2026版大一輪高考數(shù)學(xué)-第五章　§5.3　平面向量的數(shù)量積VIP

§5.3平面向量的數(shù)量積課標(biāo)要求1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其幾何意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.會(huì)用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題.1.向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作OA＝a，OB＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.2.平面向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積，記作a·b.3.平面向量數(shù)量積的幾何意義設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，AB＝a，CD＝b，過AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作CD所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.記為|a4.向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.幾何表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝a|a|＝x夾角cosθ＝acosθ＝xa⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤(1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)兩個(gè)向量的夾角的范圍是0，π2.((2)若a，b共線，則a·b＝|a||b|.(×)(3)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果是向量.(√)(4)若a·b＝a·c，則b＝c.(×)2.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(－1，－4)，B(5，2)，C(3，4)，則△ABC是()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等腰三角形答案B解析由已知，AB＝(6，6)，BC＝(－2，2)，∴AB·BC＝6×(－2)＋6×2＝0，即AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形.3.已知a＝(1，2)，|b|＝23，a·b＝－3，則a與b的夾角為.答案120°解析設(shè)a與b的夾角為θ，因?yàn)閍＝(1，2)，|b|＝23，a·b＝－3，所以cosθ＝a·b|因?yàn)?°≤θ≤180°，所以θ＝120°，即a與b的夾角為120°.4.已知|a|＝2，|b|＝3，a與b的夾角為2π3，且a＋b＋c＝0，則|c|＝答案7解析因?yàn)閍＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，所以c2＝(－a－b)2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×2×3×cos2π3＋32＝4－6＋9＝7，所以|c|＝7熟記以下常用結(jié)論(1)平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.③a2＋b2＝0?a＝b＝0.(2)有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論①若a與b的夾角為銳角，則a·b>0；若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或0.②若a與b的夾角為鈍角，則a·b<0；若a·b<0，則a與b的夾角為鈍角或π.(3)a在b上的投影向量為a·b|b|·b|b題型一平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算例1(1)(多選)如圖，點(diǎn)A，B在圓C上，則AB·AC的值()A.與圓C的半徑有關(guān)B.與圓C的半徑無關(guān)C.與弦AB的長度有關(guān)D.與點(diǎn)A，B的位置有關(guān)答案BC解析如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB交AB于點(diǎn)D，則D是AB的中點(diǎn)，故AB·AC＝|AB||AC|cos∠CAD＝|AB||AC|12|AB||故AB·AC的值與圓C的半徑無關(guān)，只與弦AB的長度有關(guān).(2)如圖，在同一平面內(nèi)沿平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD向外分別作正方形ABEF，ADMN，其中AB＝2，AD＝1，∠BAD＝π4，則AC·FN＝答案0解析方法一AC·FN＝(AB＋AD)·(FA＋AN)＝AB·FA＋AB＝0＋|AB||AN|cos3π4＋|AD||FA|cosπ4＋0＝－2方法二建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則A(0，2)，C2＋N-22，2＋22，則AC＝2＋則AC·FN＝－2－1極化恒等式1.極化恒等式在平面向量中：(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b，(a－b)2＝a2＋b2－2a·b，兩式相減可得極化恒等式：a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2]2.幾何解釋(1)平行四邊形模型：向量的數(shù)量積等于“和對角線長”與“差對角線長”平方差的14，即a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2](如圖(2)三角形模型：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差，即AB·AC＝AM2－MB2(M為極化恒等式表明，向量的數(shù)量積可以由向量的模來表示，可以建立起向量與幾何長度之間的等量關(guān)系.典例(1)設(shè)向量a，b滿足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，則a·b等于()A.1 B.2 C.3 D.5答案A解析因?yàn)閨a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，兩式相減得a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2]＝(2)如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，BA·CA＝4，BF·CF＝－1，則BE·CE的值是.答案7解析方法一(極化恒等式法)設(shè)BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，則AD＝3n.由向量的極化恒等式，知AB·AC＝|AD|2－|DB|2＝9n2－m2＝4， ①FB·FC＝|FD|2－|DB|2＝n2－m2＝－1， ②聯(lián)立①②解得n2＝58，m2＝13因此EB·EC＝|ED|2－|DB|2＝4n2－m2＝78即BE·CE＝方法二(坐標(biāo)法)以直線BC為x軸，過點(diǎn)D且垂直于BC的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)A(3a，3b)，B(－c，0)，C(c，0)，則E(2a，2b)，F(xiàn)(a，b)，所以BA·CA＝(3a＋c，3b)·(3a－c，3b)＝9a2－c2＋9b2＝4，BF·CF＝(a＋c，b)·(a－c，b)＝a2－c2＋b2＝－1，則a2＋b2＝58，c2＝13所以BE·CE＝(2a＋c，2b)·(2a－c，2b)＝4a2－c2＋4b2＝78方法三(基向量法)BA·CA＝(DA－DB)·(DA－DC)＝BF·CF＝(DF－DB)·(DF－DC)＝因此|FD|2＝58，|BC|2＝13所以BE·CE＝(DE－DB)·(DE－DC思維升華計(jì)算平面向量數(shù)量積的主要方法(1)利用定義：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)利用坐標(biāo)運(yùn)算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求數(shù)量積.(4)靈活運(yùn)用平面向量數(shù)量積的幾何意義.跟蹤訓(xùn)練1(1)(2025·揚(yáng)州模擬)已知單位向量e1，e2的夾角為120°，則(2e1－e2)·e2等于()A.－2 B.0 C.1 D.2答案A解析因?yàn)閱挝幌蛄縠1，e2的夾角為120°，所以(2e1－e2)·e2＝2e1·e2－e22＝2|e1||e2|cos120°－e2|2＝2×1×1×-(2)(2025·咸陽模擬)如圖所示，已知在邊長為1的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，若點(diǎn)E為線段CD的中點(diǎn)，則AE·EB等于()A.32 B.34 C.－34答案C解析AE·EB＝14|AB|2題型二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用命題點(diǎn)1向量的模例2(1)(2024·新課標(biāo)全國Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，則|b|等于()A.12 B.22 C.答案B解析因?yàn)?b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，即b2＝2a·b，又因?yàn)閨a|＝1，|a＋2b|＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，從而|b|＝22(2)(2024·溫州模擬)平面向量a，b滿足a＝(2，1)，a∥b，a·b＝－10，則|b|＝.答案2解析由題意，設(shè)b＝(2t，t)，又a＝(2，1)，所以a·b＝4t＋t＝5t＝－10，得t＝－105所以|b|＝5|t|＝5·105命題點(diǎn)2向量的夾角例3(1)(2025·池州模擬)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝3，則a與b的夾角為()A.π3 B.π2 C.5π答案D解析因?yàn)閨a＋b|＝3，所以(a＋b)2＝3，所以a2＋2a·b＋b2＝3，所以1＋2×1×2×cos〈a，b〉＋4＝3，所以cos〈a，b〉＝－12所以〈a，b〉＝2π3(2)已知向量a＝(5，5)，b＝(λ，1)，若a＋b與a－b的夾角是銳角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為.答案(－7，1)∪(1，7)解析由題意得(a＋b)·(a－b)>0，即a2－b2>0，52＋52>λ2＋12，所以－7<λ<7，若a＋b＝k(a－b)(k>0)，則5＋λ所以λ的取值范圍是(－7，1)∪(1，7).命題點(diǎn)3向量的垂直例4(1)(2024·新課標(biāo)全國Ⅰ)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，則x等于()A.－2 B.－1 C.1 D.2答案D解析因?yàn)閎⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，解得x＝2.(2)(多選)(2024·淮安模擬)已知向量a＝(1，－2)，b＝(1，3)，則下列結(jié)論正確的是()A.b在a上的投影向量是(1，－2)B.|2a＋b|＝|b|C.a與b的夾角為πD.(a＋b)⊥a答案BD解析因?yàn)閨a|＝5，|b|＝10，a·b＝1－6＝－5，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－22，所以〈a所以b在a上的投影向量是|b|·cos〈a，b〉·a|a|＝10×-22×a5＝－a＝(因?yàn)閍＝(1，－2)，b＝(1，3)，所以2a＋b＝(3，－1)，所以|2a＋b|＝9＋1＝10＝|ba＋b＝(2，1)，所以(a＋b)·a＝2－2＝0，故D正確.命題點(diǎn)4向量的投影例5(2024·鄭州模擬)平面向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，則b在a上的投影向量為()A.1512a B.14a C.38a答案C解析由|a＋b|＝(＝|＝13＋2a·b＝4可得a而b在a上的投影向量為|b|cos〈a，b〉|a|思維升華(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|②幾何法：利用向量的幾何意義.(2)求平面向量的夾角的方法①定義法：cosθ＝a·②坐標(biāo)法.(3)兩個(gè)向量垂直的充要條件a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0).跟蹤訓(xùn)練2(1)(2025·杭州模擬)已知向量a＝(－1，1)，b＝(2，0)，向量a在向量b上的投影向量c等于()A.(－2，0) B.(2，0) C.(－1，0) D.(1，0)答案C解析因?yàn)橄蛄縜＝(－1，1)，b＝(2，0)，所以向量a在向量b上的投影向量c＝a·b|b|2·b＝((2)(2024·榆林模擬)若向量a＝(m，m－1)，b＝(2m，3)，|a|＝|b|，則實(shí)數(shù)m等于()A.－4 B.－3 C.－22 D.－2答案A解析若|a|＝|b|，則|a|2＝|b|2，即m2＋(m－1)2＝2m2＋9，解得m＝－4.(3)(2025·佛山模擬)已知a與b為兩個(gè)不共線的單位向量，則()A.(a＋b)∥aB.a⊥(a－b)C.若〈a，b〉＝π3，則〈a－b，b〉＝D.若〈a＋b，a〉＝π4，則〈a，b〉＝答案D解析選項(xiàng)A，若(a＋b)∥a，則可設(shè)a＝λ(a＋b)，即(1－λ)a＝λb，與a與b為兩個(gè)不共線的單位向量矛盾，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，因?yàn)?<〈a，b〉<π，cos〈a，b〉<1，所以a·(a－b)＝|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝1－cos〈a，b〉≠0，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，若〈a，b〉＝π3，則a·b＝|a||b|cosπ3＝12，所以(a－b)·b＝a·b－b2＝－12，|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝1，即|a－b|＝1，所以cos〈a－b，b〉＝(a-b)·b|a-b||b|＝－12，又0≤〈選項(xiàng)D，因?yàn)?a＋b)·a＝a2＋a·b＝1＋a·b，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2a·b，所以cos〈a＋b，a〉＝(a＋b)·a|a＋b||a|＝1＋a·b2＋2a·b＝22，化簡得1＋a·b＝1＋a·b，又0<〈a，b〉<π，cos〈a，b〉≠－1，所以a·b＝|a題型三平面向量的實(shí)際應(yīng)用例6(多選)在日常生活中，我們會(huì)看到兩個(gè)人共提一個(gè)行李包的情況.假設(shè)行李包所受的重力為G，所受的兩個(gè)拉力分別為F1，F(xiàn)2，若|F1|＝|F2|，且F1與F2的夾角為θ，則以下結(jié)論正確的是()A.|F1|的最小值為12|GB.θ的范圍為[0，π]C.當(dāng)θ＝π2時(shí)，|F1|＝22|D.當(dāng)θ＝2π3時(shí)，|F1|＝|G答案ACD解析由題意知，F(xiàn)1＋F2＋G＝0，可得F1＋F2＝－G，兩邊同時(shí)平方得|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cosθ＝2|F1|2＋2|F1|2cosθ，所以|F1|2＝|G當(dāng)θ＝0時(shí)，|F1|min＝12|G|當(dāng)θ＝π2時(shí)，|F1|＝22|G當(dāng)θ＝2π3時(shí)，|F1|＝|G|，故A，C，D當(dāng)θ＝π時(shí)，豎直方向上沒有分力與重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B錯(cuò)誤.思維升華用向量方法解決實(shí)際問題的步驟跟蹤訓(xùn)練3冰球運(yùn)動(dòng)是一種以冰刀和冰球桿為工具在冰上進(jìn)行的相互對抗的集體性競技運(yùn)動(dòng)，在冰球運(yùn)動(dòng)中，冰球運(yùn)動(dòng)員腳穿冰鞋，身著防護(hù)裝備，以球桿擊球，球入對方球門，多者為勝.小趙同學(xué)在練習(xí)冰球的過程中，以力F＝(6，24)作用于冰球，使冰球從點(diǎn)A(－1，－1)移動(dòng)到點(diǎn)B(1，－1)，則F對冰球所做的功為()A.－18 B.18 C.－12 D.12答案D解析因?yàn)锳(－1，－1)，B(1，－1)，所以AB＝(2，0)，又F＝(6，24)，故力F對冰球所做的功為W＝F·AB＝12.課時(shí)精練[分值：90分]一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共30分)1.(2024·葫蘆島模擬)已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(a－b)的值為()A.4 B.3 C.2 D.0答案C解析由題意知，a·(a－b)＝a2－a·b＝1－(－1)＝2.2.(2025·西安模擬)平面向量a與b的夾角為120°，|a|＝2，|b|＝3，則|a－2b|等于()A.28 B.52 C.27 D.213答案D解析由題意可知|a－2b|＝(＝4-4×2×33.長江流域內(nèi)某地南北兩岸平行，已知游船在靜水中的航行速度v1的大小|v1|＝10km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝6km/h，如圖，設(shè)v1和v2所成的角為θ(0<θ<π)，若游船從A航行到正北方向上位于北岸的碼頭B處，則cosθ等于()A.－25 B.－35 C.－4答案B解析由題意知(v1＋v2)·v2＝0，則v1·v2＋v22＝|v1||v2|·cosθ＝60cosθ＋36＝0，所以cosθ＝－354.(2025·鞍山模擬)已知非零向量a，b滿足|a|＝2|b|，向量a在向量b上的投影向量是2b，則a與b夾角的余弦值為()A.23 B.26 C.2答案C解析由向量a在向量b上的投影向量為2b，得a·b|b|·又因?yàn)閨a|＝2|b|，所以cos〈a，b〉＝225.(2024·呼倫貝爾模擬)在△ABC中，AB⊥AC，CD＝(2－1)BC，AC·AD＝62，則AC等于()A.6 B.6 C.23 D.32答案A解析由AB⊥AC，得AB·AC＝0，由CD＝BD－BC＝(2－得BD＝由AC·AD＝AC·(AB＋BD)＝2AC·BC＝2AC＝2|AC|2所以|AC|＝6，即AC＝6.6.在△ABC中，設(shè)|AC|2－|AB|2＝2AM·(AC－AB)，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過△ABC的(A.垂心 B.內(nèi)心C.重心 D.外心答案D解析設(shè)線段BC的中點(diǎn)為D，則AB＋AC＝2因?yàn)閨AC|2－|AB|2＝2AM·(AC－AB所以(AC＋AB)·(AC－AB)＝2即2AD·BC＝2AM·BC，即BC·(AM－AD)＝當(dāng)AM＝AD時(shí)，點(diǎn)M和點(diǎn)當(dāng)AM≠AD時(shí)，BC·DM＝0，即DM⊥BC，所以DM垂直且平分線段BC，因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是BC的垂直平分線，必通過△ABC的外心.二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)7.下列關(guān)于向量a，b，c的運(yùn)算，一定成立的是()A.(a＋b)·c＝a·c＋b·cB.(a·b)·c＝a·(b·c)C.a·b≤|a||b|D.|a－b|≤|a|＋|b|答案ACD解析根據(jù)數(shù)量積的分配律可知A正確；B中，左邊為c的共線向量，右邊為a的共線向量，故B不正確；C中，根據(jù)數(shù)量積的定義可知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a||b|，故C正確；D中，|a－b|2－(|a|＋|b|)2＝－2a·b－2|a||b|≤0，故|a－b|2≤(|a|＋|b|)2，即|a－b|≤|a|＋|b|，故D正確.8.已知向量a＝(－2，1)，b＝(1，t)，則下列說法正確的是()A.若a∥b，則t的值為－2B.|a＋b|的最小值為1C.若|a＋b|＝|a－b|，則t的值為2D.若a與b的夾角為鈍角，則t的取值范圍是-∞，答案BCD解析選項(xiàng)A，a∥b?－2·t＝1·1?t＝－12，A選項(xiàng)B，|a＋b|＝|(－1，t＋1)|＝(t＋1)2＋1≥1選項(xiàng)C，方法一|a－b|＝|(－3，1－t)|＝(-t＋1)2＋9，根據(jù)方法二因?yàn)閨a＋b|＝|a－b|，則a·b＝0，所以a·b＝－2＋t＝0，解得t＝2，C選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，a與b的夾角為鈍角，則a·b＝t－2<0，且兩個(gè)向量不能反向共線，注意到A選項(xiàng)，當(dāng)t＝－12時(shí)，a＝－2b，于是t<2且t≠－12，D三、填空題(每小題5分，共10分)9.(2024·西安模擬)已知單位向量e1⊥e2，向量a＝λe1－2e2，b＝2e1＋e2，若a⊥b，則實(shí)數(shù)λ＝.答案1解析因?yàn)閍⊥b，所以a·b＝(λe1－2e2)·(2e1＋e2)＝2λe12＋(λ－4)e1·e2－2e22＝2λ－2＝010.(2025·汕頭模擬)已知△ABC外接圓的半徑為1，圓心為O，且滿足4OC＝－2OA－3OB，則cos∠AOB＝，AB·OA＝.答案14－解析由4OC＝－2OA－3OB兩邊平方得16OC2＝4OA2＋9OB2＋12OA依題意，16＝4＋9＋12cos∠AOB，所以cos∠AOB＝14AB·OA＝(OB－OA)·OA＝OB·OA－OA2＝cos四、解答題(共27分)11.(13分)如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，|AB|＝2|DC|＝2，∠BAD＝π3，E是BC邊的中點(diǎn)(1)試用AB，AD表示AE，BC；(6分)(2)求DB·AE的值.(7分)解(1)AC＝AE＝12(B