山西省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期5月質(zhì)量檢測(cè) 數(shù)學(xué)試題（A）（含解析）VIP

20242025學(xué)年高三5月質(zhì)量檢測(cè)卷數(shù)學(xué)（A）考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚。3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效。4.本卷命題范圍：高考范圍。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為A.－1 B. C.1 D.i2.已知全集，集合，，則A. B. C. D.3.已知直線與，則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知向量，，則在上的投影向量為A. B. C. D.5.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則圖象的一條對(duì)稱軸為A. B. C. D.6.已知隨機(jī)事件，的概率滿足，，，則A.0.28 B.0.58 C.0.82 D.0.867.已知函數(shù)，其中，為常數(shù)，若函數(shù)的圖象如圖所示，則A.的圖象與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn) B.的圖象的對(duì)稱軸在軸左側(cè)C.關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增8.已知空間向量，，，向量，且，則的最小值為A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，是上一點(diǎn)，且，，則A. B.的離心率為C.的面積為 D.10.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，，且，則A. B. C.是奇函數(shù) D.11.18世紀(jì)東普魯士的哥尼斯堡城，有一條河穿過(guò)，河上有兩個(gè)小島，有七座橋把兩個(gè)島與河岸聯(lián)系起來(lái)（如圖）.有人提出一個(gè)問(wèn)題：一個(gè)步行者怎樣才能不重復(fù)、不遺漏地一次走完七座橋，最后回到出發(fā)點(diǎn).后來(lái)大數(shù)學(xué)家歐拉把它轉(zhuǎn)化成一個(gè)幾何問(wèn)題——一筆畫(huà)問(wèn)題.下列圖形不是一筆畫(huà)的是A. B. C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.13.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足，若，則周長(zhǎng)的取值范圍為_(kāi)_______.14.已知函數(shù)，，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)________.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15.（本小題滿分13分）某超市經(jīng)理為了解顧客對(duì)某商品甲、乙兩款的喜愛(ài)程度是否與性別有關(guān)，在街頭隨機(jī)抽取了100人做調(diào)查研究，其中喜歡甲與乙的人數(shù)各占一半，男性占總?cè)藬?shù)的60%，且女性中有75%的人喜歡甲.（1）補(bǔ)全列聯(lián)表：喜歡甲喜歡乙合計(jì)男性女性合計(jì)（2）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜歡哪款商品與性別有關(guān)聯(lián)？（3）該經(jīng)理針對(duì)女性客戶做了調(diào)查，在3·15活動(dòng)當(dāng)天，女性客戶中有老年人162人，中年人108人，青年人54人，按分層抽樣選出12人，又從這12人中隨機(jī)抽出3人作為幸運(yùn)顧客，這3人中的老年人人數(shù)設(shè)為隨機(jī)變量，請(qǐng)求出的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.0100.0050.0016.6357.87910.82816.（本小題滿分15分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）證明：是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.17.（本小題滿分15分）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求的最大值.18.（本小題滿分17分）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，圓與的準(zhǔn)線相切.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知是上的一點(diǎn)，是軸上的一點(diǎn)，若的最小值為4，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）過(guò)點(diǎn)作直線與交于，兩點(diǎn)，且在，兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，證明：.19.（本小題滿分17分）如圖，圓錐的母線長(zhǎng)為3，側(cè)面積為，為底面半圓弧上一點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)滿足.（1）試判斷是否存在點(diǎn)，使得平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值；（3）在圓錐的內(nèi)部（含表面上的點(diǎn)）作一個(gè)圓柱，且圓柱的其中一個(gè)底面在圓錐的底面上，記圓錐的體積為，圓柱的體積為，當(dāng)圓柱的體積最大時(shí)，求的值.

2024~2025學(xué)年高三5月質(zhì)量檢測(cè)卷·數(shù)學(xué)（A）參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1.A復(fù)數(shù)，其虛部為－1.故選A.2.D由題知，全集，因?yàn)椋?，所以，所?故選D.3.A由，則，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件.故選A.4.C在上的投影向量為.故選C.5.D函數(shù)，所以，令，，得，，結(jié)合選項(xiàng)可知D正確.故選D.6.C因?yàn)?，所以?由乘法公式得，所以.故選C.7.D由題知，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象特征知，又，所以，，其圖象是開(kāi)口向上的拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且在上單調(diào)遞增，所以，的圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn)，又的圖象與軸有唯一交點(diǎn)，所以的圖象與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；關(guān)于的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)，等于直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由A選項(xiàng)可知，直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，故C錯(cuò)誤；的圖象的對(duì)稱軸是直線，其在軸右側(cè)，故B錯(cuò)誤；在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.故選D.8.B設(shè)，，因?yàn)?，所以，則，所以，，，四點(diǎn)共面，當(dāng)平面時(shí)，有最小值.易求得平面的一個(gè)法向量，所以到平面的距離.故選B.9.ACD因?yàn)椋獾?，故A正確；雙曲線，所以，的離心率，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，的面積為，故C正確；所以，所以，故D正確.故選ACD.10.ABC因?yàn)?，所以，所以，，，…，，故A正確；令，得，所以，故B正確；由選項(xiàng)A分析知，，所以是奇函數(shù)，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選ABC.11.BCD一筆畫(huà)圖形必須滿足兩個(gè)條件：（1）連通圖；（2）圖形中奇點(diǎn)個(gè)數(shù)為0或2（奇點(diǎn)，指引出奇數(shù)條線的點(diǎn)）.選項(xiàng)A，B，C，D中四個(gè)圖形依次的奇點(diǎn)數(shù)，分別為0，4，4，1，故只有選項(xiàng)A中圖形為一筆畫(huà).故選BCD.12.因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，則，解得或.13.因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理可得，所以，整理可得，所以，因?yàn)椋?由正弦定理得，所以，，所以的周長(zhǎng)為，因?yàn)椋瑒t，所以，所以，即周長(zhǎng)的取值范圍為.14.令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，又由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)不等式等號(hào)同時(shí)成立時(shí)，即等號(hào)成立，得.15.解：（1）補(bǔ)全列聯(lián)表如下.喜歡甲喜歡乙合計(jì)男性204060女性301040合計(jì)5050100 …………3分（2）零假設(shè)：喜歡哪款商品與性別無(wú)關(guān)聯(lián)，則， …………6分依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即能認(rèn)為喜歡哪款商品與性別有關(guān)聯(lián). …………7分（3）由題意，，所以12人中有老年人6人，中年人4人，青年人2人， …………8分則的所有可能取值為0，1，2，3，9分，，，，則分布列為：0123 …………11分. …………13分16.（1）證明：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，解得； …………1分當(dāng)時(shí)，， …………2分所以，即，所以， …………4分又，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列. …………6分（2）解：由（1）知，， …………8分所以， …………9分則，①，②①－②有， …………13分所以. …………15分17.解：（1），，由題知有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根. …………2分令，則，由，解得，在上單調(diào)遞增；由，解得，在上單調(diào)遞減；所以在處取得極大值，且，當(dāng)時(shí)，，所以，即的取值范圍是. …………6分（2）由（1）知的兩個(gè)根分別是，，且. …………7分令，則，由可得 …………9分所以，. …………10分令，則，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，則. …………12分所以，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，即，13分所以，即，所以的最大值為. …………15分18.（1）解：由題意，設(shè)的方程為，準(zhǔn)線為， …………1分因?yàn)閳A與的準(zhǔn)線相切，且圓心為，半徑為， …………2分所以，解得， …………3分所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為. …………4分（2）解：設(shè)，，，， …………6分當(dāng)，即時(shí)，，解得或（舍去）； …………7分當(dāng)，即時(shí)，，解得， …………9分所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或. …………10分（3）證明：根據(jù)題意，直線的斜率存在，，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立消去并整理得， …………11分所以，，， …………12分對(duì)求導(dǎo)，得，由解得所以. …………14分因?yàn)?，?…………15分所以， …………16分又，所以. …………17分19.解：（1）取的中點(diǎn)，則， …………1分當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，又，，所以平面平面， …………3分因?yàn)槠矫?，所以平? …………4分（2）設(shè)圓的半徑為，因?yàn)閳A錐的母線長(zhǎng)為3，側(cè)面積為，所以，解得， …………5分在中，， …………6分以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，， …………7分設(shè)平面的法向量為，則令，則，，所以， …………8分設(shè)平面的法向量為，則令，