天津市東麗區(qū)民族中學(xué)2025年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題含解析

天津市東麗區(qū)民族中學(xué)2025年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．等差數(shù)列的前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和，若，則k=（）A．10 B．7 C．4 D．32．用0，1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．243B．252C．261D．2793．已知雙曲線的方程為，則下列說法正確的是（）A．焦點(diǎn)在軸上 B．漸近線方程為C．虛軸長為4 D．離心率為4．設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)且P(X<1)＝，P(X>2)＝p，則P(0<X<1)的值為()A．p B．1－p C．1－2p D．－p5．已知橢圓的短軸長為2，上頂點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且的面積為，點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．6．有位同學(xué)按照身高由低到高站成一列，現(xiàn)在需要在該隊(duì)列中插入另外位同學(xué)，但是不能改變?cè)瓉淼奈煌瑢W(xué)的順序，則所有排列的種數(shù)為（）A． B． C． D．7．設(shè)函數(shù)滿足：，，則時(shí)，（）A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既有極大值，又有極小值 D．既無極大值，又無極小值8．已知命題,；命題若，則，下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．9．2019年6月7日，是我國的傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”。這天，小明的媽媽煮了7個(gè)粽子，其中3個(gè)臘肉餡，4個(gè)豆沙餡。小明隨機(jī)抽取出兩個(gè)粽子，若已知小明取到的兩個(gè)粽子為同一種餡，則這兩個(gè)粽子都為臘肉餡的概率為（）A． B． C． D．10．對(duì)兩個(gè)變量x，y進(jìn)行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)：（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn），則下列說法中不正確的是A．由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程必過樣本點(diǎn)的中心B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好C．用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越小，說明模型的擬合效果越好D．兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1.11．將曲線按照伸縮變換后得到的曲線方程為（）A． B．C． D．12．雙曲線和有（）A．相同焦點(diǎn) B．相同漸近線 C．相同頂點(diǎn) D．相等的離心率二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，且的最小值為，則常數(shù)__________．14．下圖三角形數(shù)陣為楊輝三角：按照?qǐng)D中排列的規(guī)律，第行（）從左向右的第3個(gè)數(shù)為______（用含的多項(xiàng)式表示）．15．已知點(diǎn)在直線（為參數(shù)）上，點(diǎn)為曲線（為參數(shù)）上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為________________.16．已知函數(shù)滿足，且的導(dǎo)數(shù)，則不等式的解集為________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）求曲線的普通方程及直線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若曲線上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）某單位組織“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”知識(shí)競賽，選手從6道備選題中隨機(jī)抽取3道題.規(guī)定至少答對(duì)其中的2道題才能晉級(jí).甲選手只能答對(duì)其中的4道題。(1)求甲選手能晉級(jí)的概率；(2)若乙選手每題能答對(duì)的概率都是，且每題答對(duì)與否互不影響，用數(shù)學(xué)期望分析比較甲、乙兩選手的答題水平。19．（12分）為迎接月日的“全民健身日”，某大學(xué)學(xué)生會(huì)從全體男生中隨機(jī)抽取名男生參加米中長跑測試，經(jīng)測試得到每個(gè)男生的跑步所用時(shí)間的莖葉圖（小數(shù)點(diǎn)前一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)的后一位數(shù)字為葉），如圖，若跑步時(shí)間不高于秒，則稱為“好體能”.（Ⅰ）寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；（Ⅱ）要從這人中隨機(jī)選取人，求至少有人是“好體能”的概率；（Ⅲ）以這人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個(gè)學(xué)校男生的總體數(shù)據(jù)，若從該校男生（人數(shù)眾多）任取人，記表示抽到“好體能”學(xué)生的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.20．（12分）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）已知函數(shù).（1）求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值22．（10分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知（1）求的值（2）若，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，然后再次利用等差數(shù)列的性質(zhì)確定k的值即可.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：,故，則，結(jié)合題意可知：.本題選擇A選項(xiàng).本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，屬于中等題.2、B【解析】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)(含有重復(fù)數(shù)字的)共有9×10×10=900，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有9×9×8=648，因此組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有900－648=1．3、B【解析】

根據(jù)雙曲線方程確定雙曲線焦點(diǎn)、漸近線方程、虛軸長以及離心率，再判斷得到答案.【詳解】雙曲線的方程為，則雙曲線焦點(diǎn)在軸上；漸近線方程為；虛軸長為；離心率為，判斷知正確.故選：本題考查了雙曲線的焦點(diǎn)，漸近線，虛軸長和離心率，意在考查學(xué)生對(duì)于雙曲線基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況.4、D【解析】

由，得正態(tài)分布概率密度曲線關(guān)于對(duì)稱，又由，根據(jù)對(duì)稱性，可得，進(jìn)而可得，即可求解．【詳解】由隨機(jī)變量，可知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，其中是圖象的對(duì)稱軸，又由，所以，又因?yàn)?，根?jù)正態(tài)分布概率密度曲線的對(duì)稱性，可得，所以，故選D．本題主要考查了正態(tài)分布曲線性質(zhì)的簡單應(yīng)用，其中熟記正態(tài)分布概率密度曲線的對(duì)稱性，合理推算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解析】分析：由得橢圓的短軸長為，可得，，可得，從而可得結(jié)果.詳解：由得橢圓的短軸長為，，解得，，設(shè)，則，，即，，故選D.點(diǎn)睛：本題考查題意的簡單性質(zhì)，題意的定義的有意義，屬于中檔題.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸、等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.6、C【解析】

將問題轉(zhuǎn)化為將這個(gè)同學(xué)中新插入的個(gè)同學(xué)重新排序，再利用排列數(shù)的定義可得出答案．【詳解】問題等價(jià)于將這個(gè)同學(xué)中新插入的個(gè)同學(xué)重新排序，因此，所有排列的種數(shù)為，故選C.本題考查排列問題，解題的關(guān)鍵就是將問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，考查轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，屬于中等題．7、B【解析】

首先構(gòu)造函數(shù)，由已知得，從而有，令，求得，這樣可確定是增函數(shù)，由可得的正負(fù)，確定的單調(diào)性與極值．【詳解】，令，則，所以，令，則，即，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；故有極小值，無極大值，故選B.本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，解題關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，，求導(dǎo)后表示出，然后再一次令，確定單調(diào)性，確定正負(fù)，得出結(jié)論．8、B【解析】解：命題p：?x＞0，ln（x+1）＞0，則命題p為真命題，則￢p為假命題；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，則命題q是假命題，則￢q是真命題．∴p∧q是假命題，p∧￢q是真命題，￢p∧q是假命題，￢p∧￢q是假命題．故選B．9、B【解析】

設(shè)事件為“取出兩個(gè)粽子為同一種餡”，事件為“取出的兩個(gè)粽子都為臘肉餡”，計(jì)算（A）、的值，從而求得的值．【詳解】由題意，設(shè)事件為“取出兩個(gè)粽子為同一種餡”，事件為“取出的兩個(gè)粽子都為臘肉餡”，則（A），，．故選：B．本題主要考查古典概型和條件概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和計(jì)算能力.10、C【解析】由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程必過樣本中心，正確；殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，正確用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果,R2越大，說明模型的擬合效果越好，不正確，線性相關(guān)系數(shù)|r|越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，故正確。故選：C.11、B【解析】

根據(jù)伸縮變換的關(guān)系表示已知函數(shù)的坐標(biāo)，代入已知函數(shù)的表示式得解.【詳解】由伸縮變換，得，代入，得，即．選B本題考查函數(shù)圖像的伸縮變換，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

對(duì)于已知的兩條雙曲線，有，則半焦距相等，且焦點(diǎn)都在軸上，由此可得出結(jié)論.【詳解】解：對(duì)于已知的兩條雙曲線，有，半焦距相等，且焦點(diǎn)都在軸上，它們具有相同焦點(diǎn).故選：A.本題考查雙曲線的定義與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-2.【解析】分析：畫出可行域，將變形為，平移直線由圖可知當(dāng)直經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最小，根據(jù)的最小值為列方程求解即可.詳解：畫出表示的可行域，如圖，由可得，將變形為，平移直線,由圖可知當(dāng)直經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最小，根據(jù)的最小值為可得，解得，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.14、【解析】

按照如圖排列的規(guī)律，第行（）從左向右的第3個(gè)數(shù)分別為，1,3,6,10,15,21，…找到規(guī)律及可求出?！驹斀狻堪凑杖鐖D排列的規(guī)律，第行（）從左向右的第3個(gè)數(shù)分別為，1,3,6,10,15,21，…由于，，，，則第行（）從左向右的第3個(gè)數(shù)為。本題考查了歸納推理的問題，關(guān)鍵找到規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題。15、【解析】

先求出直線的普通方程，再求出點(diǎn)到直線的距離，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出|MN|的最小值.【詳解】由題得直線方程為，由題意，點(diǎn)到直線的距離，∴.故答案為：本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化，考查點(diǎn)到直線的距離的最值的求法和三角函數(shù)的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】試題分析：設(shè)根據(jù)題意可得函數(shù)在R上單調(diào)遞減，然后根據(jù)可得，最后根據(jù)單調(diào)性可求出x的取值范圍．設(shè)，，即函數(shù)F（x）在R上單調(diào)遞減，，而函數(shù)F（x）在R上單調(diào)遞減，，即，故答案為考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；其它不等式的解法三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）：，：；（Ⅱ）【解析】

（1）利用消去參數(shù)，得到曲線的普通方程，再由，化直線為直角坐標(biāo)方程；（2）與直線的距離為的點(diǎn)在與平行且距離為的兩平行直線上，依題意只有一條平行線與圓相交，另一條平行線與圓相離，利用圓心到直線的距離與半徑關(guān)系，即可求解.【詳解】（Ⅰ）由曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)，）消去參數(shù)，可得曲線的普通方程.，代入，得直線的直角坐標(biāo)方程為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為，曲線表示以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，且原點(diǎn)到直線的距離為.所以要使曲線上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則須，即.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.本題考查參數(shù)方程與普通方程互化、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程互化，以及直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.18、（1）；（2）乙選手比甲選手的答題水平高【解析】

（1）解法一：分類討論，事件“甲選手能晉級(jí)”包含“甲選手答對(duì)道題”和“甲選手答對(duì)道題”，然后利用概率加法公式求出所求事件的概率；解法二：計(jì)算出事件“甲選手能晉級(jí)”的對(duì)立事件“甲選手答對(duì)道題”的概率，然后利用對(duì)立事件的概率公式可計(jì)算出答案；（2）乙選手答對(duì)的題目數(shù)量為，甲選手答對(duì)的數(shù)量為，根據(jù)題意知，隨機(jī)變量服從超幾何分布，利用二項(xiàng)分布期望公式求出，再利用超幾何分布概率公式列出隨機(jī)變量的分布列，并計(jì)算出，比較和的大小，然后可以下結(jié)論。【詳解】解法一：（1）記“甲選手答對(duì)道題”為事件，，“甲選手能晉級(jí)”為事件，則。；（2）設(shè)乙選手答對(duì)的題目數(shù)量為，則，故，設(shè)甲選手答對(duì)的數(shù)量為，則的可能取值為，，，，故隨機(jī)變量的分布列為所以，，則，所以，乙選手比甲選手的答題水平高；解法二：（1）記“甲選手能晉級(jí)”為事件，則；（2）同解法二。本題考查概率的加法公式、對(duì)立事件的概率、古典概型的概率計(jì)算以及隨機(jī)變量及其分布列，在求隨機(jī)分布列的問題，關(guān)鍵要弄清楚隨機(jī)變量所服從的分布類型，然后根據(jù)相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題。19、(1)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是.(2).(3)分布列見解析；.【解析】分析：（Ⅰ）利用眾數(shù)和中位數(shù)的定義寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù).（Ⅱ）利用古典概型求至少有人是“好體能”的概率.（Ⅲ）利用二項(xiàng)分布求的分布列及數(shù)學(xué)期望.詳解：（I）這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是；（II）設(shè)求至少有人是“好體能”的事件為A,則事件A包含得基本事件個(gè)數(shù)為;總的基本事件個(gè)數(shù)為，（Ⅲ）的可能取值為由于該校男生人數(shù)眾多，故近似服從二項(xiàng)分布，,,的分布列為故的數(shù)學(xué)期望點(diǎn)睛：（1）本題主要考查眾數(shù)和中位數(shù)，考查古典概型的計(jì)算，考查分布列和期望的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和計(jì)算能力.(2)若～則.20、(1)；(2).【解析】試題分析：（1）由等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式可得an；運(yùn)用數(shù)列的遞推式：當(dāng)n=1時(shí)，b1=S1，當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn-Sn-1，即可得到{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）由（1）知cn=，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．試題解析：（1）因?yàn)?，，所以為首?xiàng)是1，公差為2的等差數(shù)列，所以又當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，…①…②由①-②得，即，