專題11空間向量與立體幾何必考題型分類訓(xùn)練VIP

專題11空間向量與立體幾何必考題型分類訓(xùn)練【三年高考真題練】一．解答題（共4小題）1．（2022?上海）如圖，圓柱下底面與上底面的圓心分別為O、O1，AA1為圓柱的母線，底面半徑長(zhǎng)為1．（1）若AA1＝4，M為AA1的中點(diǎn)，求直線MO1與上底面所成角的大小；（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）（2）若圓柱過(guò)OO1的截面為正方形，求圓柱的體積與側(cè)面積．【分析】（1）轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題求解；（2）用圓柱體積和側(cè)面積公式求解．【解答】解：（1）因?yàn)锳A1為圓柱的母線，所以AA1垂直于上底面，所以∠MO1A1是直線MO1與上底面所成角，tan∠MO1A1＝＝＝2，所以∠MO1A1＝arctan2．（2）因?yàn)閳A柱過(guò)OO1的截面為正方形，所以AA1＝2，所以圓柱的體積為V＝πr2h＝π?12?2＝2π，圓柱的側(cè)面積為S＝2πrh＝2π?1?2＝4π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與平面成角問(wèn)題，考查了圓柱的體積與側(cè)面積計(jì)算問(wèn)題，屬于中檔題．2．（2021?上海）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝2，AA1＝3．（1）若P是棱A1D1上的動(dòng)點(diǎn)，求三棱錐C﹣PAD的體積；（2）求直線AB1與平面ACC1A1的夾角大?。痉治觥浚?）直接由三棱錐的體積公式求解即可；（2）易知直線AB1與平面ACC1A1所成的角為∠OAB1，求出其正弦值，再由反三角表示即可．【解答】解：（1）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，＝；（2）連接A1C1∩B1D1＝O，∵AB＝BC，∴四邊形A1B1C1D1為正方形，則OB1⊥OA1，又AA1⊥OB1，OA1∩AA1＝A1，∴OB1⊥平面ACC1A1，∴直線AB1與平面ACC1A1所成的角為∠OAB1，∴．∴直線AB1與平面ACC1A1所成的角為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三棱錐體積的求法，考查線面角的求解，考查推理能力及運(yùn)算能力，屬于中檔題．3．（2021?上海）四棱錐P﹣ABCD，底面為正方形ABCD，邊長(zhǎng)為4，E為AB中點(diǎn)，PE⊥平面ABCD．（1）若△PAB為等邊三角形，求四棱錐P﹣ABCD的體積；（2）若CD的中點(diǎn)為F，PF與平面ABCD所成角為45°，求PC與AD所成角的大?。痉治觥浚?）由V＝PE?S正方形ABCD，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)，進(jìn)行運(yùn)算，即可；（2）由PE⊥平面ABCD，知∠PFE＝45°，進(jìn)而有PE＝FE＝4，PB＝，由AD∥BC，知∠PCB或其補(bǔ)角即為所求，可證BC⊥平面PAB，從而有BC⊥PB，最后在Rt△PBC中，由tan∠PCB＝，得解．【解答】解：（1）∵△PAB為等邊三角形，且E為AB中點(diǎn)，AB＝4，∴PE＝2，又PE⊥平面ABCD，∴四棱錐P﹣ABCD的體積V＝PE?S正方形ABCD＝×2×42＝．（2）∵PE⊥平面ABCD，∴∠PFE為PF與平面ABCD所成角為45°，即∠PFE＝45°，∴△PEF為等腰直角三角形，∵E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，∴PE＝FE＝4，∴PB＝＝，∵AD∥BC，∴∠PCB或其補(bǔ)角即為PC與AD所成角，∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BC，又BC⊥AB，PE∩AB＝E，PE、AB?平面PAB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，在Rt△PBC中，tan∠PCB＝＝＝，故PC與AD所成角的大小為arctan．【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱錐的體積、線面角和異面直線夾角的求法，理解線面角的定義，以及利用平移法找到異面直線所成角是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（2020?上海）已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，正方形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓柱．（1）求該圓柱的表面積；（2）正方形ABCD繞AB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ABC1D1，求線段CD1與平面ABCD所成的角．【分析】（1）該圓柱的表面由上下兩個(gè)半徑為1的圓面和一個(gè)長(zhǎng)為2π、寬為1的矩形組成，依次求出圓面和矩形的面積，相加即可；（2）先利用線面垂直的判定定理證明AD1⊥平面ADB，連接CD1，則∠D1CA即為線段CD1與平面ABCD所成的角，再利用三角函數(shù)的知識(shí)求出cos∠D1CA即可．【解答】解：（1）該圓柱的表面由上下兩個(gè)半徑為1的圓面和一個(gè)長(zhǎng)為2π、寬為1的矩形組成，∴S＝2×π×12+2π×1＝4π．故該圓柱的表面積為4π．（2）∵正方形ABC1D1，∴AD1⊥AB，又∠DAD1＝，∴AD1⊥AD，∵AD∩AB＝A，且AD、AB?平面ADB，∴AD1⊥平面ADB，即D1在面ADB上的投影為A，連接CD1，則∠D1CA即為線段CD1與平面ABCD所成的角，而cos∠D1CA＝＝，∴線段CD1與平面ABCD所成的角為arccos．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓柱的表面積、空間線面夾角問(wèn)題，熟練掌握線面垂直的判定定理是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．【三年自主招生練】一．選擇題（共1小題）1．（2022?上海自主招生）空間中到正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱A1D1，AB，CC1距離相等的點(diǎn)有（）A．無(wú)數(shù) B．0 C．2 D．3【分析】由于點(diǎn)D、B1顯然滿足要求，猜想B1D上任一點(diǎn)都滿足要求，然后證明結(jié)論．【解答】解：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1上建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為1，連接B1D，并在B1D上任取一點(diǎn)P，因?yàn)?，所以設(shè)P（a，a，a），其中0≤a≤1，作PE⊥平面A1D，垂足為E，再作EF⊥A1D1，垂足為F，則PF是點(diǎn)P到直線A1D1的距離，所以，同理點(diǎn)P到直線AB、CC1的距離也是，所以B1D上任一點(diǎn)與正方體ABCD﹣A1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離都相等，所以與正方體ABCD﹣A1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查合情推理的能力及空間中點(diǎn)到線的距離的求法，考查了推理論證能力，屬于中檔題．二．填空題（共2小題）2．（2020?上海自主招生）矩形ABCD的邊AB＝，過(guò)B，D作直線AC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，且E，F(xiàn)分別為AC的三等分點(diǎn)．沿著AC將矩形翻折，使得二面角B﹣AC﹣D成直角，則BD長(zhǎng)度為．【分析】根據(jù)，可以求出EF，再根據(jù)勾股定理即可求出BD的長(zhǎng)度．【解答】解：設(shè)AF＝FE＝EC＝x，則，，解得，故．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二面角的概念，考查學(xué)生空間想象能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（2020?上海自主招生）若四面體的各個(gè)頂點(diǎn)到平面α距離都相等，則稱平面α為該四面體的中位面，則一個(gè)四面體的中位面的個(gè)數(shù)是7．【分析】分3種情況分類討論即可，①四個(gè)頂點(diǎn)均在平面的一側(cè)，②平面的一側(cè)有三個(gè)頂點(diǎn)，另一側(cè)有一個(gè)頂點(diǎn)，③平面的兩側(cè)各有兩個(gè)頂點(diǎn)．分別求出中位面的個(gè)數(shù)再相加可得答案．【解答】解：將所考慮的四面體記作ABCD．若四個(gè)頂點(diǎn)均在平面的一側(cè)，則這四個(gè)頂點(diǎn)必位于一個(gè)與平面平行的平面內(nèi)，不符合條件；只考慮以下兩種情形．（i）平面的一側(cè)有三個(gè)頂點(diǎn)，另一側(cè)有一個(gè)頂點(diǎn)．不妨設(shè)點(diǎn)A，B，C在平面的一側(cè)，點(diǎn)D在另一側(cè)，則A，B，C三點(diǎn)所確定的平面必平行與，由點(diǎn)D作平面ABC的垂線DD1，D1為垂足．則中位面必為經(jīng)過(guò)DD1的中點(diǎn)且與DD1垂直的平面（存在且唯一），該中位面平行于平面ABC．這種類型的中位面共有4個(gè)．（ii）平面的兩側(cè)各有兩個(gè)頂點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)A，B在平面α的一側(cè)，點(diǎn)C，D在另一側(cè)，顯然，易知，AB與CD為異面直線，中位面必為經(jīng)過(guò)它們公垂線中點(diǎn)且平行于它們的平面（存在且唯一）．由于四面體的6條棱可按異面直線關(guān)系分為3組，于是這種類型的中位面共有3個(gè)．綜上，一個(gè)四面體的中位面由7個(gè)互不相同的中位面．故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中線面位置關(guān)系，考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．【最新模擬練】一．選擇題（共1小題）1．（2022?閔行區(qū)校級(jí)模擬）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3，動(dòng)點(diǎn)M在側(cè)面BCC1B1上運(yùn)動(dòng)（包括邊界），且MB1＝2MB，則D1M與平面ADD1A1所成角的正切值的取值范圍為（）A． B． C． D．【分析】找到點(diǎn)M在平面ADD1A1的投影為點(diǎn)N，在平面平面ADD1A1上，建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)N的軌跡方程，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合求出，從而求出答案．【解答】解：設(shè)點(diǎn)M在平面ADD1A1的投影為點(diǎn)N，則|MN|＝3，所求線面角為θ，則，因?yàn)镸B1＝2MB，所以NA1＝2NA，在平面ADD1A1上，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸，AA1為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），A1（0，3），設(shè)N（x，y），，化簡(jiǎn)得：x2+（y+1）2＝4，（x≥0，y≥0），故點(diǎn)N的軌跡為以H（0，﹣1）為圓心，半徑為2的且位于第一象限的圓弧ST，如圖所示，連接HD1，與圓弧ST相交于點(diǎn)N'，此時(shí)D1N＝D1N'取得最小值，由勾股定理得：，所以D1N'＝5﹣2＝3，當(dāng)點(diǎn)N與S重合時(shí)，D1N＝D1S取得最大值，由勾股定理得：，則，．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查立體幾何中軌跡問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，屬于中等題．二．填空題（共4小題）2．（2022?黃浦區(qū)二模）在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，設(shè)，，，若用向量、、表示向量，則＝++．【分析】由題意畫(huà)出圖形，再由向量加法的三角形法則和平行四邊形法則求解．【解答】解：如圖，∵，，，則＝++＝++＝++．故答案為：++．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量基本定理的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想，是基礎(chǔ)題．3．（2022?金山區(qū)二模）若正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則頂點(diǎn)A到平面BB1D1D的距離為．【分析】連接AC、BD，設(shè)AC∩BD＝O，則AO⊥BD，可得AO⊥平面BB1D1D，由已知棱長(zhǎng)求得AO，則答案可求．【解答】解：如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知平面BB1D1D⊥平面ABCD，且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD，連接AC、BD，設(shè)AC∩BD＝O，則AO⊥BD，可得AO⊥平面BB1D1D，∴AO即為頂點(diǎn)A到平面BB1D1D的距離為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．4．（2022?寶山區(qū)校級(jí)二模）如圖，一個(gè)正方體雕塑放置在水平基座上，其中一個(gè)頂點(diǎn)恰好在基座上，與之相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)與水平基座的距離分別是2，3，4，則正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中與水平基座距離的最大值為9．【分析】由題意畫(huà)出圖形，不妨設(shè)B、D、A1到水平基座的距離分別是2，3，4，分別利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得其它點(diǎn)到水平基座的距離得答案．【解答】解：如圖，不妨設(shè)B、D、A1到水平基座的距離分別是2，3，4，則DA1的中點(diǎn)到水平基座的距離為，可得AD1的中點(diǎn)到水平基座的距離為，∴D1到水平基座的距離為7；同理求得C到水平基座的距離為5；B1到水平基座的距離為6；C1到水平基座的距離為9．即正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中與水平基座距離的最大值為9．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用，是中檔題．5．（2022?上海模擬）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面ABC的射影恰為OB的中點(diǎn)E，已知AB＝2PO＝2，點(diǎn)C到OP的距離為，則當(dāng)∠ACB最大時(shí)，直線PC與平面PAB所成角的大小為．【分析】根據(jù)點(diǎn)C到OP的距離為，得到點(diǎn)C是以O(shè)P為旋轉(zhuǎn)面的軸的圓柱與平面ABC的公共點(diǎn)，即點(diǎn)C的軌跡是以AB為焦距，以2為短軸長(zhǎng)的橢圓，由此能求出當(dāng)∠ACB最大時(shí)，直線PC與平面PAB所成角的大?。窘獯稹拷猓骸唿c(diǎn)C到OP的距離為，∴點(diǎn)C是以O(shè)P為旋轉(zhuǎn)面的軸的圓柱與平面ABC的公共點(diǎn)，即點(diǎn)C的軌跡是以AB為焦距，以2為短軸長(zhǎng)的橢圓，由橢圓的對(duì)稱性可知：當(dāng)∠ACB最大時(shí)，|AC|＝|BC|＝2，CO⊥AB，∵點(diǎn)P在平面ABC的射影恰為OB的中點(diǎn)E，∴PE⊥平面ABC，∵PE?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴CO⊥平面ABC，∴∠CPO是直線PC與平面PAB所成角，∵CO＝，∴tan＝，∴．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．三．解答題（共20小題）6．（2022?浦東新區(qū)校級(jí)二模）如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝．（1）證明：A1C⊥BD；（2）求直線AC與平面BB1D1D所成的角θ的大?。痉治觥浚?）證明BD⊥AC，A1O⊥BD，然后證明A1C⊥平面ACC1A1，得到A1C⊥BD．（2）取B1D1中點(diǎn)O1，聯(lián)結(jié)OO1，說(shuō)明∠COO1即為所求角，然后求解即可．【解答】（1）證明：由題意易得：BD⊥AC，又A1O⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴A1O⊥BD，又A1O∩AC＝O，∴BD⊥平面ACC1A1，又A1C⊥平面ACC1A1，∴A1C⊥BD．（2）解：取B1D1中點(diǎn)O1，聯(lián)結(jié)OO1，則由四棱柱的性質(zhì)可知，四邊形A1O1OA為平行四邊形，又∵A1A＝A1C＝，AC＝2，∴A1A⊥A1C，∴A1A⊥O1O，又A1C⊥BD．所以A1C⊥平面DBB1D1．∴∠COO1即為所求角，直線AC與平面BB1D1D所成的角，∵A1A＝A1C＝，所以直線AC與平面BB1D1D所成的角的大小為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．7．（2022?黃浦區(qū)二模）如圖，直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形ABC及其內(nèi)部繞BC邊旋轉(zhuǎn)一周，形成一個(gè)圓錐．（1）求該圓錐的側(cè)面積S；（2）三角形ABC繞BC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到A1BC，M為線段AA1中點(diǎn)，求CM與平面AA1B所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）【分析】（1）所形成幾何體是圓錐，求出圓錐的側(cè)面積即可．（2）∠BMC是CM與平面AA1B所成的角，求出BM，利用反三角函數(shù)表示∠BMC的值即可．【解答】解：（1）將直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形ABC繞其直角邊BC旋轉(zhuǎn)一周，所形成幾何體是底面半徑為r＝1，母線長(zhǎng)為l＝的圓錐，所以該圓錐的側(cè)面積為S＝πrl＝π×1×＝π．（2）由題意知，CB⊥平面ABA1，連接OM，則∠BMC是CM與平面AA1B所成的角，因?yàn)锳C＝A1C，M為AA1的中點(diǎn)，所以CM⊥AA1，所以BM⊥AA1，所以BM＝AA1＝，且BC＝1，所以tan∠BMC＝＝＝，所以∠BMC＝arctan，即CM與平面AA1B所成角的大小為arctan．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征與線面角的計(jì)算問(wèn)題，是中檔題．8．（2022?閔行區(qū)二模）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為菱形，PD⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，E為棱BC的中點(diǎn)．（1）求證：ED⊥平面PAD；（2）若PD＝AD＝2，求點(diǎn)D到平面PBC的距離．【分析】（1）連接BD，由線面垂直判定定理即可求證；（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DE、DP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，代入公式即可求解．【解答】（1）證明：連接BD，如圖，∵底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，∴△BCD為等邊三角形，∵E為BC的中點(diǎn)，∴DE⊥BC，∵AD∥BC，∴DE⊥AD，∵PD⊥平面ABCD，DE?平面ABCD，∴PD⊥DE，∵PD∩AD＝D，∴ED⊥平面PAD；（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DE、DP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，∴，設(shè)平面PBC的法向量為＝（x，y，z），則，令y＝2，則，∴，又＝（1，，0），∴點(diǎn)D到平面PBC的距離為：＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面垂直的證明和點(diǎn)到平面的距離，屬于中檔題．9．（2022?長(zhǎng)寧區(qū)二模）已知圓錐的頂點(diǎn)為S，底面圓心為O，母線SA的長(zhǎng)為．（1）若圓錐的側(cè)面積為，求圓錐的體積；（2）A、B是底面圓周上的兩個(gè)點(diǎn)，∠AOB＝90°，M為線段AB的中點(diǎn)，若圓錐的底面半徑為2，求直線SM與平面SOA所成角的大?。痉治觥浚?）設(shè)圓錐的底面半徑為r，側(cè)面母線長(zhǎng)為l，則，求出r＝1，h＝，由此能求出圓錐的體積．（2）設(shè)AO的中點(diǎn)為N，連接MN、SN，則MN∥OB，推導(dǎo)出OA⊥MN，SO⊥MN，從而MN⊥平面SOA，進(jìn)而∠MSN即是直線SM與平面SOA所成角．由此能求出直線SM與平面SOA所成角的大?。窘獯稹拷猓海?）圓錐的頂點(diǎn)為S，底面圓心為O，母線SA的長(zhǎng)為．設(shè)圓錐的底面半徑為r，側(cè)面母線長(zhǎng)為l，則，∵，∴r＝1，h＝＝，∴圓錐的體積V＝＝π．（2）設(shè)AO的中點(diǎn)為N，連接MN、SN，則MN∥OB，∵OA⊥OB，∴OA⊥MN，∵SO⊥底面AOB，∴SO⊥MN，∴MN⊥平面SOA，∴∠MSN即是直線SM與平面SOA所成角．∵圓錐的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為，∴圓錐的高SO＝2，∴SN＝＝，MN＝1．∵SN⊥MN，∴，∴．∴直線SM與平面SOA所成角的大小為arctan．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐結(jié)構(gòu)特征、圓錐的體積、線面垂直的判定與性質(zhì)、線面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．10．（2022?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）如圖，正四棱錐P﹣ABCD中．（1）求證：BD⊥平面PAC；（2）若AB＝2，Vp﹣ABCD＝，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【分析】（1）先證明PO⊥BD，結(jié)合BD⊥AC，利用線面垂直的判定定理可得結(jié)論；（2）由求出棱錐的高，可求得側(cè)棱長(zhǎng)，判定側(cè)面的形狀后可得二面角的平面角，利用余弦定理可得答案．【解答】（1）證明：因?yàn)镻﹣ABCD是正棱錐，∴P在面ABCD內(nèi)射影是AC與BD的交點(diǎn)O，即PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD，又∵BD⊥AC，PO與AC在面PAC內(nèi)相交，∴BD⊥面PAC．（2）解：∵，∴，，則△PAB與△PBC為邊長(zhǎng)是2的正三角形，取PB的中點(diǎn)E，連AE，CE，則AE⊥PB，CE⊥PB，∠AEC是二面角的平面角，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線面垂直的證明，二面角的相關(guān)計(jì)算等知識(shí)，屬于中等題．11．（2022?閔行區(qū)校級(jí)二模）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，△PAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PD⊥AB，PD＝．（1）設(shè)AB中點(diǎn)E，求證：DE⊥平面PAB；（2）求平面PAB和平面PCD所成銳二面角的大?。痉治觥浚?）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、勾股定理進(jìn)行證明即可；（2）證明∠DPE即為面PAB和平面PCD所成二面角的平面角，再解三角形即可．【解答】（1）證明：取AB中點(diǎn)為E，連接PE，DE，則在等邊三角形PAB中，PE⊥AB，又因?yàn)镻D⊥AB，PE∩PD＝P，PE、PD?面PED，所以AB⊥面PED，因?yàn)镋D?面PED，所以AB⊥ED，又DA＝AB＝2，AE＝1，所以∠DAB＝60°，，，所以PE2+DE2＝PD2，即PE⊥DE，又PE∩AB＝E，PE、AB?面PAB，所以DE⊥面PAB；（2）解：設(shè)平面PAB∩平面PDC＝l，又DC∥AB，AB?平面PAB，DC?平面PAB，所以DC∥平面PAB，又DC?平面PDC，所以DC∥l，所以DC∥AB∥l，又PD⊥AB，所以PD⊥l，又PE⊥AB，所以PE⊥l，所以∠DPE即為面PAB和平面PCD所成二面角的平面角，由（1）知，，所以△DEP為等腰直角三角形，故面PAB和平面PCD所成銳二面角為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線面垂直的證明，面面角的計(jì)算等知識(shí)，屬于中等題．12．（2022?浦東新區(qū)校級(jí)二模）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝AD＝2，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)．（1）證明：A1、C1、F、E四點(diǎn)共面；（2）求直線CD1與平面A1C1FE所成的角的大?。痉治觥浚?）連接AC，利用三角形中位線和直線平行傳遞性可證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法直接計(jì)算可得．【解答】（1）證明：連接AC，∵E，F(xiàn)分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，又∵AA1∥CC1，∴四邊形ACC1A1為平行四邊形，∴AlC1∥AC，∴Al?l∥EF，所以A1，C1，F(xiàn)、E四點(diǎn)共面；（2）解：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為A1（2，0，1），E（2，1，0），F(xiàn)（1，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，1），則，設(shè)平面A1C1FE的法向量為＝（x，y，z），故，取x＝1，得＝（1，1，1），記直線CD1與平面A1C1FE所成的角為θ，則，直線CD1與平面A1C1FE所成的角為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了四點(diǎn)共面的證明以及直線與平面所成的角的計(jì)算，屬于中檔題．13．（2022?徐匯區(qū)二模）如圖，已知AB為圓柱OO1的底面圓O的一條直徑，P為圓周上的一點(diǎn)，OA＝2，∠BOP＝60°，圓柱OO1的表面積為24π．（1）求三棱錐A1﹣APB的體積；（2）求直線AP與平面A1PB所成的角的大?。痉治觥浚?）根據(jù)表面積為24π，求得AA1＝4，結(jié)合題意和錐體的體積公式，即可求解；（2）根據(jù)題意證得BP⊥平面AA1P，得到平面A1PB⊥平面AA1P，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥A1P，證得AM⊥平面A1PB，得到∠APM為直線AP與平面A1PB所成的角，再直角△AA1P中，求得，即，即可求解．【解答】（1）解：由題意，AB是圓柱OO1的底面圓O的一條直徑，且OA＝2，其表面積為24π，可得2π?22+2π×2×AA1＝24π，解得AA1＝4，在△AOP中，由∠BOP＝60°且OA＝OP＝2，可得∠AOP＝120°，所以，在△BOP中，OB＝OP＝2且∠BOP＝60°，可得BP＝2，所以三棱錐A1﹣APB的體積；（2）解：由AB為圓柱OO1的底面圓O的一條直徑，P為圓周上的一點(diǎn)，可得BP⊥AP，又由AA1⊥平面ABP，BP?平面ABP，所以BP⊥AA1，因?yàn)锳P∩AA1＝A且AP，AA1?平面AA1P，所以BP⊥平面AA1P，又因?yàn)锽P?平面A1PB，所以平面A1PB⊥平面AA1P，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥A1P，垂足為M，如圖所示，因?yàn)槠矫鍭1PB⊥平面AA1P，平面A1PB∩平面AA1P＝A1P，且AM?平面AAlP，所以AM⊥平面A1PB，所以∠APM為直線AP與平面A1PB所成的角，又由OA＝2，∠BOP＝60°，可得PB＝2，在直角△ABP中，可得，在直角△AA1P中，可得，所以，即，所以直線AP與平面A1PB所成的角的大小．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三棱錐體積的計(jì)算，直線與平面所成的角，屬于中檔題．14．（2022?寶山區(qū)二模）在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，點(diǎn)E是棱AB上的點(diǎn)，AE＝2EB．（1）求異面直線AD1與EC所成角的大?。唬?）求點(diǎn)C到平面D1DE的距離．【分析】（1）首先平移直線找到異面直線所成的角，然后計(jì)算其大小即可；（2）利用等體積法轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)即可求得點(diǎn)面距離．【解答】解：（1）在線段CD上取靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)F，連結(jié)AF，D1F，由平面幾何的知識(shí)易知AF∥CE，故∠D1AF或其補(bǔ)角即為異面直線AD1與EC所成角，由于，故△D1AF為等邊三角形，∠D1AF＝60°，即異面直線AD1與EC所成角為60°．（2）如圖所示，利用等體積法，，設(shè)點(diǎn)C到平面D1DE的距離為h，則，即，解得，即點(diǎn)C到平面D1DE的距離為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查異面直線所成的角的求解，點(diǎn)面距離的計(jì)算，等體積法的應(yīng)用，空間想象能力的培養(yǎng)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．15．（2022?上海模擬）如圖，已知點(diǎn)P在圓柱OO1的底面圓O上，AB為圓O的直徑，圓柱OO1的側(cè)面積為，OA＝2，∠AOP＝120°．（1）求三棱錐A1﹣APB的體積；（2）求二面角A1﹣PB﹣A的大?。痉治觥浚?）根據(jù)底面圓的半徑，結(jié)合圓柱的側(cè)面積，求解出圓柱的高，然后根據(jù)已知條件，求解底面S△APB，再計(jì)算體積即可；（2）根據(jù)已知AA1⊥平面APB且AP⊥PB，不難判斷∠APA1為A1﹣PB﹣A所成的二面角，根據(jù)第（1）問(wèn)求解出相應(yīng)的邊長(zhǎng)關(guān)系，求解∠APA1即可完成求解．【解答】解：（1）由已知可得，OA＝2，所以C底＝2π?2＝4π，，所以，因?yàn)锳B為圓O的直徑，P在底面圓O上，∠AOP＝120°，OA＝OP，所以∠OAP＝∠OPA＝30°，所以，所以，所以，故三棱錐A1﹣APB的體積為4．（2）平面A1PB∩平面APB＝PB，因?yàn)锳A1⊥平面APB，PB?平面APB，所以AA1⊥PB，因?yàn)锳B為圓O的直徑，P在底面圓O上，所以AP⊥PB，故∠APA1為A1﹣PB﹣A所成的二面角，，且AA1⊥平面APB，所以AA1⊥AP，所以．故二面角A1﹣PB﹣A的大小為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三棱錐體積的計(jì)算，二面角的平面角問(wèn)題，屬于中檔題．16．（2022?普陀區(qū)二模）如圖所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為4，設(shè)（0＜λ＜1）．（1）當(dāng)λ＝時(shí)，求直線B1E與平面ABCD所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；（2）當(dāng)λ＝時(shí)，若，且＝0，求正實(shí)數(shù)t的值．【分析】（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1分別為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，求得直線B1E的方向向量與平面ABCD的一個(gè)法向量，利用向量法可求線B1E與平面ABCD所成角的大?。?）求得＝（0，2，﹣4），＝（2，2t﹣2，3﹣4t），利用數(shù)量積可求t的值．【解答】解：（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1分別為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，則點(diǎn)E（0，2，2），B1（2，0，4），即＝（﹣2，2，﹣2），平面ABCD的一個(gè)法向量＝（0，0，4），設(shè)直線B1E與平面ABCD所成角為θ，則sinθ＝＝＝，即θ＝arcsin，則直線B1E與平面ABCD所成角的大小為arcsin．（2）由（1）中所建坐標(biāo)系得E（0，2，1），B1（2，0，4），C（2，2，0），則＝（0，2，﹣4），又＝t，則G（2，2t，4﹣4t），則＝（2，2t﹣2，3﹣4t），又＝0，則0×2+2?（2t﹣2）+（﹣4）?（3﹣4t）＝0，解得t＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面所成的角的求法，利用向量的數(shù)量積求參數(shù)的值，屬中檔題．17．（2022?金山區(qū)二模）如圖，已知四棱錐S﹣ABCD的底面ABCD是梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝BC＝1，AD＝2，．（1）求四棱錐S﹣ABCD的體積；（2）求直線BS與平面SCD所成角的大?。痉治觥浚?）由已知易求四棱錐S﹣ABCD的體積；（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AS為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可求直線BS與平面SCD所成角的大小．【解答】解：（1）底面ABCD是梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，BC＝1，AD＝2，．∴SABCD＝（1+2）×＝，又SA⊥平面ABCD，SA＝1，四棱錐S﹣ABCD的體積為×SABCD×1＝××1＝；（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AS為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（，0，0），S（0，0，1），C（，1，0），D（0，2，0），則＝（，0，﹣1），＝（﹣，﹣1，1），＝（0，2，﹣1），設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量為＝（x，y，z），則，令y＝1，則z＝2，x＝，∴平面SCD的一個(gè)法向量為＝（，1，2），直線BS與平面SCD所成角為θ，∴sinθ＝|cos＜，＞|＝＝＝．所以直線BS與平面SCD所成角的大小為arcsin．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間幾何體的體積的求法，考查線面角的求法，屬中檔題．18．（2022?楊浦區(qū)二模）如圖所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)1，側(cè)棱長(zhǎng)4，AA1中點(diǎn)為E，CC1中點(diǎn)為F．（1）求證：平面BDE∥平面B1D1F；（2）連結(jié)B1D，求直線B1D與平面BDE所成的角的大?。痉治觥浚?）以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖利用向量法證DE∥FB1，同理BD∥B1D1，可證平面BDE∥平面B1D1F；（2）利用向量法可求直線B1D與平面BDE所成的角的大?。窘獯稹拷猓海?）以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖則B（1，0，0），D（0，1，0），E（0，0，2），B1（1，0，4），D1（0，1，4），F(xiàn)（1，1，2），∵，∴DE∥FB1，同理BD∥B1D1，∵平面BDE與平面B1D1F不重合，∴平面BDE與平面B1D1F平行．（2）同（1）建系，設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為，則，得x＝y(tǒng)＝2z，不妨取z＝1，則，又，設(shè)直線B1D與平面BDE所成的角為θ，故，直線B1D與平面BDE所成的角為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面平行的證明，考查線面角的大小的求法，屬中檔題．19．（2022?閔行區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，△PAB，△PAD均為等邊三角形，BC＝CD．（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA＝BD＝BC，M，N分別是PC，BC的中點(diǎn)，Q在邊AD上，且DQ＝2QA．求直線AM與平面PQN所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取BD中點(diǎn)E，證明BD⊥AE，BD⊥PE，推出BD⊥平面PAE，然后證明BD⊥平面PAC．（Ⅱ）以AC、BD的交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．求出平面PQN的法向量，利用看就行了的數(shù)量積，求解直線AM與平面PQN所成的線面角的正弦值．法二：易得P點(diǎn)在底面上的投影H為△ABD的中心．建立空間直角坐標(biāo)系H﹣xyz．求出平面PQN的法向量，利用看就行了的數(shù)量積求解直線AM與平面PQN所成的線面角的正弦值．法三：P點(diǎn)在底面上的投影H為△ABD的中心．求解．通過(guò)求解三角形推出直線AM與平面PQN所成的線面角的正弦值．【解答】（Ⅰ）證明：取BD中點(diǎn)E，因?yàn)椤鱌AB，△PAD均為等邊三角形，BC＝CD，所以A，E，C三點(diǎn)共線，且BD⊥AE，BD⊥PE，又AE∩PE＝E，所以BD⊥平面PAE，即BD⊥平面PAC．（Ⅱ）如圖以AC、BD的交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．設(shè)BD＝6，則，，，，，則，，設(shè)平面PQN的法向量為，即，令x＝1，則，z＝0，即，設(shè)直線AM與平面PQN所成的線面角大小為θ，則，因此直線AM與平面PQN所成的線面角的正弦值．法二：易得P點(diǎn)在底面上的投影H為△ABD的中心．如圖建立空間直角坐標(biāo)系H﹣xyz．設(shè)PA＝6，則，，，，則，，，于是，，．設(shè)平面PQN的法向量為，即，?。O(shè)直線AM與平面PQN所成的線面角大小為θ，則．因此直線AM與平面PQN所成的線面角的正弦值．法三：易得P點(diǎn)在底面上的投影H為△ABD的中心．由幾何關(guān)系可知：QHN三點(diǎn)共線，且QN∥AB，AH＝HC．又易得AB⊥BC，所以QN⊥BC．所以BC⊥面PQN，面ABCD⊥面PQN．點(diǎn)A到面PQN的距離d1＝BN，點(diǎn)M到面PQN的距離．設(shè)PA＝6，則．在△PAC中，2（PA2+AC2）＝PC2+4AM2，代入數(shù)據(jù)得：，解得：．設(shè)直線AM與平面PQN所成的線面角大小為θ，則，因此直線AM與平面PQN所成的線面角的正弦值．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．20．（2022?青浦區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝，點(diǎn)P、Q分別為A1B1、BC的中點(diǎn)，C1Q與底面ABC所成的角為arctan2．（1）求異面直線PB與QC1所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）；（2）求點(diǎn)C與平面AQC1的距離．【分析】（1）由已知求得C1C＝2，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BC、BA、BB1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出、的坐標(biāo)，由兩向量所成角的余弦值求解異面直線PB與QC1所成角的大?。唬?）求出平面AQC1的法向量及，由向量法求點(diǎn)C與平面AQC1的距離．【解答】解：（1）∵C1C⊥平面ABC，∴∠C1QC為C1Q與底面ABC所成角，即tan∠C1QC＝，∴C1C＝2．以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BC、BA、BB1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B（0，0，0），Q（1，0，0），C1（2，0，2），P（0，1，2），則＝（0，1，2），，設(shè)異面直線PB與QC1所成角的大小為θ，∴cosθ＝＝，則異面直線PB與QC1所成角的大小為arccos；（2）設(shè)平面AQC1的法向量為，由（1）知，，，由，取y＝1，得．又，∴點(diǎn)C與平面AQC1的距離d＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間角的求法，訓(xùn)練了利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．21．（2022?浦東新區(qū)校級(jí)二模）在三棱錐A﹣BCD中，已知CB＝CD＝，BD＝2，O為BD的中點(diǎn)，AO⊥平面BCD，AO＝2，E為AC中點(diǎn)．（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；（2）若點(diǎn)F在BC上，滿足BF＝BC，設(shè)二面角F﹣DE﹣C的大小為θ，求sinθ的值．【分析】（1）由題意畫(huà)出圖形，連接OC，由已知可得CO⊥BD，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC，OA所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出所用點(diǎn)的坐標(biāo)，得到，，設(shè)直線AB與DE所成角為α，由兩向量所成角的余弦值，可得直線AB與DE所成角的余弦值；（2）由BF＝BC，得，設(shè)F（x，y，z），由向量等式求得F（，，0），進(jìn)一步求出平面DEF的一個(gè)法向量與平面DEC的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值求得cosθ，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求解sinθ．【解答】解：（1）如圖，連接OC，∵CB＝CD，O為BD的中點(diǎn)，∴CO⊥BD．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC，OA所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．∵BD＝2，∴OB＝OD＝1，則OC＝．∴B（1，0，0），A（0，0，2），C（0，2，0），D（﹣1，0，0），∵E是AC的中點(diǎn)，∴E（0，1，1），∴，．設(shè)直線AB與DE所成角為α，則cosα＝，即直線AB與DE所成角的余弦值為；（2）∵BF＝BC，∴，設(shè)F（x，y，z），則（x﹣1，y，z）＝（，，0），∴F（，，0）．∴，，．設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為，由，取x1＝﹣2，得；設(shè)平面DEC的一個(gè)法向量為，由，取x2＝﹣2，得．∴|cosθ|＝＝．∴sin．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用空間向量求空間角，考查空間想象能力與邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．22．（2022?浦東新區(qū)二模）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1＝2，點(diǎn)D是線段A1B1的中點(diǎn)．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積；（2）已知P為側(cè)棱BB1的中點(diǎn)，求點(diǎn)P到平面BCD的距離．【分析】（1）由直三棱柱體積計(jì)算公式能求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積．（2）法一：設(shè)點(diǎn)P到平面BCD的距離為d，A1到平面BCB1C1的距離為2，由，由此能求出點(diǎn)P到平面BCD的距離．法二：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CB、CA、CC1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)P到平面BCD的距離．【解答】解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1＝2，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積．（2）解法一：設(shè)點(diǎn)P到平面BCD的距離為d，由題知A1C1⊥平面BCB1C1，即A1到平面BCB1C1的距離為2，∵點(diǎn)D是線段A1B1的中點(diǎn)，∴D到平面BCB1C1的距離為1．在△BB1D中，，在△CC1D中，，∴，又S△BCP＝，又由，∴點(diǎn)P到平面BCD的距離．解法二：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CB、CA、CC1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由已知得B（2，0，0），P（2，0，1），D（1，1，2），則，，，設(shè)平面BCD的一個(gè)法向量是，由，得，令，設(shè)點(diǎn)P到平面BCD的距離為d，∴點(diǎn)P到平面BCD的距離．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直三棱錐的體積、線面垂直的判斷、點(diǎn)到平面的距離、等體積法、向量法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．23．（2022?嘉定區(qū)二模）如圖，圓錐的底面半徑OA＝2，高PO＝6，點(diǎn)C是底面直徑AB所對(duì)弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D是母線PA的中點(diǎn)．求：（1）該圓錐的表面積；（2）直線CD與平面PAB所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．【分析】（1）求出圓錐