安徽省蚌埠市2025屆高三下學期適應性考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1安徽省蚌埠市2025屆高三下學期適應性考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，集合，則（）A. B.{2} C.{3} D.{2，3}【答案】D【解析】由補集的定義可知，.故選：D2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為，所以或，則可以推出，但不能推出．故“”是“”的充分不必要條件，故選：A．3.已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)，則z的共軛復數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以z的共軛復數(shù)為.故選：B.4.已知三棱錐的體積為1，是邊長為2的正三角形，且，則直線PA與平面ABC所成角的正弦值為（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】是邊長為2的正三角形，其面積為：因為三棱錐的體積為1和底面積，得：解得：設直線與平面所成角為，所以故選：C5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，又因為，所以，所以.故選：A.6.已知數(shù)列的前n項和為，且，則（）A.數(shù)列是等比數(shù)列 B. C. D.數(shù)列是等比數(shù)列【答案】B【解析】對于A，由，可得，兩式相減得，所以，所以，所以，當時，，又，所以，所以，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故A錯誤；對于B，由A可知，數(shù)列去掉第一項，可構(gòu)成以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，故B正確；對于C，由A可得，所以，所以，故C錯誤；對于D，由C可得，所以，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故D錯誤.故選：B.7.在四邊形ABCD中，，，，則該四邊形的面積為（）A.4 B. C. D.【答案】C【解析】由，，可得，所以，所以，又，所以，所以，，所以.故選：C.8.已知拋物線（）的焦點為F，經(jīng)過點F的直線l與拋物線相交于點P，Q（點P在第一象限），若，則直線l的斜率為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】設是準線，過作于，過作于，過作于，如圖，則，又，所以，所以，所以，所以直線斜率為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.進入3月份后，受冷暖空氣的共同影響，我市氣溫起伏較大．現(xiàn)記錄了3月上旬（1日-10日）我市的日最高氣溫如下（單位：℃）：24，23，3，4，7，12，12，16，15，19，則下列說法正確的是（）A.3月上旬我市日最高氣溫的極差為20℃ B.3月上旬我市日最高氣溫的平均數(shù)為13.5℃C.3日-10日我市日最高氣溫持續(xù)上升 D.3月上旬我市日最高氣溫的60％分位數(shù)為15.5℃【答案】BD【解析】對于A，3月上旬我市日最高氣溫的極差為℃，故A錯誤；對于B，3月上旬我市日最高氣溫的平均數(shù)為℃，故B正確；對于C，3日-10日我市日最高氣溫不是持續(xù)上升，8日到9日氣溫是下降的，故C錯誤；對于D，氣溫由低到高排列為3，4，7，12，12，15，16，19，23，24，又，故3月上旬我市日最高氣溫的60％分位數(shù)為℃，故D正確.故選：BD.10.已知雙曲線C：（）的一條漸近線方程為，點，分別是C的左、右焦點，點，分別是C的左、右頂點，過點的直線l與C相交于P，Q點，其中點P在第一象限內(nèi)，記直線的斜率為，直線的斜率為，則（）A.雙曲線C的焦距為 B. C. D.【答案】ABD【解析】A選項，雙曲線C：（）的漸近線方程為，又一條漸近線方程，故，解得，故，解得，故雙曲線C的焦距為，A正確；B選項，由A知，，由雙曲線定義得，B正確；C選項，，當直線l與軸垂直時，中，令時，，故，C錯誤；D選項，，設，則，即，，D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)其中a為實數(shù)，則下列說法正確的是（）A.當時，有最小值B.當時，在R上單調(diào)遞增C.，的圖象上都存在關于y軸對稱的兩個點D.當時，記，若有5個零點，則【答案】ACD【解析】對于A，當時，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，值域為，當時，，對稱軸為，最小值為，所以有最小值；對于B，當時，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，對稱軸為，函數(shù)單調(diào)遞增，其中，所以在R上不單調(diào)遞增，故B錯誤；對于C，設點關于軸對稱點為，需滿足，，，即，設，則.解法一：因為在的圖像是連續(xù)不斷的，當時，，所以，函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)總有零點，故C正確；解法二：設，當時，，當時，，所以當時，，所以對于任意的，函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有零點，故C正確；對于D，當時，，圖象如圖所示：解得，解得.的零點就是關于的方程（記作①）的實數(shù)解的個數(shù).令，，則方程①的解集為對于關于的方程（記作②）的每一個的值，所得到的關于的方程（記作③）的所有的不同的解的集合,換言之函數(shù)的零點的集合，根據(jù)題意.方程②的解是函數(shù)和的交點的橫坐標，可以參照的圖象與直線的交點的橫坐標估計個數(shù)和范圍；方程③的解是函數(shù)的圖象與直線的交點的橫坐標，其中是方程②的每一個解.方程③有解時，必有，方程②有解，必有，因此下面可以只考慮的情況和方程②中的非負實數(shù)解.（1）當時，方程②有一個非負實數(shù)解，方程③有且只有2解，故方程①只有2解，不合題意；（2）當時，②只有2個非負實數(shù)解且，對于方程③有三個解，對于方程③有兩個解，這5個解是直線和函數(shù)的圖象的5個不同交點的橫坐標，由圖可知顯然是不同的，所以這時方程①共五個解，即函數(shù)有且只有5個零點，符合題意；（3）當時，②只有1個非負實數(shù)解，此時方程③有兩個解，所以方程①有2解，即只有2個零點，不合題意；（4）當，方程②只有1個非負解且，此時③只有1個解，不合題意；（5）當時，方程②有兩個解，或，對于，方程③有1個解；對于，此時方程③有1個解，故方程①只有2個解，不合題意；（6）當，方程②只有一個解且，此時方程③只有1個解，故方程①只有1個解，不合題意.綜上所述，若有5個零點，則，故D正確，故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，，則的最小值為________．【答案】【解析】由題意得，當且僅當時，即時取等號.故答案為：.13.在中，，，點D在上且，則的取值范圍是________．【答案】【解析】由題意，以A為坐標原點，方向為軸建立平面直角坐標系，設，因為在中，，，則，又點D在上且，設，則，又，則，解得，所以，所以，因為，所以，則，所以的取值范圍是.故答案為：.14.已知函數(shù)（，），若，，且在區(qū)間上單調(diào)，則________．【答案】【解析】設函數(shù)的周期為，由，，結(jié)合正弦函數(shù)圖象的特征可知，，.故.又因為在區(qū)間上單調(diào)，所以，，故T>π3，所以7π由，得，即且，所以，當時，，，或，舍.當時，，，，符合條件.當時，，，或，舍.所以，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知橢圓C：（）的離心率為，點在橢圓C上．（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點Q（0，6）的直線（非y軸）交橢圓于A，B兩點，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點O，求直線AB的方程．解：（1）由，得，則，所以，將點代入橢圓方程得，解得，所以橢圓的標準方程為．（2）依題意直線AB斜率存在，設直線AB的方程為，并設點A，B的坐標分別為，．（方法一）聯(lián)立方程消去y得，依題意，，∴，且，，依題意，即，整理得，從而，∴，解得，，滿足．從而直線AB的方程為．（方法二）將即代入，得，整理得，，依題意，，∴，依題意，，解得，滿足，所以AB的方程為．16.已知函數(shù)，其中．（1）當時，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）若恒成立，求a的取值范圍．解：（1）當時，，則所以，又，則所求切線方程為．（2），其中，所以問題轉(zhuǎn)化為（）恒成立，記，則，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的最大值為，所以．17.如圖，在四棱錐中，平面，，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：因為，，所以是線段的中垂線，即，又平面，平面，則，由，，平面，所以平面．（2）解：設與相交于點，取的中點，連接．因為是線段的中垂線，所以是的中點，則，且．由平面，，平面，得，，所以，．由條件，可求得，，以，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，易得，，，，．設平面PAB的法向量為，，，由，取，則，，所以平面的一個法向量為．設平面PCD的法向量為，，，由，取，則，，所以平面的一個法向量為．．所以平面與平面夾角的余弦值為18.某市舉行中學生排球比賽，甲、乙兩所學校代表隊爭奪比賽的冠軍，比賽采用三局兩勝制．根據(jù)以往對戰(zhàn)的經(jīng)歷，甲、乙在一局比賽中獲勝的概率分別為0.6，0.4，且每局比賽的結(jié)果相互獨立．（1）求甲代表隊奪冠的概率；（2）比賽開始前，工作人員采購了5個新球作為比賽用球放在袋子中，新球一經(jīng)使用就變成“舊球”，“舊球”可繼續(xù)使用．每局比賽前，裁判員從袋中的5個球中隨機取出一個球用于比賽，且局中不換球．每局比賽結(jié)束后，將本局使用的球放回袋中，與袋中原有的球混合．記甲、乙兩校代表隊決出冠軍后，袋中新球數(shù)量為X，求隨機變量X的分布列與數(shù)學解：（1）記甲代表隊奪冠為事件A，甲代表隊以比分奪冠為事件，比分奪冠為事件，，，，所以甲代表隊奪冠的概率為0.648．（2）比賽2局結(jié)束的概率為，比賽3局結(jié)束的概率為，隨機變量X的可能取值為2，3，4，，，，故隨機變量X的分布列為X234P0.23040.64640.1232．19.已知有窮數(shù)列A：，，…，（，），設，記S中元素的個數(shù)為．（1）若數(shù)列A：0，2，4，12，求集合S，并寫出的值；（2）若A是單調(diào)數(shù)列，求證：“”的充要條件是“A為等差數(shù)列”；（3）若，，數(shù)列A由1，2，3，4，…，n，2n這個數(shù)組成，且這個數(shù)在數(shù)列A中至少出現(xiàn)一次，求的取值個數(shù)．（1）解：因為，，，，則的可能情況有：，，，，，，所以，．（2）證明：“充分性”：A為等差數(shù)列：，，，…，（）．則（），能取從1到的每個整數(shù)，故，因此．“必要性”：不妨設A為遞增數(shù)列：，，…，，作運算并比較如下：，共個互不相等的數(shù)，同理，共個互不相等的數(shù)．，共個互不相等的數(shù)．……，共個互不相等的數(shù)，由及A的有窮性，知．即A為等差數(shù)列．（3）解：因為數(shù)列A由1，2，3，4，…，n，2n這個數(shù)組成且項數(shù)為，所以數(shù)列A中必有相等的項，則任意兩項的差值可能為0，，，，…，，，，…，，其中，必有，對于，2，3，…，，t和至少有一個屬于S，所以．（方法一）當數(shù)列A為：1，2，3，4，…，，n，2n，n，，…，4，3，2，1時，，值最大，其值．②當數(shù)列A為：1，2，3，4，…，，2n，n，n，，…，4，3，2，1時，即在①中的數(shù)列第一個出現(xiàn)的n與2n對調(diào)，，此時；③把②中第一個出現(xiàn)的與2n對調(diào)，即A：1，2，3，4，…，，2n，，n，n，，…，4，3，2，1，，此時；以此類推，可得④當數(shù)列A為：2n，1，2，3，4，…，，，n，n，，…，4，3，2，1，即2n為首項，此時．⑤當④中最后一項1變成2，其余不變，A：2n，1，2，3，4，…，，，n，n，，…，4，3，2，2，此時值變?yōu)?；⑥當⑤中最后兩?都變成3，其余不變，A：2n，1，2，3，4，…，，，n，n，，