，，從而得出，，即可求解．【詳解】解：如圖，連接．∵，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∴，由折疊的性質(zhì)可知，，，∴，，∴，，∴，故答案為．【變式2-3】如圖，是的中線，是的中線，且．求證：(1)；(2)平分．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由題意知，，，如圖，延長到使，連接，證明，則，，，由，，可得，證明，進而結(jié)論得證；（2）由（1）可知，，則，進而結(jié)論得證．【詳解】（1）證明：由題意知，，∵，∴，如圖，延長到使，連接，∵，，∴，∴，，，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴；（2）證明：由（1）可知，，∴，∴平分．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線，三角形外角的性質(zhì)，等邊對等角．熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線，三角形外角的性質(zhì)，等邊對等角是解題的關(guān)鍵．考點三：三線合一例3.如圖，在中，，平分，若，則（）A．10 B．12 C．5 D．6【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，據(jù)此作答即可．【詳解】解：∵在中，，平分，，∴，故選：A．【變式3-1】如圖，D為內(nèi)一點，平分，，，若，則的長為（）

A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于正確地作出輔助線，構(gòu)建等腰三角形，通過等量代換，即可推出結(jié)論．延長與交于點E，由題意可推出，依據(jù)等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出，，根據(jù)，即可推出的長度．【詳解】解：延長與交于點E，

∵，∴，∵，∴，∴∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：5．【變式3-2】如圖，在中，平分于點于點，則．【答案】2.6【分析】本題考查等腰三角形中求線段長，涉及等腰三角形性質(zhì)、三角形面積等知識，由等腰三角形三線合一得到，根據(jù)三角形面積公式代值列方程求解即可得到答案，熟記等腰三角形性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：在中，平分，是的中線，則，，即，，，故答案為：2.6．【變式3-3】如圖，在中，的垂直平分線交于點E，交于點F，D為線段的中點，且．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理：（1）連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，證明，根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）由可得，由外角的性質(zhì)可得，由可得，進而求出，由三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)．【詳解】（1）證明：連接，∵是的垂直平分線，∴，∵，∴，∵D為線段的中點，∴AD⊥BC；（2）解：∵，∴，∵是的外角，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴．考點四：根據(jù)三線合一證明例4．如圖，在中，，分別以點A，為圓心，以長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接．下列結(jié)論錯誤的是（）A． B．C． D．是的垂直平分線【答案】D【分析】此題主要考查了等邊三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線合一．根據(jù)作圖方法可得，進而可得是等邊三角形，再利用垂直平分線的判定方法可得垂直平分，利用等腰三角形的性質(zhì)可得，．【詳解】解：，則，則，故A結(jié)論正確；根據(jù)作圖方法可得，，點在的垂直平分線上，，點在的垂直平分線上，是的垂直平分線，故C結(jié)論正確；D結(jié)論錯誤；，，故B結(jié)論正確；故選：D．【變式4-1】如圖，在中，，點在上，且，點和點分別是和的中點，則的長是（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本題考查等腰三角形三線合一及直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質(zhì)，連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可得到答案．【詳解】解：連接，

∵，點F是的中點，∴，∵點E是的中點，，∴，故選：B．【變式4-2】如圖，等邊三角形中，，垂足為點D，點E在線段上，，則等于．【答案】【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，則，求出，即可．【詳解】解：是等邊三角形，，，，，，，故答案為：．【變式4-3】如圖，已知在中，，點、在邊上，且．試說明的理由．【答案】見解析【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)等知識，過作垂直于于點，由，利用三線合一得到為中點，同理得到為中點，利用等式的性質(zhì)變換后可得證，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)．【詳解】過點作，垂足為點，，，，∵，，∴，，．考點五：等角對等邊例5．如圖，在中，，，①以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交邊，于點D，E；②分別以點D，E為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部交于點F；③作射線交于點G．若，則長（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本題考查了作圖——基本作圖，等腰三角形的判定和含直角三角形的性質(zhì)．根據(jù)作法可知，為的平分線，由，，則，，即可得出，然后利用含直角三角形的性質(zhì)，即可解答．熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，根據(jù)作法可知，?為?的平分線，∴，∴，∴∵，∴，∴．故選：B．【變式5-1】如圖，中，平分交于點D，過點D作交于點E，若，，則的長為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的判定、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得，則可得，再根據(jù)即可求解，熟練掌握相關(guān)的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：平分，，，，，，，，，故選A．【變式5-2】如圖，，F(xiàn)為的中點，，則的長為．【答案】【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．先證明和是等腰三角形，再證明，設(shè)，則，根據(jù)，列方程可得結(jié)論．【詳解】解：，，，，設(shè)，則，在和中，，，，，，，，，，∴，．故答案為：．【變式5-3】如圖，在中，的平分線交于點F，過點F作分別交于點D，E．若的周長為20，，求的周長．【答案】【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等角對等邊；根據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)，得出，則，進而根據(jù)三角形的周長公式，即可求解．【詳解】解：∵在中，的平分線交于點F，∴，又∵∴∴∴．的周長，由，得的周長為．考點六：根據(jù)等角對等邊證明例6.如圖，在中，，，，交于點D，，則的長為（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，由等腰三角形的性質(zhì)得出，，可得，即．中，根據(jù)角所對直角邊等于斜邊的一半，可求得，由此可求得的長．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選：C．【變式6-1】下列條件中，不能判定是等腰三角形的是（

）A．，， B．C．， D．【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的判定．由等腰三角形的定義與等角對等邊的判定定理，即可求得答案．【詳解】解：A、∵，∴∴是等腰三角形；故選項A不符合題意；B、∵∴∴不是等腰三角形，故選項B符合題意；C、∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形，故選項C不符合題意；D、∵，∵，∴，∴是等腰三角形，故選項D不符合題意．故選：B．【變式6-2】如圖，在中，的垂直平分線交于點D，交于點．若，，則的長是．【答案】2【分析】本題考查等角對等邊及垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)，得到，【詳解】解：∵，，∴，∵是的垂直平分線，∴，故答案為：2．【變式6-3】如圖，在中，，D是上一點（D與C不重合）．(1)尺規(guī)作圖：過點D作的垂線交于點E．作的平分線交于點F，交于點H（保留作圖痕跡，不用寫作法）．(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了尺規(guī)作垂線和角平分線以及等腰三角形的判定．（1）根據(jù)垂線的作法和角平分線的作法作圖即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得到，再由等角對等邊即可得到結(jié)論．【詳解】（1）如圖，即為所求的垂線．即為所求的角平分線．（2）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵AF為的平分線，∴，∴，∴．考點七：等邊三角形的性質(zhì)例7．如圖，直線，等邊的頂點C在直線b上，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等邊得，根據(jù)對等角相等，得，結(jié)合，得，解答即可．本題考查了對等角相等，等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，熟練掌握平行線性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵是等邊三角形，∴，∵對頂角相等，，∴，∵，∴，故選A．【變式7-1】如圖所示，是等邊三角形，為角平分線，為上一點，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了與角平分線線有關(guān)的內(nèi)角和計算以及等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出，，再根據(jù)等邊對等角得出，利用三角形內(nèi)角和可得出，最后利用角的和差關(guān)系即可得出的度數(shù)．【詳解】解：∵是等邊三角形，為角平分線，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故選：A．【變式7-2】如圖，等邊中，點、分別在邊、上，把沿直線翻折，使點落在點處，分別交邊于點、．如果測得，那么．【答案】/84度【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得，由鄰補角得，再由翻折的性質(zhì)得：，，從而，，再利用三角形的內(nèi)角和定理即可得解．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，∵，∴，由翻折的性質(zhì)得：，，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，鄰補角性質(zhì)，折疊的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】已知，如圖，為等邊三角形，，、相交于點．(1)求證：；(2)求的度數(shù)；(3)若于，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的定義及性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）由等邊三角形的性質(zhì)得出，，利用即可證明；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出，結(jié)合三角形外角的定義及性質(zhì)即可得出答案；（3）由含角的直角三角形的性質(zhì)得出，再由即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵為等邊三角形，∴，，在和中，，∴；（2）解：∵，∴，∴，即；（3）解：∵，∴，∴，∴，∴．考點八：等邊三角形的判定例8．下列命題的逆命題是真命題的是（

）A．若，則 B．等邊三角形的每一個角都等于C．全等三角形的面積相等 D．若，則【答案】B【分析】本題考查逆命題真假判斷，涉及不等式的性質(zhì)、等邊三角形的判定、全等三角形的判定等，先根據(jù)題設(shè)、結(jié)論寫出每個選項的逆命題，再判斷真假即可．【詳解】解：A選項的逆命題為“若，則”，當(dāng)時不成立，因此該逆命題是假命題，不合題意；B選項的逆命題為“若三角形每一個角都等于，則這個三角形是等邊三角形”，該逆命題是真命題，符合題意；C選項的逆命題為“若兩個三角形面積相等，則這兩個三角形全等”，該逆命題是假命題，不合題意；D選項的逆命題為“若，則”，該逆命題是假命題，不合題意；故選B．【變式8-1】滿足下列條件的三角形中，不一定是等邊三角形的是（）A．有兩個內(nèi)角是的三角形 B．有兩邊相等且是軸對稱圖形的三角形C．有一個內(nèi)角是且有兩邊相等的三角形 D．三邊都相等的三角形【答案】B【分析】本題考查了等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的判定定理．【詳解】解：A、有兩個內(nèi)角是的三角形是等邊三角形，不符合題意；B、有兩邊相等且是軸對稱圖形的三角形是等腰三角形，符合題意；C、有一個內(nèi)角是且有兩邊相等的三角形是等邊三角形，不符合題意；D、三邊都相等的三角形是等邊三角形，不符合題意；故選：B．【變式8-2】已知：如圖，在中，，，于點，且，則是三角形．

【答案】等邊【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定，解答時先由三線合一得到，再證明可得到，進而證明為等邊三角形．【詳解】解：∵中，，，于點，∴，，∵，，∴∴，∵∴∵，∴為等邊三角形．故答案為：等邊【變式8-3】閱讀材料：若，求m，n的值．解：，，，，，．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)，則_______，_______；(2)已知的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足，求的周長．(3)已知a、b、c分別是三邊的長且，請判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)，1；(2)9；(3)三角形為等邊三角形，理由見解析．【分析】本題考查配方法的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握完全平放式的非負性，熟練掌握配方法．(1)(2)(3)都是用完全平方公式進行配方，再利用偶次方的非負性得平方為0的數(shù)只有0，從而分別得解.【詳解】（1）解：由：，得：，，，，，，．故答案為：；1．（2）解：由得：，，，，；已知的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，由三角形三邊關(guān)系知，的周長為9．（3）解：由，配方可得，即，，，

三角形為等邊三角形.考點九：含30°角的直角三角形例9.如圖，一個地鐵站入口的雙翼閘機的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點P與Q之間的距離為，雙翼的邊緣，且與閘機側(cè)立面的夾角，閘機的通道寬度為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)．過作于，過作于，則可得和的長，依據(jù)端點與之間的距離為，即可得到閘機的通道寬度．【詳解】解：如圖所示過作于，過作于，

則中，，，，同理可得，，又點與之間的距離為，閘機的通道寬度為，故選：B．【變式9-1】如圖，等邊三角形的頂點分別在等邊三角形的各邊上，且與E，若，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的特征，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用等邊三角形的性質(zhì)證明三角形全等．由題可證，，則，由直角三角形的性質(zhì)得，，因為，所以．【詳解】解：，，，同理，又，，，，，，，，，故選：C．【變式9-2】如圖，在矩形中，，連接，分別以點B，D為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點M，N，直線分別交，于點E，F(xiàn)．若平分，，則．【答案】4【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)和直角三角形角的性質(zhì)，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．先證明，再證明是的垂直平分線，然后得出，再證明得出，最后根據(jù)直角三角形角的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，分別以點B，D為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點M，N，直線分別交，于點E，F(xiàn)，是的垂直平分線，，，，，平分，，，，在和中，，，，，在中，，，故答案為：4．【變式9-3】如圖，在等腰中，頂角，點D是邊的中點，連接，作于點E，再作交于點F．

(1)求證：；(2)若，則的面積為______．【答案】(1)見解析(2)4【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線，三角形中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)得出，，利用余角的性質(zhì)可得出，，利用等邊對等角得出，，取中點G，連接，利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得出，利用等邊對等角得出，然后利用含的直角三角形的性質(zhì)即可得證；（2）利用（1）中求出，利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)求出，則可求的面積，然后利用三角形中線的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：∵，點D是邊的中點，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，取中點G，連接，

∴，∴，，∴，∴，∴（2）解：∵，∴，∵，G為中點，∴，∴，∵點D是邊的中點，∴，故答案為：4．考點十：斜中定理例10.一直角三角形斜邊上的中線長是，則斜邊的長（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是明確直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半．根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，直接計算即可．【詳解】∵一直角三角形斜邊上的中線長是，∴斜邊的長為．故選：B．【變式10-1】如圖，在中，是斜邊上的中線，于點，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的定義和性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余等知識，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．首先根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得，進而可得，再根據(jù)三角形外角的定義和性質(zhì)可得，然后結(jié)合，由求解即可．【詳解】解：∵在中，是斜邊上的中線，，∴，∴，∴，∵，∴．故選：D．【變式10-2】直角三角形兩直角邊長分別為5和12，則它斜邊上的中線長為．【答案】【分析】本題考查勾股定理，直角三角形中斜邊上的中線．勾股定理求出斜邊的長，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得解．【詳解】解：由勾股定理，得：直角三角形的斜邊，∴斜邊上的中線長為；故答案為：．【變式10-3】綜合與實踐：(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接①的度數(shù)為______；（直接寫出）②線段之間的數(shù)量關(guān)系為______（直接寫出）(2)類比探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，點A，D，E在同一直線上，為中邊上的高，連接①的度數(shù)為______；（直接寫出）②證明：線段之間的數(shù)量關(guān)系；（詳細過程）(3)拓展延伸：在（2）的條件下，若，求四邊形的面積．（詳細過程）【答案】(1)①，②(2)①；②，(3)【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，判斷出是解本題的關(guān)鍵．（1）先得出，進而判斷出，即可得出結(jié)論；（2）①同（1）的方法，即可得出結(jié)論；②由得出，再判斷出，即可得出結(jié)論．（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求得，再根據(jù)四邊形的面積的面積的面積，通過計算即可求解．【詳解】（1）解：∵和均為等邊三角形，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∴；故答案為：①，②（2）解：同（1）的方法得，，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴；故答案為：②，證明：∵，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∴．（3）解：由（2）得：，∵均為等腰直角三角形，為中邊上的高，∴，∴，∴，∴，∴，∴四邊形的面積＝的面積+的面積；1．如圖，在中，是斜邊上的中線，若，則（

）A．10 B．6 C．8 D．5【答案】D【分析】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線定理，熟悉掌握斜邊上的中線與斜邊的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵在中，是斜邊上的中線，且，∴，故選：D．2．等腰三角形一邊長9cm，另一邊長4cm，它第三邊是（

）A．4cm B．5cm C．9cm D．12cm【答案】C【分析】本題考查等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的兩腰相等，以及三角形的任意兩邊之和大于第三邊，進行判斷即可．【詳解】解：∵當(dāng)腰長為4cm時，，無法構(gòu)成三角形，不符合題意；∴腰長為9cm，∴第三邊為9cm；故選C．3．一個等腰三角形的兩邊長分別為3cm和7cm，則此三角形的周長為（）A．13cm B．17cmC．7cm或13cm D．不確定【答案】B【分析】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系的運用，已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形是解題的關(guān)鍵．題中沒有指出哪個底哪個是腰，應(yīng)該分情況進行分析，應(yīng)用三角形三邊關(guān)系進行驗證能否組成三角形．【詳解】解：當(dāng)3cm是腰時，，不符合三角形三邊關(guān)系，故舍去；當(dāng)7cm是腰時，周長．故它的周長為17cm．故選：B．4．如圖，已知在中，，，根據(jù)圖中尺規(guī)作圖痕跡，（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查基本作圖，角平分線的定義，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．掌握角平分線定義和線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．首先根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理得到，由作圖得垂直平分，平分，根據(jù)角平分線定義和線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，進而求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，由作圖痕跡可知：是的平分線．，為線段的垂直平分線，，，．故選：B．5．如圖，在中，，是的平分線，點E是延長線上一點，連接是的垂直平分線，若，，則的周長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，然后求出即可．【詳解】解：∵點C在的垂直平分線上，∴，∵，平分，∴，∴故選：C6．在等腰三角形中，，（如圖，一個含30度角的直角三角板的一直角邊與邊重合，斜邊經(jīng)過的頂點A），則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：如圖，∵，，，，，∴，故選：B．

7．如圖，在中，，平分交于點D，平分交于點E，、交于點F．則下列說法正確的個數(shù)為（）①；②，③若，則；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)得，得到，結(jié)合，可判斷①；根據(jù)得,無法確定，可判定②錯誤；根據(jù)，得，過點，垂足分別為G，H，結(jié)合平分得；結(jié)合,得到；結(jié)合,得到；繼而得到，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，可判定③正確；作平分交于點G，結(jié)合，得到，證明得到，結(jié)合，等量代換可得，可判定④正確．本題考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，角的平分線性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵，∴，∴，∵平分交于點D，平分交于點E，∴，故①正確；若，∴,無法確定，故②錯誤；∵，∴，過點，垂足分別為G，H，∵平分，∴；∴,∴；∴,∴；∴，∴，故③正確；作平分交于點G，∵，∴，∵∴，∴，∵，∴，∴④正確．故選C．8．如圖，與都是等邊三角形，點B，C，D在同一條直線上，與相交于點G，與相交于點F，與相交于點H，連接．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，先利用證明即可判斷①；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、對頂角的性質(zhì)可得出，即可判定③，證明，得出，，進而可證明是等邊三角形，即可判定④，可求，，則可判斷，則可判定②．【詳解】解∶∵與都是等邊三角形，∴，，，∴，即，∴，故①正確；∴，又，∴，故③正確；∵，∴，又，，∴，∴，，又，∴是等邊三角形，∴，故④正確，，∴，∴，∴，∴，故②錯誤，故選∶C．9．已知等邊三角形的邊長為2，則該等邊三角形的周長為．【答案】6【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形的周長，根據(jù)等邊三角形的三條邊相等求解．【詳解】解：∵等邊三角形的三邊相等，∴周長為．故答案為6．10．如圖，在中，，，則．【答案】/70度【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)．根據(jù)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可．【詳解】解：．故答案為：．11．如圖，在中，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于兩點，作直線，交邊于點，連接，若，則的度數(shù)為．【答案】/40度【分析】本題考查了尺規(guī)作圖—作垂線，線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義與性質(zhì)．由等邊對等角結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求得，由作圖可得：為直線的垂直平分線，從而得到，再由三角形外角的定義與性質(zhì)進行計算即可．【詳解】解：∵，∴，由作圖可得：為直線的垂直平分線，∴，∴，故答案為：．12．如圖，在中，是BC的中點，若，則．【答案】【分析】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形斜邊中線定義斜邊一半的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可得答案．【詳解】解：∵，是的中點，∴，∵，∴．故答案為：13．如圖，，是正六邊形的兩條對角線，則的大小為．【答案】/30度【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：多邊形是正六邊形，，，，，．故答案為：．14．如圖，已知在四邊形中，，平分交于點，于點，于點，，，則的面積為．【答案】21【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，添加輔助線應(yīng)用角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過作于，則，即可求出的面積，證明是的中線，由三角形中線的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：如圖，過作于，而，平分，，，，，，，，，是邊上的中線，．故答案為：．15．如圖，已知，點在射線上，點在射線上．均為等邊三角形，若，則的邊長為．【答案】128【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得可得，，再根據(jù)，可知，進而求出，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)說明，可知各角之間的關(guān)系，進而得出，即可得出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律得出答案.【詳解】解：∵是等邊三角形，∴∴.∵∴又∵，∴.∵，∴，∴.∵、是等邊三角形，∴.∵，∴，∴，∴，∴，，，以此類推：的邊長為，∴的邊長為：．故答案為：128．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定等，弄清各邊的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．16．已知正方形，點是邊上的動點，以為邊作等邊三角形，連接，交邊于點，當(dāng)最小時，．【答案】/120度【分析】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．以為邊作等邊三角形，證明，得