8.1.2 樣本相關系數(shù)課件(共23張) -2024-2025學年高二下學期數(shù)學選擇性必修第三冊人教A版

兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系.1.相關關系把成對樣本數(shù)據(jù)用直角坐標系中的點表示出來，由這些點組成的統(tǒng)計圖叫做散點圖.2.散點圖3.正相關與負相關一個變量隨另一個變量的增加呈現(xiàn)減小的趨勢.正相關：一個變量隨另一個變量的增加呈現(xiàn)增加的趨勢.負相關：

溫故知新：2人教A版2019選擇性必修第三冊第八章《成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析》8.1.2樣本相關系數(shù)

通過觀察散點圖中成對樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，我們可以大致推斷兩個變量是否存在相關關系、是正相關還是負相關、是線性相關還是非線性相關等.散點圖雖然直觀，但無法確切地反映成對樣本數(shù)據(jù)的相關程度，也就無法量化兩個變量之間相關程度的大小.能否像引人均值、方差等數(shù)字特征對單個變量數(shù)據(jù)進行分析那樣，引入一個適當?shù)摹皵?shù)字特征”，對成對樣本數(shù)據(jù)的相關程度進行定量分析呢?

通過繪圖分析可得，如果變量x和y正相關，那么關于均值平移后的大多數(shù)散點將分布在第一象限、第三象限，對應的成對數(shù)據(jù)同號的居多，如圖(1)所示；

如果變量x和y負相關，那么關于均值平移后的大多數(shù)散點將分布在第二象限、第四象限，對應的成對數(shù)據(jù)異號的居多，如圖(2)所示.思考：根據(jù)上述分析，你能利用正相關變量和負相關變量的成對樣本數(shù)據(jù)平移后呈現(xiàn)的規(guī)律，構(gòu)造一個度量成對樣本數(shù)據(jù)是正相關還是負相關的數(shù)字特征嗎？思考2：Lxy的大小是否一定能度量出成對樣本數(shù)據(jù)的相關程度?

因為Lxy的大小與數(shù)據(jù)的度量單位有關，所以不宜直接用它度量成對樣本數(shù)據(jù)相關程度的大小.為了消除度量單位的影響，需要對數(shù)據(jù)作進一步的“標準化”處理.我們用我們稱r為變量x和變量y的樣本相關系數(shù).樣本相關系數(shù)：

樣本相關系數(shù)r是一個描述成對樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，它反映了兩個隨機變量之間的線性相關程度.r的符號反映了相關關系的正負性.|r|的大小反映了兩個變量線性相關的程度，即散點集中于一條直線的程度.

樣本相關系數(shù)：相關系數(shù)的性質(zhì)：①當r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關；當r<0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負相關.②|r|≤1；③當|r|越接近1時，成對數(shù)據(jù)的線性相關程度越強；當|r|越接近0時，成對數(shù)據(jù)的線性相關程度越弱；特別地，當|r|＝0時，成對數(shù)據(jù)的沒有線性相關關系；當|r|＝1時，成對數(shù)據(jù)都落在一條直線上.圖8.1-5是不同成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖和相應的樣本相關系數(shù)．圖(1)中的散點有明顯的從左下角到右上角沿直線分布的趨勢，說明成對樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出線性相關關系；樣本相關系數(shù)r=0.97，表明成對樣本數(shù)據(jù)的正線性相關程度很強．圖(2)中的散點有明顯的從左上角到右下角沿直線分布的趨勢，說明成對樣本數(shù)據(jù)也呈現(xiàn)出線性相關關系；樣本相關系數(shù)r=-0.85，表明成對樣本數(shù)據(jù)的負線性相關程度比較強．從樣本相關系數(shù)來看，圖(1)中成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度要比圖(2)中強一些；圖(3)和圖(4)中的成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度很弱，其中圖(4)中成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度極弱．練習1：判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)相關關系是一種非確定性關系，體現(xiàn)的不一定是因果關系，可能是伴隨關系(

)(2)散點圖越接近某一條直線，線性相關程度越強，樣本相關系數(shù)越大()(3)散點圖能直觀地分析出兩個變量是否具有相關性．(

)(4)若變量x，y滿足函數(shù)關系，則這兩個變量線性相關(

)×√練習2：已知求得甲、乙、丙3組不同的數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)分別為0.81，－0.98，0.63，其中______(填甲、乙或丙)組數(shù)據(jù)的線性相關程度最強．乙√×編號1234567891011121314年齡/歲2327394145495053545657586061脂肪含量/％9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6解：由樣本數(shù)據(jù)可得由此可以推斷脂肪含量和年齡這兩個變量正線性相關，且相關程度很強.例1：根據(jù)表8.1-1中脂肪含量和年齡的樣本數(shù)據(jù)，推斷兩個變量是否線性相關，計算樣本相關系數(shù)，并推斷它們的相關程度.解法2：由樣本數(shù)據(jù)可得編號1234567891011121314年齡/歲2327394145495053545657586061脂肪含量/％9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6例1：根據(jù)表8.1-1中脂肪含量和年齡的樣本數(shù)據(jù)，推斷兩個變量是否線性相關，計算樣本相關系數(shù)，并推斷它們的相關程度.由此可以推斷脂肪含量和年齡這兩個變量正線性相關，且相關程度很強.

變式1：在一次試驗中，測得(x，y)4組值分別為(1，2)，(2，0)，(4，－4)，(－1，6)，則y與x的樣本相關系數(shù)為(

)A.1 B.－2C.0 D.－1解析：由樣本數(shù)據(jù)可得DC1.由簡單隨機抽樣得到的成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)是否一定能確切地反映變量之間的相關關系?為什么?解：樣本相關系數(shù)可以反映變量之間相關的正負性及線性相關的程度，但由于樣本數(shù)據(jù)的隨機性，樣本相關系數(shù)往往不能確切地反映變量之間的相關關系.一般來說，樣本量越大，根據(jù)樣本相關系數(shù)推斷變量之間相關的正負性及線性相關的程度越可靠，而樣本量越小則越不可靠.一個極端的情況是，無論兩個變量之間是什么關系，如果樣本量取2，則計算可得樣本相關系數(shù)的絕對值都是1(在樣本相關系數(shù)存在的情況下)，顯然據(jù)此推斷兩個變量完全線性相關是不合理的.

請看課本P103：練習12.變量x和變量y的3對隨機觀測數(shù)據(jù)(2，2)，(3，－1)，(5，－7)，計算成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù).能據(jù)此推斷這兩個變量線性相關嗎?為什么?解：由樣本數(shù)據(jù)可得

雖然樣本相關系數(shù)為－1，三個樣本點在一條直線上，但是由于樣本量太小，據(jù)此推斷兩個變量完全線性相關并不可靠.

請看課本P103：練習2解:3.畫出下列成對數(shù)據(jù)的散點圖，并計算樣本相關系數(shù).據(jù)此，請你談談樣本相關系數(shù)在刻畫成對樣本數(shù)據(jù)相關關系上的特點.(1)(－2,－3),(－1,－1),(0,1),(1,3),(2,5),(3,7)；(2)(0,0),(1,1),(2,4),(3,9),(4,16)；(3)(－2,－8),(－1,－1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27);(4)(2,0)

(1,),(0,2),(－1,),(－2,0).248x-4-320-213-16y-2??????515x2041310y?????20.51.5x-320-213-11y??????51020x-10-320-213-115y-5??????25樣本相關系數(shù)主要刻畫的是成對樣本數(shù)據(jù)線性相關的程度.

請看課本P103：練習3(1)(2)(3)(4)例2：有人收集了某城市居民年收入(所有居民在一年內(nèi)收人的總和)與A商品銷售額的10年數(shù)據(jù)，如下表所示.解：第n年12345678910居民年收入/億元32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0A商品銷售額/萬元25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0畫出散點圖，推斷成對樣本數(shù)據(jù)是否線性相關，并通過樣本相關系數(shù)推斷居民年收入與A商品銷售額的相關程度和變化趨勢的異同畫出成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖，如圖所示.從散點圖看，A商品銷售額與居民年收人的樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出線性相關關系.由樣本數(shù)據(jù)計算得樣本相關系數(shù)r≈0.95.由此可以推斷，A商品銷售額與居民年收入正線性相關，即A商品銷售額與居民年收入有相同的變化趨勢，且相關程度很強.例3：在某校高一年級中隨機抽取25名男生，測得他們的身高、體重、臂展等數(shù)據(jù)，如下表所示.體重與身高、臂展與身高分別具有怎樣的相關性?編號身高/cm體重/kg臂展/cm編號身高/cm體重/kg臂展/cm1234567891011121317317917517918217318017016917717717817455715262826355815454596756169170172177174166174169166176170174170141516171819202122232425166176176175169184169182171177173173666149604886585458615851161166165173162189164170164173165169

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出體重與身高、臂展與身高的散點圖，分別如圖(1)和(2)所示，兩個散點圖都呈現(xiàn)出線性相關的特征解：

通過計算得到體重與身高、臂展與身高的樣本相關系數(shù)分別約為0.34和0.78，都為正線性相關.其中，臂展與身高的相關程度更高.4.隨機抽取7家超市，得到其廣告支出與銷售額數(shù)據(jù)如下：解：由樣本數(shù)據(jù)可得

正線性相關，相關性較強，銷售額與廣告支出的變化趨勢相同.超市ABCDEFG廣告支出/萬元1246101420銷售額/萬元19324440525354請推斷超市的銷售額與廣告支出之間的相關關系的類型、相關程度和變化趨勢的特征.

請看課本P103：練習4

課堂小結(jié)：1.樣本相關系數(shù)：2.相關系數(shù)的性質(zhì)：①當r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關；

當r<0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負相關.②|r|≤1；③當|r|越接近1時，成對數(shù)據(jù)的線性相關程度越強；當|r|越接近0時，成對數(shù)據(jù)的線性相關程度越弱；特別地，當|r|＝0時，成對數(shù)據(jù)的沒有線性相關關系；當|r|＝1時，成對數(shù)據(jù)都落在一條直線上.學以致用：足球是深受全世界人們喜愛的運動，我國大力發(fā)展校園足球．為了解本地區(qū)足球特色學校的發(fā)展狀況，社會調(diào)查小組得