上海市靜安區(qū)市級名校2025屆數(shù)學高二第二學期期末聯(lián)考試題含解析

上海市靜安區(qū)市級名校2025屆數(shù)學高二第二學期期末聯(lián)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，若將其圖像右移個單位后,圖象關于原點對稱，則的最小值是()A． B． C． D．2．閱讀下圖所示程序框圖，若輸入，則輸出的值是（）A.B.C.D.3．已知函數(shù)，則關于的不等式解集為（）A． B． C． D．4．已知集合，,則等于()A． B． C． D．5．設函數(shù)f(x)＝－，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)y＝[f(x)]的值域為()A．{0} B．{－1,0}C．{－1,0,1} D．{－2,0}6．若離散型隨機變量的概率分布列如下表所示，則的值為()1A． B． C．或 D．7．已知復數(shù)z=1-i，則z2A．2 B．-2 C．2i D．-2i8．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得圖象的一個對稱中心為（）A． B． C． D．9．設某大學的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關關系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結論中不正確的是A．y與x具有正的線性相關關系B．回歸直線過樣本點的中心（，）C．若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg10．利用數(shù)學歸納法證明“1+a+a2+…+an+1=，（a≠1，nN）”時，在驗證n=1成立時，左邊應該是（）A．1 B．1+a C．1+a+a2 D．1+a+a2+a311．在一個袋子中裝有個除顏色外其他均相同的小球，其中有紅球個、白球個、黃球個，從袋中隨機摸出一個球，記下顏色后放回，連續(xù)摸次，則記下的顏色中有紅有黃但沒有白的概率為（）A． B． C． D．12．設定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，若，，則不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知二項式的展開式中二項式系數(shù)之和為64，則展開式中的系數(shù)為________．14．已知復數(shù)集中實系數(shù)一元二次方程有虛根，則的取值范圍是_______.15．函數(shù)的圖象在點處的切線方程是_____________.16．在平面直角坐標系中，若直線與橢圓在第一象限內交于點，且以為直徑的圓恰好經過右焦點，則橢圓的離心率是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）寫出的普通方程和的直角坐標方程；（2）設點在上，點在上，求的最小值以及此時的直角坐標.18．（12分）甲、乙兩位同學進入新華書店購買數(shù)學課外閱讀書籍，經過篩選后，他們都對三種書籍有購買意向，已知甲同學購買書籍的概率分別為,乙同學購買書籍的概率分別為,假設甲、乙是否購買三種書籍相互獨立.（1）求甲同學購買3種書籍的概率；（2）設甲、乙同學購買2種書籍的人數(shù)為,求的概率分布列和數(shù)學期望.19．（12分）已知．（1）求和的值；（2）求式子的值．20．（12分）在直角坐標系中，已知圓的圓心坐標為，半徑為，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）．（1）求圓和直線l的極坐標方程；（2）點的極坐標為，直線l與圓相交于A，B，求的值．21．（12分）2016年底某購物網站為了解會員對售后服務(包括退貨、換貨、維修等)的滿意度，從2016年下半年的會員中隨機調查了個會員，得到會員對售后服務的滿意度評分如下：958875829094986592100859095778770899390848283977391根據(jù)會員滿意度評分,將會員的滿意度從低到高分為三個等級:滿意度評分低于分分到分不低于分滿意度等級不滿意比較滿意非常滿意（1）根據(jù)這個會員的評分，估算該購物網站會員對售后服務比較滿意和非常滿意的頻率；（2）以(1)中的頻率作為概率，假設每個會員的評價結果相互獨立.（i）若從下半年的所有會員中隨機選取個會員,求恰好一個評分比較滿意，另一個評分非常滿意的概率；（ii）若從下半年的所有會員中隨機選取個會員，記評分非常滿意的會員的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望．22．（10分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值;（2）當時，證明：;（3）設函數(shù)的圖象與直線的兩個交點分別為，，的中點的橫坐標為，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

利用兩角和差的三角公式化簡函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，求得φ的最小值．【詳解】∵f（x）＝sinxcosx＝2sin（x）（x∈R），若將其圖象右移φ（φ＞0）個單位后，可得y＝2sin（x﹣φ）的圖象；若所得圖象關于原點對稱，則﹣φkπ，k∈Z，故φ的最小值為，故選：C．本題主要考查兩角和差的三角公式，函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎題．2、A【解析】試題分析：由程序框圖可知該算法是計算數(shù)列的前2016項和，根據(jù)，所以?？键c：1.程序框圖；2.數(shù)列求和。3、A【解析】

由題可得為偶函數(shù)，利用導數(shù)可得的單調區(qū)間，利用函數(shù)的奇偶性和單調性轉化不等式求解即可。【詳解】函數(shù)的定義域為，，所以在上為偶函數(shù)；當時，，則，由于當時，，，則在上恒大于零，即在單調遞增；由在上為偶函數(shù)，則在單調遞減；故不等式等價于，解得;;所以不等式解集為；故答案選A本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調性解函數(shù)不等式，考查學生轉化的思想，屬于中檔題。4、C【解析】

分析：利用一元二次不等式的解法求出中不等式的解集確定出，然后利用交集的定義求解即可.詳解：由中不等式變形得，解得，即，因為，，故選C.點睛：研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應滿足的屬性.研究兩集合的關系時，關鍵是將兩集合的關系轉化為元素間的關系，本題實質求滿足屬于集合且屬于集合的元素的集合.本題需注意兩集合一個是有限集，一個是無限集，按有限集逐一驗證為妥.5、B【解析】

依題意，由于，所以.當時，，當時，，故的值域為.故選B.本小題主要考查指數(shù)函數(shù)的值域，考查新定義函數(shù)的意義，考查了分類討論的數(shù)學思想方法.屬于中檔題.6、A【解析】由離散型隨機變量ξ的概率分布表知：.解得.故選：A.7、A【解析】解：因為z=1-i，所以z28、B【解析】

利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，再結合余弦函數(shù)的圖象的對稱性，得出結論．【詳解】將函數(shù)y＝sin（2x）的圖象向左平移個單位長度后，可得函數(shù)y＝sin（2x）＝cos2x的圖象．令2x＝kπ，求得x，k∈Z．令k＝0，可得x，故所得圖象的一個對稱中心為（，0），故選：B．本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎題．9、D【解析】根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71，則=0.85＞0，y與x具有正的線性相關關系，A正確；回歸直線過樣本點的中心（），B正確；該大學某女生身高增加1cm，預測其體重約增加0.85kg，C正確；該大學某女生身高為170cm，預測其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg，D錯誤．故選D．10、C【解析】考點：數(shù)學歸納法．分析：首先分析題目已知用數(shù)學歸納法證明：“1+a+a1+…+an+1=（a≠1）”在驗證n=1時，左端計算所得的項．把n=1代入等式左邊即可得到答案．解：用數(shù)學歸納法證明：“1+a+a1+…+an+1=（a≠1）”在驗證n=1時，把當n=1代入，左端=1+a+a1．故選C．11、C【解析】分析：由已知得取出的3球中有2紅1黃或2黃1紅，2紅1黃的情況有3種，2黃1紅的情況也有3種，由此能求出記下的顏色中有紅有黃但沒有白的概率.詳解：從袋中隨機摸出一個球，摸到紅球、白球、黃球的概率分別為，由已知得取出的3球中有2紅1黃或2黃1紅，2紅1黃的情況有3種，2黃1紅的情況也有3種，下的顏色中有紅有黃但沒有白的概率為.故選：C.點睛：本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率計算公式的合理運用.12、A【解析】

構造函數(shù)，則可判斷，故是上的增函數(shù)，結合即可得出答案.【詳解】解：設，則，∵，，∴，∴是上的增函數(shù)，又，∴的解集為，即不等式的解集為.故選A.本題考查導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，構造函數(shù)是解題的關鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4860【解析】由題意可知,即二項式為，所以，所以的系數(shù)為4860，填4860。14、【解析】

復數(shù)集中實系數(shù)一元二次方程有虛根，可得△，解得．利用求根公式可得，再利用模的計算公式即可得出．【詳解】復數(shù)集中實系數(shù)一元二次方程有虛根，則△，解得．因為，則，所以的取值范圍是．故答案為：．本題考查不等式的解法、實系數(shù)一元二次方程與判別式的關系、模的計算公式，考查推理能力與計算能力．15、【解析】

首先求出在1處的導數(shù)，再求出在1處的函數(shù)值，然后用點斜式求出方程即可.【詳解】，∴且，切線方程是，即．本題考查利用導數(shù)求函數(shù)在點處的切線方程，屬于基礎題.16、.【解析】

由題意可得軸，求得的坐標，由在直線上，結合離心率公式，解方程可得所求值．【詳解】解：以為直徑的圓恰好經過右焦點，可得軸，令，可得，不妨設，由在直線上，可得，即為，由可得，解得（負的舍去）.故答案為:.本題考查橢圓的方程和性質，考查了圓的性質.本題的關鍵是由圓過焦點得出點的坐標.求離心率的做題思路是，根據(jù)題意求出或者列出一個關于的方程，由橢圓或雙曲線的的關系，進而求解離心率.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）：，：；（2），此時.【解析】試題分析：（1）的普通方程為，的直角坐標方程為；（2）由題意，可設點的直角坐標為到的距離當且僅當時，取得最小值，最小值為，此時的直角坐標為.試題解析：（1）的普通方程為，的直角坐標方程為.（2）由題意，可設點的直角坐標為，因為是直線，所以的最小值即為到的距離的最小值，.當且僅當時，取得最小值，最小值為，此時的直角坐標為.考點：坐標系與參數(shù)方程.【方法點睛】參數(shù)方程與普通方程的互化：把參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)其結構特征，選取適當?shù)南麉⒎椒?，常見的消參方法有：代入消參法；加減消參法；平方和（差）消參法；乘法消參法；混合消參法等．把曲線的普通方程化為參數(shù)方程的關鍵：一是適當選取參數(shù)；二是確?；セ昂蠓匠痰牡葍r性．注意方程中的參數(shù)的變化范圍．18、（1）；（2）分布列見解析，.【解析】

（1）這是相互獨立事件，所以甲購買書籍的概率直接相乘即可.（2）基本事件為甲購買兩本書和乙購買兩本書的概率，所以先求出基本事件的概率，然后再求分布列.【詳解】（1）記“甲同學購買3種書籍”為事件A，則.答：甲同學購買3種書籍的概率為.（2）設甲、乙同學購買2種書籍的概率分別為，.則，，所以，所以.，，.所以X的概率分布為X012P.答：所求數(shù)學期望為.本題考查相互獨立事件的概率，考查二項分布獨立重復事件的概率的求法，解題的關鍵是找出基本事件的概率，屬于中檔題.19、（1），（2）【解析】

（1）在二項展開式的通項公式中，令分別等于0和3，即可求得和的值．（2）在所給的等式中，分別令，可得2個式子，再根據(jù)這2個式子求得的值．【詳解】解:（1）由二項式定理，得的展開式的通項是，令，3，得，．∵，∴，．（2）∵，∴令，得．令，得．∴．∴．本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便地求出答案，屬于中檔題．20、（1）圓的極坐標方程為，的極坐標方程為；（2）．【解析】

（1）代入圓C得圓C的極坐標方程；直線l的參數(shù)方程轉化成普通方程，進而求得直線l的極坐標方程；（2）將直線l的參數(shù)方程代入圓的方程，求得關于t的一元二次方程，令A，B對應參數(shù)分別為t1，t2，根據(jù)韋達定理、直線與圓的位置關系，即可求得|PA|+|PB|的值．【詳解】（1）圓的直角坐標方程為：，把代入圓得：化簡得圓的極坐標方程為：由（為參數(shù)），得，的極坐標方程為：.（2）由點的極坐標為得點的直角坐標為，∴直線的參數(shù)方程可寫成：（為參數(shù)）．代入圓得：化簡得：，∴，，∴．本題考查圓的極坐標方程與普通方程的轉換，直線與圓的位置關系，考查分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．一般t的絕對值表示方程中的定點到動點的距離，故，，均可用t來表示，從而轉化為韋達定理來解決.21、(1)可估算該購物網站會員對售后服務比較滿意和非常滿意的頻率分別為和.(2)（i）；（ii）分布列見解析，0.6.【解析】試題分析：（1）由給出的個數(shù)據(jù)可得，非常滿意的個數(shù)為，不滿意的個數(shù)為，比較滿意的個數(shù)為，由此可估算該購物網站會員對售后服務比較