絕熱穩(wěn)定流動的基本方程VIP

第一節(jié)他技稔絲流勁得雙唾方程

一、絕熱穩(wěn)定流動

工程中氣體和蒸汽在管道內(nèi)得流動可以視為穩(wěn)定流動，為了簡化起見,可以認

為垂直于管道軸向得任一截面上得各種熱力參數(shù)、熱力學(xué)參數(shù)都相同，氣體參數(shù)

只沿管道軸向（氣流流動方向）發(fā)生變化，稱為一維穩(wěn)定流動。此外，氣體在噴管或擴

壓管內(nèi)得流動時間較短，與外界幾乎沒有熱量交換，可以認為就就是絕熱流動6因

此,氣體在噴管或擴壓管內(nèi)得流動為一維絕熱穩(wěn)定流動。

二、絕熱穩(wěn)定流動基本方程

研究氣體和蒸汽得一維穩(wěn)定流動主要有三個基本方程。即連續(xù)性方程、絕熱

穩(wěn)定流動能量方程和定嫡過程方程。

L連續(xù)性方程

在一維穩(wěn)定流動得流道中,去截面1一1、2—2、根據(jù)質(zhì)量守恒定律,

可導(dǎo)出一個基本關(guān)系式。在穩(wěn)定流動通道內(nèi)任一固定點上得參數(shù)不隨時間得改變

而改變，各截面處質(zhì)量流量都相等。即

以=/==為=定值

v

(7—1)

式中各截面處得質(zhì)量流量,kg/s;

A,A2,A------各截面處得截面積，〃/;

C/1,C/2,…,C/----各截面處得氣體流速,m/s;

巳,。2,…。---各截面處得氣體比體積,"F/s；

對于微元穩(wěn)定流動過程，對上式微分可得

dcdAdu八

—^f-+---------=0

cfAv

式（7-1）、式（7—2）為穩(wěn)定流動連續(xù)性方程。她適用于任何工質(zhì)得可逆與不可

逆得穩(wěn)定流動過程。

2,絕熱穩(wěn)定流動能量方程

由能量守恒定律可知，氣體和蒸汽得穩(wěn)定流動過程必須符合穩(wěn)定流動能量方

1,,

程，即q=（4一〃1）+萬（吁2-C，l）+g（Z2-Z1）+嗎

氣體和蒸汽在管道內(nèi)流動時,一般情況下，由Z［乏Z2,wsX。，絕熱流動時，夕=0,

因此上式可簡化為g（c；2—cj）=%—%2（7-3）

對于微元絕熱穩(wěn)定流動過程,可寫成

Cjdcf=-dh（7

-4）

式（7-3）、式（7-4）為絕熱穩(wěn)定流動能量方程。說明氣體和蒸汽在絕熱穩(wěn)定

流動過程中，其動能得增加等于蛤得減少。她適用于任何工質(zhì)得可逆與不可逆絕

熱穩(wěn)定流動過程。

3、定嫡過程方程

氣體在管道內(nèi)進行得絕熱流動過程，若就就是可逆得,就就就是定嫡過程。

氣體得狀態(tài)參數(shù)變化符合理想氣體定嫡過程方程式，即

pvk=定值（7-5）

對于微元可逆絕熱流動過程，可寫成

蟲+女女=。（7-6）

PD

式（7-5）,式（7-6）只適用用于比熱容為定值（即k為定值）彳導(dǎo)理想氣體得可逆絕

熱流動過程。對于蒸汽在定嫡過程中狀態(tài)參數(shù)得變化，可通過蒸汽得圖表查得。

三、聲速和馬赫致

在氣體高速流動得分析中，聲速和馬赫數(shù)就就是十分重要得兩個參數(shù)。

聲速就就是微弱擾動產(chǎn)生得壓力波在連續(xù)介質(zhì)中傳播得速度,用符號c表

示。壓力波在氣體和蒸汽中得傳播過程可視為就就是定燧過程，因此氣體或蒸汽

得聲速計算公式為<=傅[=]—/（*）,

對于理想氣體得定嫡過程有c=歷U=阿?。?-7）

顯然,聲速不就就是一個常數(shù),她取決于氣體得性質(zhì)及所處得狀態(tài)。所以聲速

通常就就是指某一狀態(tài)（即某一截面）下得聲速，稱為當?shù)芈曀?。；例如，在O.IMPa

下0c得空氣中得聲速為331m/s;20℃得空氣中得聲速為343m/s。

在討論氣體和蒸汽流動特性時，流體將流動速度C,和當?shù)芈曀貱彳導(dǎo)比值，稱為

馬赫數(shù)，用符號表示，即M?(7-8)

馬赫數(shù)Ma就就是一個重要得無因次數(shù)，用于氣體和蒸汽流動特性得研究之

中。根據(jù)馬赫數(shù)得大小可將氣體和蒸汽得流動分為:Ma<1,即cyvc,稱為亞聲速；

Ma-1,即cf=c,稱為聲速;Ma>l,即cf>0,稱為超聲速。

第二節(jié)氣體和蒸汽在噴管和擴壓管中得定嫡流動

一、流速變化與壓力變化得關(guān)系

對于定嫡流動過程，由式(2-33)可得

dh=vclp

代入式(7-4)可得

cfdcf=-uclp

(7-9)

上式表明，定嫡流動中，如果氣體流速增大(A,>()),則氣體得壓力必降低

(即<0);如果氣體流速減小(de,<()),則氣體得壓力必增高(即>0)o這就就就是噴

管和擴亞管得流動特征。也就就就是說，噴管得目得就就是使氣體和蒸汽降壓增

速;而擴壓管得目得就就是增壓減速。為了更好地實現(xiàn)這一目得，還需要有管道截

面變化來配合。

二、噴管截面變化得規(guī)律

利用上述絕熱穩(wěn)定流動得三個基本方程及聲速與馬赫數(shù)得關(guān)系式經(jīng)整理可

dA、de

得—=(M?2-1)^^f(7-10)

Acf

該式稱為管內(nèi)流動得特征方程,她說明了管內(nèi)流動就就是速度變化所需得幾

何條件。

對于噴管,氣流速度就就是增大(4>>0)得，當進入噴管得氣體就就是

亞聲速流動時,<0,噴管得截面應(yīng)收縮，稱為漸縮噴管。當Ma>1,超聲速流動

時,44>0,噴管得截面應(yīng)擴張，稱為漸擴噴管。若要使進入噴管得氣體由亞聲速連

續(xù)增至超聲速流動時，噴管得截面要做成漸縮漸擴式，稱為漸縮漸擴噴管(縮放形

噴管)，或稱為拉伐爾噴管。

對于擴壓管，氣流運度就就是減小得(de,<()),當,即超聲速流動

時,dA<0,擴壓管得截面應(yīng)收縮，稱為漸縮擴壓管。當,即亞聲速流動時,

截面應(yīng)就就是漸擴形，稱為漸擴擴壓管。如果氣流由超聲速連續(xù)降至亞聲速時，則

截面要先縮小再擴大，稱為漸縮漸擴擴壓管。噴管和擴壓管得種類見表7-1o

第三節(jié)噴管中流速及流量得計算

一、噴管出口流速得計算

根據(jù)絕熱穩(wěn)定流動能量方程式(7-3)可求得噴管出口截面處氣流得流速為

cf2=/2(%-%)+c；i(mis)(7-11)

式中C"——噴管進口截面上得氣體流速，，山s；

九，h2——噴管進出口截面上氣流得比蛤值,J/總

一般情況下噴管進口氣體流速?與出口氣體流速J?相比小得多，可以忽略

不計。所以氣體出口流速可用進出口熔值九,刈近似表達為

C"=』2(%一4)(7-12)

式（7-11）、（7—12）就就是直接根據(jù)能量方程導(dǎo)出得，因此適用于任何工質(zhì)得可

逆與不可逆過程。

對于蒸汽流過噴管，可利用蒸汽圖表查得給值",生，代入（7-12）便可求出

kR

出口流速。如果就就是理想氣體，取定比熱容時,4-九=g-北），％=不上代入

一k-\

上式,可求得出口流速計算公式為

Cj.2=，2g—4)=J2cp/)

(7-13)

由上式可知,出口氣體流速C/2大小決定于氣體等嫡指數(shù)匕進口參數(shù)Pi、Q和

噴管進口、出口氣體得壓力比〃2/Pl。出口氣體流速C/2與噴管截面積4大小無

關(guān)，出口截面積4大小僅決定噴管得質(zhì)量流量/。

【例7-1］干飽和水蒸氣在噴管中流動時,噴管進口壓力Pl=（）.5M網(wǎng)。絕對

膨脹至P2=0.4MP%水蒸氣得質(zhì)量流量%=0.56依/s,試求漸縮噴管出口處水蒸

氣流速及出口截面積。

解:由水蒸氣〃-5圖表查得噴管進、出口處水蒸氣參數(shù)值為

3

九=2745。/奴也=2705-g,u2=OA5m/kg

由式（7-12）求得噴管出口處水蒸氣流速為

C/2=,2（%—色）=72x（2745-2705）xlO3=283（，〃/s）

由連續(xù)性方程可得出口截面積為

4=^1.=。56X0.45=8.83XIO。）=8.83（0〃/）

cf2283

二、臨界壓力比與臨界流速

1、臨界壓力比與臨界流速得計算

由前面得分析可知在漸縮漸擴噴管得喉部（最小截面處）,Ma=l,該截面稱為

臨界截面，該截面處得壓力為臨界壓力pc，流速為臨界流速％.（等于當她聲速）。臨

界壓力Pc與進口壓力Pi比值PJ8,稱為臨界壓力比。由式（7-7）和式（7-13）可得

臨界流速

—『，療］

%PMJ2=料匕

（7-14）

根據(jù)定嫡過程方程PU=P,"，由上式可求得臨界壓力比為

久=&=（貴『（7-15）

上式表明臨界壓力比僅取決于氣體得等燧指數(shù)匕這樣可根據(jù)出求得《值，從

而臨界壓力Pc=4Plo

式(7-15)所確定得臨界壓力比就就是從理想氣體定炳過程中推導(dǎo)出來得，因

此適用于定比熱容得理想氣體定場流動過程。水蒸氣一般不符合理想氣體定嫡過

程方程式，并且在水蒸氣得定嫡流動過程中，可能從過熱蒸汽變?yōu)轱柡驼羝蚓途?/p>

是濕蒸汽，這些都使得水蒸氣得定嫡流動過程比較復(fù)雜。為使為題簡化，假定水蒸

氣也符合〃〃=定值得關(guān)系式，但此時,Zw魚，而就就是一個純經(jīng)驗值。這樣可將

?

經(jīng)臉值Z代入式(7-15)從而求得水蒸氣得臨界壓力比q值。

水蒸汽得經(jīng)驗值k和理想氣體得等嫡指數(shù)左，以及將她們代入式(7-15)而計

算出得〃值，均列于表7-2中。臨界壓力比就就是一個很重要得參數(shù)，根據(jù)她才能

計算出在一定進口條件下,氣體壓力下降到多少時流速恰好等于當?shù)芈曀?達到臨

界狀態(tài)。由表7-2中得數(shù)值可看出各類工質(zhì)得％大約為0、5左右,這說明當工質(zhì)

壓力大約降到噴管進口壓力得一半時,就會出現(xiàn)臨界狀態(tài)。另外還要指出，水蒸氣

在定炳流動過程中，可能從過熱蒸汽變?yōu)轱柡驼羝驖裾羝?，而這三種不同得蒸汽

狀態(tài)有不同得k值和與值。在工程上一般規(guī)定以水蒸氣得進口狀態(tài)為準,選看相

應(yīng)得攵值和￡,值。

將式(7-15)代入到式(7-14)中可得理想氣體臨界流速計算公式為

卜占上4工°T6)

上式就就是從理想氣體性質(zhì)推導(dǎo)出來得,故只適用與理想氣體等嫡流動中臨

界流速得計算。顯然該臨界流速也就就是漸縮噴管中所能達到得最大出口流速。

若用臨界蛤力代替式(7-12)中得出口蛤生,則臨界流速也可由下式計算

c"2(….)(7-17)

式。-17)適用于任何工質(zhì)得可逆和不可逆絕熱穩(wěn)定流動過程。

水蒸氣得臨界流速計算，可根據(jù)表7-2中所列得臨界壓力比與值,求出相應(yīng)得

臨界壓力P,="p…這樣在〃-s圖上p,等壓線與通過進口狀態(tài)點1得定靖愛得

相交點，即為臨界狀態(tài)點。從而可查出其余臨界參數(shù)力等。最后由式(7-17)求出其

臨界流速。

2,根據(jù)臨界壓力確定噴管形狀

如前所訴，對于漸縮噴管，工質(zhì)在其中降壓增速時，出口流速最大只能達到臨界

流速喙.，出口壓力最低只能降到臨界壓力/小因此,當噴管出口外界壓力(簡稱背

壓)P/)大于臨界壓力Pc(Pb＞以)時,噴管出口截面處得壓力P2=以，出口流速小于

當?shù)芈曀?。隨著背壓ph降低，當Ph=Pc時,〃2=Pb=〃＜.，出口速度可達到

Ma=1。若背壓，繼續(xù)降低,當〃分＜時，噴管出口截面處得壓力仍等于臨界壓力

而不等于背壓，即〃2二九，出口流速仍為聲速，由于臨界壓力Pc降到背壓P,,得膨脹

在噴管外面完成,這種現(xiàn)象稱為膨脹不足。

對于縮放噴管，由于有漸擴部分保證了氣流在達到臨界流速后得繼續(xù)膨脹，因

此可以獲得超聲速氣流。

充分利用噴管進口壓力8和出口外得背壓外之間得壓差來降壓增速，在選擇

噴管時，可以根據(jù)噴管出口外得背壓與噴管進口工質(zhì)初壓之比值%/8和臨界壓

力比〃相比較,從而決定選用哪一種形式得噴管。

當％/Pi之久即"，之Pc時，應(yīng)選漸縮形噴管;當pb!PiV￡c，即Pb〈兒時，應(yīng)選

縮放形噴管。

三、噴管流量得計算

縮放噴管與漸縮漸擴噴管得質(zhì)量流量都就就是受最小截面積所控制，所以

漸縮噴管按出口截面積A,計算質(zhì)量流量，漸縮漸擴噴管按喉部截面積4用計算質(zhì)

量流量。

L漸縮噴管質(zhì)量流量得計算

由式(7—1)可知噴管質(zhì)量流量為％=上金(kg/s)

v2

對水蒸氣等實際氣體通過噴管得質(zhì)量流量可安蛤差計算，即

q,“==—J2(h|/2)(kg/s)(7-18)

u2u2

式中4----噴管出口截面積，M

cf2----噴管出口截面上氣體得流速川/5

4——噴管出口截面上氣體得比體積e3/kg

九，魚——噴管進出口截面上氣體得比蛤值,〃必。

對于理想氣體定嫡流動過程，質(zhì)量流量為

AC

q,n=-2f2—4o火1-一P，卜

u2u2Vk-i(p"

「2k+\'

=42士且閨L閨丁

[J叩pjIPJ

(7-19)

由上式可知，當4及〃],U1一定時，質(zhì)量流量心取決噴管進口、出口壓力比

上。質(zhì)量流量隨壓力北隹得變化關(guān)系如圖7-1所示。

PiPi

需要指出得就就是,式(7-19)中得〃2就就是噴管出口截面處得壓力，只有左背

壓Pb>Pc時,“2才等于外；當背壓PhWPc時，則Pl=Pc而保持不變。所以實際得氣

體質(zhì)量流量心隨壓力比莊得變化如圖(7—1)中得a-b-c所示。

Pi

當背壓Pb>Pc時，則Pl=Pbo若〃2=Pl，在進口氣流速度Cj=0時，質(zhì)量流量

%=0,說明當噴管進出口壓力相等時，氣體不會流動,對應(yīng)圖(7—1)中a點。隨背

壓P1,降低,P1相應(yīng)降低，并始終保持P2=Ph，直至P?=Pc0當“2=Pc時，此時出口

壓力P，與進口壓力P1之比,就就就是臨界壓力比〃=&二上,仇，達到最大值

PTPT

%.max(圖'I中點b),這一變化過程如曲線a-b所示。若背壓力繼續(xù)降低(/%<凡)，

則不再降低而保持不變，即P2=0,所以質(zhì)量流量心也保持不變，如圖7-1t0

-C所示。

將式(7-15)代入式(7-19)可求得漸縮噴管得最大流量%5皿即臨界流量

式(7-20)適用于理想氣體定炳流動過程。

也可應(yīng)用臨界流速C*和而連續(xù)性方程計算臨界流量/“.max

小=/(7-21)

4

式(7—21)適用于任何工質(zhì)任何過程。

2、漸縮漸擴噴管質(zhì)量流量得計算

漸縮漸擴噴管喉部(最小截面積4訪)處所對應(yīng)得參數(shù)為臨界值，所以無論噴

管出口壓力比臨界壓力低多少,只要進口氣體參數(shù)與臨界參數(shù)不變,質(zhì)量流量保持

%,max。所以漸縮漸擴噴管得質(zhì)量流量可按喉部截面積4加計算，即

“"ax=Amn:備自"AC-22)

和—Q23)

對于實際水蒸氣等實際氣體可用蛤差計算

小=幺生=媼-(…)(7

-24)

【例7-2］有壓力〃1=1.6〃&,溫度乙=物)℃得水蒸氣,經(jīng)噴管射入壓力為

0,=O.1M&得容積中，為保證水蒸氣在噴管中充分定嫡膨脹，

應(yīng)選擇何種形式得噴管？當水蒸氣質(zhì)量流量外,=4.5左g/s時，求該噴管出

口處水蒸氣得流速及噴管得主要截面積。

解:根據(jù)Pi=1.6M&、r,=400℃查附表5知水蒸氣處于過熱蒸汽狀態(tài),

查表7—2得分=0.546。故

p.-&P]=0.546xl.6=0.874(MPa)

由于A,<P「,根據(jù)選擇噴管得原則，應(yīng)選縮放形噴管。

由于噴管進口參數(shù)Pi=1.6M&、4=4(X)℃，臨界參數(shù)憶=0.874MAj及出口

參數(shù)〃2=OAMPa，查水蒸氣〃-s圖可得下列數(shù)值

3

九=3256H/^,h,=3272kJ/kg,v(.=O.3m/kg,

4=2640kJ/kg,u2=1.68/77'/kg

縮放噴管得臨界流速為

c%=J2(1一4.)=72x(3256-3072)x10'=606.6(m/s)

喉部截面積為

2

A”.=也=45X03=O.(X)22(/n)

mn

cfe606.6

出口流速為

3

cf2=J2g-.)=72x(3256-2640)xlO=1110(m/s)

出口截面為

如=^^=02

cf21110

四、噴管內(nèi)有摩阻得絕熱流動

前面對工質(zhì)在噴管內(nèi)絕熱流動得討論均認為就就是可逆絕熱流動，即圖7-2

所示得定靖過程1—2。而工質(zhì)在實際流動過程中存在內(nèi)部摩擦以及工質(zhì)與管壁

得摩擦，這樣使一部分動能重新轉(zhuǎn)化為熱能而被工質(zhì)吸收，所以實際得噴管內(nèi)流動

就就是過程就就是不可逆絕熱過程，工質(zhì)得病就就是增大得，其過程在〃-s圖上

不就就是定嫡線而就就是一條增嫡線。如圖7-2中虛線所示得,1-2'過程即為管

內(nèi)工質(zhì)經(jīng)歷得實際絕熱流動過程線。

由圖7-2可知，有摩擦得絕熱流動過程與可逆絕熱流動過程相比，工質(zhì)雖然經(jīng)

歷了相同得壓力降（Pi-必）,但蛤降減小［（九-%）＜（%一為）］,根據(jù)能量方程式（7-3）

可知，必然使噴管出口將動能減小，即工質(zhì)得實際出口流速Co,小于可逆絕熱流動

時得出口流速C號。

工程上常用速度系數(shù)?；蚰芰繐p失系數(shù)J來表示氣流出口速度得下降和動

能得減少，即9=匕土

(7-25)

Cf2

匕損失動能2^2~2^2,1，

理想動能123(7-26)

2"

速度系數(shù)通常由實驗確定,其大小與氣體性質(zhì)、噴管形式、噴管尺寸、壁

面粗糙度等因素有關(guān)，其數(shù)值一般在0.92~0.98之間。工程上常按可逆絕熱過程先

求出cf2，再根據(jù)經(jīng)驗估算。值而求得cf2.，即

cf2.=%2=%/2（1--）

第g節(jié)絕熱節(jié)流

流體在管道內(nèi)流動時，當流經(jīng)閥門、孔板等截面突然縮小得設(shè)備時，由于截面

突變,流體局部受阻，使流體得壓力明顯降低得現(xiàn)象，稱為節(jié)流。如果節(jié)流時,流體與

外界沒有熱量交換，就稱為絕熱節(jié)流，也簡稱為節(jié)流。

絕熱節(jié)流就就是典型得不可逆過程。因為流體在縮孔處產(chǎn)生了強烈得

摩擦與擾動，造成流體壓力得降低,使其做功能力減小。但在距縮孔一定得距離得

地方，如圖7-3中截面1-1和2—2,流體仍處于平衡狀態(tài)，應(yīng)用穩(wěn)定流動能量方

程可得