2025版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第十七章勾股定理17.1勾股定理第1課時(shí)教案新版新人教版VIP

PAGE7-第十七章勾股定理17.1勾股定理第1課時(shí)【教學(xué)目標(biāo)】學(xué)問(wèn)與技能:1.駕馭勾股定理的證明.2.會(huì)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)潔的計(jì)算.過(guò)程與方法:經(jīng)驗(yàn)探究勾股定理的過(guò)程,在探究勾股定理的過(guò)程中,發(fā)展合情推理實(shí)力,體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想,學(xué)會(huì)與人合作并能與他人溝通思維的過(guò)程和探究結(jié)果,體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.情感看法與價(jià)值觀:(1)通過(guò)對(duì)勾股定理歷史的了解,感受數(shù)學(xué)的文化,激發(fā)學(xué)習(xí)熱忱.(2)在探究活動(dòng)中,學(xué)會(huì)與人合作并能與他人溝通思維的過(guò)程和探究的結(jié)果;學(xué)生通過(guò)適當(dāng)訓(xùn)練,養(yǎng)成數(shù)學(xué)說(shuō)理的習(xí)慣,培育學(xué)生參加的主動(dòng)性,逐步體驗(yàn)數(shù)學(xué)說(shuō)理的重要性;在探究活動(dòng)中,體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性,培育學(xué)生的合作溝通意識(shí)和探究精神.【重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn):駕馭勾股定理的證明,會(huì)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)潔的計(jì)算.難點(diǎn):勾股定理的證明.【教學(xué)過(guò)程】一、創(chuàng)設(shè)情境,導(dǎo)入新課:一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是3和4,你知道它的斜邊長(zhǎng)是多少嗎?已知直角三角形的兩條邊長(zhǎng),你能求出它的第三邊長(zhǎng)嗎?事實(shí)上,利用勾股定理我們可以很簡(jiǎn)潔地解決這些問(wèn)題.勾股定理是一個(gè)古老的定理,人類(lèi)很早就發(fā)覺(jué)了這個(gè)定理.2002年世界數(shù)學(xué)家大會(huì)在我國(guó)北京召開(kāi),投影顯示本屆世界數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo):會(huì)標(biāo)中心的圖案是一個(gè)與“勾股定理”有關(guān)的圖形,數(shù)學(xué)家曾建議用“勾股定理”的圖來(lái)作為與“外星人”聯(lián)系的信號(hào).今日我們就來(lái)一同探究勾股定理.二、探究歸納活動(dòng)1:探究勾股定理1.填空:(1)借助方格紙畫(huà)一個(gè)直角三角形,使其兩直角邊分別是3cm,4cm,則量取其斜邊為(2)如圖,四邊形均是正方形,SA=16、SB=9、SC=25則它們的面積之間滿意:______.

2.思索:(1)問(wèn)題1中的直角三角形三邊的平方,滿意什么關(guān)系?(2)問(wèn)題2中由正方形A、B、C的面積關(guān)系,可以得到直角三角形的三邊的平方有什么關(guān)系?3.歸納:勾股定理:假如直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b,斜邊長(zhǎng)為c,那么______.

活動(dòng)2:利用拼圖證明勾股定理1.方法1:(1)引導(dǎo)學(xué)生從面積角度視察圖形:問(wèn):你能發(fā)覺(jué)各圖中三個(gè)正方形的面積之間有何關(guān)系嗎?(2)視察下面兩幅圖:2.歸納:探究圖形A、B、C面積的關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生得出勾股定理:假如直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.方法2:1.如圖,將4個(gè)非等腰直角三角形,拼為一個(gè)大的正方形.(1)拼得大正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______,則它的面積是________;大正方形的面積還可以表示為_(kāi)_____+4×12(2)由它們的面積關(guān)系可得____=____+4×12ab,整理得__________2.歸納:勾股定理:假如直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.活動(dòng)3:應(yīng)用舉例【例1】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D.已知BC=8,AC=6,求線段CD的長(zhǎng).分析:先由勾股定理求出AB的長(zhǎng),再依據(jù)三角形面積公式求出CD的長(zhǎng)解:∵∠ACB=90°,BC=8,AC=6,∴AB=10.∵CD⊥AB,∴12AB·CD=12AC·即12×10×CD=12×8×6,∴CD=總結(jié):運(yùn)用勾股定理求解線段長(zhǎng)度問(wèn)題的方法1.找出圖中的直角三角形,或作協(xié)助線構(gòu)造直角三角形;2.找出所求線段與直角三角形的關(guān)系;3.依據(jù)勾股定理計(jì)算相關(guān)線段的平方,然后確定線段長(zhǎng)度.【例2】如圖是一株漂亮的勾股樹(shù),其中全部的四邊形都是正方形,全部的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面積分別為2,5,1,2.則最大的正方形E的面積是__________.

分析:依據(jù)正方形的面積公式,結(jié)合勾股定理,能夠推導(dǎo)出正方形A,B,C,D的面積和即為最大正方形E的面積.解:依據(jù)勾股定理的幾何意義,可得A、B的面積和為S1,C、D的面積和為S2,S1+S2=S3,于是S3=S1+S2,即S3=2+5+1+2=10.答案:10總結(jié):本題考查了勾股定理的應(yīng)用.能夠發(fā)覺(jué)正方形A,B,C,D的邊長(zhǎng)正好是兩個(gè)直角三角形的四條直角邊,依據(jù)勾股定理最終能夠證明正方形A,B,C,D的面積和即是最大正方形的面積.【例3】一個(gè)直立的火柴盒在桌面上倒下,啟迪人們發(fā)覺(jué)了勾股定理的一種新的驗(yàn)證方法.如圖,火柴盒的一個(gè)側(cè)面ABCD倒下到AB′C′D′的位置,連接CC′,設(shè)AB=a,BC=b,AC=c,請(qǐng)利用四邊形BCC′D′的面積驗(yàn)證勾股定理:a2+b2=c2.分析:四邊形BCC′D′的面積從大的一方面來(lái)說(shuō)屬于直角梯形,可利用直角梯形的面積公式進(jìn)行表示.從組成來(lái)看,由三個(gè)直角三角形組成,可利用三角形的面積公式來(lái)進(jìn)行表示.證明:四邊形BCC′D′為直角梯形.∴S梯形BCC′D′=12(BC+C′D′)·BD′=(又∵∠AB′C′=90°,Rt△ABC≌Rt△AB′C′,∴∠BAC=∠B′AC′,∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′=∠CAB′+∠BAC=90°;∴S梯形BCC′D′=S△ABC+S△CAC′+S△D′AC′=12ab+12c2+12ab∴(a+b∴a2+b2=c2.點(diǎn)撥:勾股定理的證明證明勾股定理的方法許多,通過(guò)對(duì)圖形的割補(bǔ)、拼接等方法,利用圖形面積之間的關(guān)系進(jìn)行證明.三、溝通反思這一節(jié)課我們探究了勾股定理,并進(jìn)行簡(jiǎn)潔應(yīng)用的學(xué)習(xí).勾股定理:假如直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.四、檢測(cè)反饋1.如圖,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分線,已知AB=5,AD=3,則BC的長(zhǎng)為 ()A.5 B.6 C.8 D2.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,已知BC=8,AC=6,則斜邊AB上的高是 ()A.10 B.5 C.245 3.如圖是一株漂亮的勾股樹(shù),其中全部的四邊形都是正方形,全部的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的邊長(zhǎng)分別是3、5、2、3,則最大正方形E的面積是()A.13 B.26 C.47 D4.下列選項(xiàng)中,不能用來(lái)證明勾股定理的是()5.始終角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4.則第三邊的長(zhǎng)為()A.5 B.7 C.5 D.5或76.如圖所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,將△ABC折疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,折痕為DE,則△ABE的周長(zhǎng)為_(kāi)_______.

7.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖所示).假如大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,直角三角形的兩直角邊分別為a、b,那么(a+b)2的值是______.

8.已知:如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,AB⊥AC,∠B=60°,CD=1cm,求BC9.如圖,用硬紙板做成的兩種直角三角形各有若干個(gè),圖①中兩直角邊長(zhǎng)分別為a和b,斜邊長(zhǎng)為c;圖②中兩直角邊長(zhǎng)為c.請(qǐng)你動(dòng)腦,將它們拼成一個(gè)能夠證明勾股定理的圖形.(1)請(qǐng)你畫(huà)出一種圖形,并驗(yàn)證勾股定理.(2)你特別聰慧,能再拼出另外一種能證明勾股定理的圖形嗎?請(qǐng)畫(huà)出拼后的圖形(無(wú)需證明).五、布置作業(yè)教科書(shū)第28頁(yè)習(xí)題17.1第1,7,8題六、板書(shū)設(shè)計(jì)第十七章勾股定理17.1勾股定理第1課時(shí)一、勾股定理的證明二、應(yīng)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)潔計(jì)算三、勾股定理與圖形面積四、例題講解五、板演練習(xí)七、教學(xué)反思新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)勾股定理這部分的教學(xué)要求是:體驗(yàn)勾股定理的探究過(guò)程,會(huì)運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)潔的問(wèn)題.勾股定理是中學(xué)數(shù)學(xué)幾個(gè)重要定理之一,它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系,既是直角三角形性質(zhì)的拓展,也是后續(xù)學(xué)習(xí)“解直角三角形”的基礎(chǔ).它緊密聯(lián)系了數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的量——數(shù)與形,能夠把形的特征(三角形中一個(gè)角是直角)轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系(三邊之間滿意a2+b2=c2),堪稱(chēng)數(shù)形結(jié)合的典范,在理論上占有重要地位.另外八年級(jí)學(xué)生已具備肯定的分析與歸納實(shí)力,初步駕馭了探究圖形性質(zhì)的基本方法.但是學(xué)生在用割補(bǔ)方法和用面積計(jì)算方法證明幾何命題的意識(shí)和實(shí)力方面存在障礙,對(duì)于如何將