2025年新高二數(shù)學（人教A版暑假銜接）新課預(yù)習-1.4.1 用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系（學生版）-新高二暑假銜接VIP

1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系【劃重點】1．理解直線的方向向量與平面的法向量，會求一個平面的法向量．2．熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的平行關(guān)系．3．熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的垂直關(guān)系．【知識梳理】知識點一空間中直線、平面的向量表示1．直線的方向向量在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．2．平面的法向量如圖，若直線l⊥α，取直線l的方向向量a，我們稱a為平面α的法向量；過點A且以a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P|a·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0}．知識點二線線、線面、面面平行的向量表示1．設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2.2．設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u⊥n?u·n＝0.3．設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2.知識點三線線、線面、面面垂直的向量表示1．設(shè)u1，u2分別是直線l1,l2的方向向量，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.2．設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.3．設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.【例題詳解】一、直線的方向向量例1(1)若點，在直線l上，則直線l的一個方向向量為（

）A． B． C． D．(2)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，求直線PC的一個方向向量．跟蹤訓練1(1)設(shè)l1的方向向量為=（1，2，﹣2），l2的方向向量為=（﹣2，3，m），若l1⊥l2，則m等于（

）A．1 B．2 C． D．3(2)在如圖所示的坐標系中，ABCD－A1B1C1D1為正方體，棱長為1，則直線DD1的一個方向向量為________，直線BC1的一個方向向量為________．二、求平面的法向量例2如圖在長方體中，，，，M是的中點．以D為原點，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．(1)求平面的法向量；(2)求平面的法向量．跟蹤訓練2已知四棱錐S﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD，試建立空間直角坐標系，求平面SAB，平面SDC的一個法向量．三、證明線線平行例3在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，點M在棱BB1上，且BM＝2MB1，點S在DD1上，且SD1＝2SD，點N，R分別為A1D1，BC的中點．求證：MN∥RS.跟蹤訓練3如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1和BB1的中點．求證：四邊形AEC1F是平行四邊形．四、證明線面平行例4如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是面，面的中心．求證：平面．跟蹤訓練4如圖，在長方體中，底面是邊長為2的正方形，，E，F(xiàn)分別是的中點．求證：平面．五、證明面面平行例5如圖，長方體中，，，(1)求證：平面平面;(2)線段上，是否存在點，使得平面.跟蹤訓練5如圖，已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是AD1，BD，B1C的中點，利用向量法證明：（1）MN∥平面CC1D1D；（2）平面MNP∥平面CC1D1D．六、證明線線垂直問題例6如圖，在直四棱柱中，，，，．求證：；跟蹤訓練6如圖，在直三棱柱-中，3，=4，5，(1)求證；(2)在上是否存在點，使得并說明理由七、證明線面垂直問題例7如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E為PC的中點，EF⊥BP于點F.求證：PB⊥平面EFD.跟蹤訓練7在正四棱柱中，，為的中點.求證：（1）平面.（2）平面.八、證明面面垂直問題例8如圖，在直三棱柱中，為的中點．(1)證明：平面；(2)證明：平面平面．跟蹤訓練8如圖，在正四棱錐P－ABCD中，側(cè)棱長為，底面邊長為2．點E，F(xiàn)分別CD，BC中點．求證：(1)PA⊥EF；(2)平面PAB⊥平面PCD．【課堂鞏固】1．有以下命題：①一個平面的單位法向量是唯一的②一條直線的方向向量和一個平面的法向量平行，則這條直線和這個平面平行③若兩個平面的法向量不平行，則這兩個平面相交④若一條直線的方向向量垂直于一個平面內(nèi)兩條直線的方向向量，則直線和平面垂直其中真命題的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．已知平面的法向量，平面的法向量，若，則（

）A． B． C．2 D．43．若直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則可能使的是（

）A． B．C． D．4．已知平面平面，＝（1，－1，1）為平面的一個法向量，則下列向量是平面的一個法向量的是（

）A． B．C． D．5．（多選）在菱形中，若是平面的法向量，則以下結(jié)論一定成立的是（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面6．（多選）已知為兩個不重合的平面，l為上的一條直線，且其方向向量為，若，則平面的法向量可能為（

）A． B． C． D．7．（多選）若平面，平面的法向量為，則平面的一個法向量可以是（

）A． B． C． D．8．放置于空間直角坐標系中的棱長為2的正四面體ABCD中，H是底面中心，平面ABC，寫出：（1）直線BC的一個方向向量___________；（2）點OD的一個方向向量___________；（3）平面BHD的一個法向量___________；（4）的重心坐標___________.9．已知平面的一個法向量為，直線的一個方向向量為，且平面，則______.10．設(shè)直線的一個方向向量，平面的一個法向量，則直線與平面的位置關(guān)系為______.11．已知直線的一個方向向量，平面α的一個法向量，若，則______．12．已知為直線l的方向向量，為平面的法向量，且，判斷直線l與平面的位置關(guān)系是平行還是垂直．(1)，；(2)，．13．如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE，設(shè)PA＝1，AD＝2．求平面BPC的法向量．14．如圖，在棱長為的正方體中，，分別是棱，上的動點，且，其中，以為原點建立空間直角坐標系.(1)寫出點，的坐標；(2)求證：.15．如圖，且，，且，且，平面ABCD，.若M為CF的中點，N為EG的中點，求證：平面CDE．16．如圖，正方體中，、分別為、的中點．(1)用向量法證明平面平面；(2)用向量法證明平面．【課時作業(yè)】1．已知，則平面ABC的一個單位法向量是（

）A． B．C． D．2．已知向量，分別為直線方向向量和平面的法向量，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．23．已知平面過點，它的一個法向量為，則下列哪個點不在平面內(nèi)（

）A．B．C．D．4．設(shè)平面的法向量的坐標為，平面的法向量的坐標為.若，則等于（）A．4 B．-4 C．2 D．-25．設(shè)為直線的一個方向向量，為平面的一個法向量，則“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件6．已知平面外的直線的方向向量是，平面的法向量是，則與的位置關(guān)系是（

）A． B． C．與相交但不垂直 D．或7．（多選）在如圖所示的空間直角坐標系中，是棱長為1的正方體，給出下列結(jié)論中，正確的是（

）A．直線的一個方向向量為B．直線的一個方向向量為C．平面的一個法向量為D．平面的一個法向量為8．（多選）已知為直線l的方向向量,分別為平面,的法向量（,不重合）,那么下列說法中正確的有（

）．A． B．C． D．9．放置于空間直角坐標系中的棱長為2的正四面體ABCD中，H是底面中心，平面ABC，寫出：平面BHD的一個法向量___________；10．直線l的方向向量是，平面的法向量，若直線平面，則______．11．若平面、的法向量分別為，，則與的位置關(guān)系是________．12．已知平面的法向量分別為，，若，則的值為_______．13．已知，，．(1)寫出直線BC的一個方向向量；(2)設(shè)平面經(jīng)過點A，且是的法向量，是平面內(nèi)任意一點，試寫出x，y，z滿足的關(guān)系式．14．在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點，在如圖所示的空間直角坐標系中，求：(1)平面的一個法向量；(2)平面的一個法向量.15．已知長方體中，，，，點S、P在棱、上，且，，點R、Q分別為AB、的中點．求證：直線直線．16．如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點．試用向量的方法證明：(1)；(2)平面．17．如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，，E為PC上一點，且．(1)求證：平面PBC；(2)求證：平面BDE．18．如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E為棱PD的中點，（為常數(shù)，且）．若直線BF平面ACE，求實數(shù)的值．