2023-2024學(xué)年河南省信陽市淮濱縣多校高二下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省信陽市淮濱縣多校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分.考試時(shí)間120分鐘，滿分150分.考生應(yīng)首先閱讀答題卡上的文字信息，然后在答題卡上作答，在試題卷上作答無效.交卷時(shí)只交答題卡.第I卷(選擇題，共58分)一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.）1.已知集合，，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，，所以，，，故A、B、C正確，D錯(cuò)誤；故選：D2.某同學(xué)喜愛球類和游泳運(yùn)動(dòng)．在暑假期間，該同學(xué)上午去打球的概率為．若該同學(xué)上午不去打球，則下午一定去游泳；若上午去打球，則下午去游泳的概率為．已知該同學(xué)在某天下午去游了泳，則上午打球的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)上午打球?yàn)槭录?，下午游泳為事件，則，于是，因此，所以上午打球的概率為.故選：C3.已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則的解集是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，，則，所以在單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，時(shí)，不等式化為，即，即，所以，所以不等式的解集為.故選：C.4.已知關(guān)于的不等式成立的一個(gè)必要不充分條件是，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，因?yàn)椴坏仁匠闪⒌囊粋€(gè)必要不充分條件是，所以.故選：A.5.下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根據(jù)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，和不是奇函數(shù)，故AB錯(cuò)誤；的定義域?yàn)?，且滿足，所以函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在先增后減，故C錯(cuò)誤；的定義域?yàn)椋覞M足，所以函數(shù)是奇函數(shù)，并且是增函數(shù)，也是增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，故D正確.故選：D6.等差數(shù)列前項(xiàng)和為，則（）A.44 B.48 C.52 D.56【答案】C【解析】.故選：C.7.雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，雙曲線的離心率為，即，所以，解得，所以雙曲線的漸近線方程為，故選B.8.已知分別是函數(shù)的零點(diǎn)，則（）A. B. C.3 D.4【答案】C【解析】由題意可得函數(shù)的零點(diǎn)為函數(shù)與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，函數(shù)的零點(diǎn)為函數(shù)與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，因?yàn)榕c互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，直線也關(guān)于直線對(duì)稱，所以點(diǎn)和關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以.故選：C.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知是方程的實(shí)根，則下列各數(shù)為正數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因?yàn)槭欠匠痰膶?shí)根，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得對(duì)于A，因?yàn)?，所以，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋?，則，B正確；對(duì)于C，.因?yàn)?，所以，C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，則，D錯(cuò)誤；故選：BC.10.如圖所示的空間幾何體是由高度相等的半個(gè)圓柱和直三棱柱組合而成，是上的動(dòng)點(diǎn).則（）A.為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面B.為的中點(diǎn)時(shí)，平面C.存在點(diǎn)，使得三棱錐體積是8D.存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為【答案】ABC【解析】對(duì)于A，由題可知，半圓柱和三棱柱的底面在同一平面內(nèi)，由圓柱性質(zhì)可知平面，又平面，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，又因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)的相交直線，所以平面，又平面，所以平面平面，A正確；對(duì)于B，因?yàn)闉閳A柱底面圓的直徑，所以，由上知，，所以，由棱柱性質(zhì)可知，，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，B正確；對(duì)于C，以中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，圓柱的旋轉(zhuǎn)軸為軸，過點(diǎn)垂直于平面的直線為軸建立如圖所在空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的半圓上，所以設(shè)，則，設(shè)為平面的法向量，則，令，得，則點(diǎn)到平面的距離為，易知，為正三角形，所以，所以，令，則，因?yàn)椋?，所以，所以，顯然有解，所以存在點(diǎn)（與不重合），使得三棱錐體積是8，C正確；對(duì)于D，由上可得，設(shè)平面的法向量為，則，令得，若存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為，則，整理得，因?yàn)?，所以，即，，此時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，無法確定平面，不符合題意，D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.為偶函數(shù)B.在上單調(diào)遞增C.關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D.【答案】ABD【解析】因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，C錯(cuò)誤；由，可得，由，可得，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù)，A正確；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，又函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋院瘮?shù)為周期函數(shù)，為函數(shù)的一個(gè)周期，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，B正確；因?yàn)闉楹瘮?shù)的一個(gè)周期，所以，又，所以，D正確；故選：ABD.第II卷(非選擇題，共92分)三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分）12.某不透明紙箱中共有8個(gè)小球，其中2個(gè)白球，6個(gè)紅球，它們除顏色外均相同．一次性從紙箱中摸出4個(gè)小球，摸出紅球個(gè)數(shù)為，則______．【答案】3【解析】依題意，摸出紅球個(gè)數(shù)服從超幾何分布，，所以.故答案為：313.已知是函數(shù)的零點(diǎn)，則__________.【答案】1【解析】由題可得，記，則，記，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以在上存在唯一零點(diǎn)，所以.故答案為：114.設(shè)函數(shù)，若且，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】函數(shù)，若且，如圖畫出函數(shù)的大致圖象，由已知條件可知：，，，，由，故在為減區(qū)間，，的取值范圍是：．故答案為：．四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知的內(nèi)角A，，所對(duì)的邊分別為，，，的最大值為.（1）求角；（2）若點(diǎn)在上，滿足，且，，解這個(gè)三角形.解：（1）由由題意及三角函數(shù)的性質(zhì)可知：，即，又，∴；（2）如圖所示，易得，∴(負(fù)值舍去)，由余弦定理可得：，，顯然：，由勾股定理逆定理可得綜上.16.已知函數(shù)（）．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，，可得，，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，則函數(shù)的最小值為；（2）由題意有，又由函數(shù)（）單調(diào)遞減，且，可得，下面證明：當(dāng)時(shí)，，由關(guān)于的函數(shù)（）單調(diào)遞減，則有，由（1）有，故有在時(shí)恒成立，故若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．17.某學(xué)校準(zhǔn)備訂做新的校服，有正裝和運(yùn)動(dòng)裝兩種風(fēng)格可供選擇，為了解學(xué)生和家長們的偏好，學(xué)校隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生及每名學(xué)生的一位家長，得到以下的列聯(lián)表：更喜歡正裝更喜歡運(yùn)動(dòng)裝家長12080學(xué)生16040（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷是否有的把握認(rèn)為學(xué)生與家長對(duì)校服風(fēng)格的偏好有差異；（2）若從家長中按不同偏好的人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5人進(jìn)行座談，再從這5人中任選2人，記這2人中更喜歡正裝的家長人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：．0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828解：（1）由題可知更喜歡正裝更喜歡運(yùn)動(dòng)裝總計(jì)家長12080200學(xué)生16040200總計(jì)280120400則，因?yàn)?，所以有的把握認(rèn)為學(xué)生與家長對(duì)校服風(fēng)格的偏好有差異．（2）座談的家長中更喜歡正裝的人數(shù)為，更喜歡運(yùn)動(dòng)裝的人數(shù)為．由題意可得X的所有可能取值為0，1，2，則，，，故X的分布列為X012P所以X的數(shù)學(xué)期望．18.已知數(shù)列滿兄，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式，（2）求數(shù)列前項(xiàng)和為．解：（1），，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，；，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，；（2）由（1）得，，作差可得，.19.已知點(diǎn)，在雙曲線（，）上，直線.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)且時(shí)，直線與雙曲線分別交于，兩點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.證明：直線過定點(diǎn)；（3）當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線有唯一的公共點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線分別交軸，軸于，兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程.解：（1）由點(diǎn)，在雙曲線，即，解得，所以雙曲線方程為；（2）由已知，設(shè)，，聯(lián)立直線與雙曲線，得，則，即，且，，，又點(diǎn)與關(guān)于軸的對(duì)稱，則，所以，即，即，恒過定點(diǎn)；（3）由已知直線，，且，聯(lián)立直線與雙曲線，可得，則,，即，，所以，,代入直線可得，即，所以直線，即，所以，，即，可得.河南省信陽市淮濱縣多校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分.考試時(shí)間120分鐘，滿分150分.考生應(yīng)首先閱讀答題卡上的文字信息，然后在答題卡上作答，在試題卷上作答無效.交卷時(shí)只交答題卡.第I卷(選擇題，共58分)一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.）1.已知集合，，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，，所以，，，故A、B、C正確，D錯(cuò)誤；故選：D2.某同學(xué)喜愛球類和游泳運(yùn)動(dòng)．在暑假期間，該同學(xué)上午去打球的概率為．若該同學(xué)上午不去打球，則下午一定去游泳；若上午去打球，則下午去游泳的概率為．已知該同學(xué)在某天下午去游了泳，則上午打球的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)上午打球?yàn)槭录?，下午游泳為事件，則，于是，因此，所以上午打球的概率為.故選：C3.已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則的解集是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，，則，所以在單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，時(shí)，不等式化為，即，即，所以，所以不等式的解集為.故選：C.4.已知關(guān)于的不等式成立的一個(gè)必要不充分條件是，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，因?yàn)椴坏仁匠闪⒌囊粋€(gè)必要不充分條件是，所以.故選：A.5.下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根據(jù)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，和不是奇函數(shù)，故AB錯(cuò)誤；的定義域?yàn)?，且滿足，所以函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在先增后減，故C錯(cuò)誤；的定義域?yàn)?，且滿足，所以函數(shù)是奇函數(shù)，并且是增函數(shù)，也是增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，故D正確.故選：D6.等差數(shù)列前項(xiàng)和為，則（）A.44 B.48 C.52 D.56【答案】C【解析】.故選：C.7.雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，雙曲線的離心率為，即，所以，解得，所以雙曲線的漸近線方程為，故選B.8.已知分別是函數(shù)的零點(diǎn)，則（）A. B. C.3 D.4【答案】C【解析】由題意可得函數(shù)的零點(diǎn)為函數(shù)與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，函數(shù)的零點(diǎn)為函數(shù)與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，因?yàn)榕c互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，直線也關(guān)于直線對(duì)稱，所以點(diǎn)和關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以.故選：C.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知是方程的實(shí)根，則下列各數(shù)為正數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因?yàn)槭欠匠痰膶?shí)根，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得對(duì)于A，因?yàn)椋裕瑒t，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，則，B正確；對(duì)于C，.因?yàn)?，所以，C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，則，D錯(cuò)誤；故選：BC.10.如圖所示的空間幾何體是由高度相等的半個(gè)圓柱和直三棱柱組合而成，是上的動(dòng)點(diǎn).則（）A.為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面B.為的中點(diǎn)時(shí)，平面C.存在點(diǎn)，使得三棱錐體積是8D.存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為【答案】ABC【解析】對(duì)于A，由題可知，半圓柱和三棱柱的底面在同一平面內(nèi)，由圓柱性質(zhì)可知平面，又平面，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，又因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)的相交直線，所以平面，又平面，所以平面平面，A正確；對(duì)于B，因?yàn)闉閳A柱底面圓的直徑，所以，由上知，，所以，由棱柱性質(zhì)可知，，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，B正確；對(duì)于C，以中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，圓柱的旋轉(zhuǎn)軸為軸，過點(diǎn)垂直于平面的直線為軸建立如圖所在空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的半圓上，所以設(shè)，則，設(shè)為平面的法向量，則，令，得，則點(diǎn)到平面的距離為，易知，為正三角形，所以，所以，令，則，因?yàn)椋?，所以，所以，顯然有解，所以存在點(diǎn)（與不重合），使得三棱錐體積是8，C正確；對(duì)于D，由上可得，設(shè)平面的法向量為，則，令得，若存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為，則，整理得，因?yàn)?，所以，即，，此時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，無法確定平面，不符合題意，D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足，，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.為偶函數(shù)B.在上單調(diào)遞增C.關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D.【答案】ABD【解析】因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，C錯(cuò)誤；由，可得，由，可得，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù)，A正確；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，又函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以函?shù)為周期函數(shù)，為函數(shù)的一個(gè)周期，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，B正確；因?yàn)闉楹瘮?shù)的一個(gè)周期，所以，又，所以，D正確；故選：ABD.第II卷(非選擇題，共92分)三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分）12.某不透明紙箱中共有8個(gè)小球，其中2個(gè)白球，6個(gè)紅球，它們除顏色外均相同．一次性從紙箱中摸出4個(gè)小球，摸出紅球個(gè)數(shù)為，則______．【答案】3【解析】依題意，摸出紅球個(gè)數(shù)服從超幾何分布，，所以.故答案為：313.已知是函數(shù)的零點(diǎn)，則__________.【答案】1【解析】由題可得，記，則，記，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋栽谏洗嬖谖ㄒ涣泓c(diǎn)，所以.故答案為：114.設(shè)函數(shù)，若且，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】函數(shù)，若且，如圖畫出函數(shù)的大致圖象，由已知條件可知：，，，，由，故在為減區(qū)間，，的取值范圍是：．故答案為：．四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知的內(nèi)角A，，所對(duì)的邊分別為，，，的最大值為.（1）求角；（2）若點(diǎn)在上，滿足，且，，解這個(gè)三角形.解：（1）由由題意及三角函數(shù)的性質(zhì)可知：，即，又，∴；（2）如圖所示，易得，∴(負(fù)值舍去)，由余弦定理可得：，，顯然：，由勾股定理逆定理可得綜上.16.已知函數(shù)（）．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，，可得，，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，則函數(shù)的最小值為；（2）由題意有，又由函數(shù)（）單調(diào)遞減，且，可得，下面證明：當(dāng)時(shí)，，由關(guān)于的函數(shù)（）單調(diào)遞減，則有，由（1）有，故有在時(shí)恒成立，故若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．17.某學(xué)校準(zhǔn)備訂做新的校服，有正裝和運(yùn)動(dòng)裝兩種風(fēng)格可供選擇，為了解學(xué)生和家長們的偏好，學(xué)校隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生及每名學(xué)生的一位家長，得到以下的