2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高考大題增分課六概率與統(tǒng)計中的高考熱點問題教學(xué)案文含解析北師大版

PAGE1-六概率與統(tǒng)計中的高考熱點問題[命題解讀]1.統(tǒng)計與概率是高考中相對獨立的一塊內(nèi)容，處理問題的方式、方法體現(xiàn)了較高的思維含量，該類問題以應(yīng)用題為載體，留意考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模及閱讀理解實力、分類探討與化歸轉(zhuǎn)化實力．2．概率問題的核心是概率計算，其中事務(wù)的互斥、對立是概率計算的核心.統(tǒng)計問題的核心是樣本數(shù)據(jù)的獲得及分析方法，重點是頻率分布直方圖、莖葉圖和樣本的數(shù)字特征，統(tǒng)計與概率內(nèi)容相互滲透，背景新奇．統(tǒng)計與統(tǒng)計案例以統(tǒng)計圖表或文字?jǐn)⑹龅膶嶋H問題為載體，通過對相關(guān)數(shù)據(jù)的分析、抽象概括，作出估計、推斷.常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率等學(xué)問交匯考查，考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理實力與運算實力及應(yīng)用意識．【例1】已知某班n名同學(xué)的數(shù)學(xué)測試成果(單位：分，滿分100分)的頻率分布直方圖如圖所示，其中a，b，c成等差數(shù)列，且成果在[90,100]內(nèi)的有6人．(1)求n的值；(2)規(guī)定60分以下為不及格，若不及格的人中女生有4人，而及格的人中，男生比女生少4人，借助獨立性檢驗分析能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“本次測試的及格狀況與性別有關(guān)”？附：P(χ2≥x0)0.100.050.0100.005x02.7063.8416.6357.879χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).[解](1)依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10×0.035＋0.025＋c＋2b＋a＝1，,2b＝a＋c，))解得b＝0.01.因為成果在[90,100]內(nèi)的有6人，所以n＝eq\f(6,0.01×10)＝60.(2)由于2b＝a＋c，而b＝0.01，可得a＋c＝0.02，則不及格的人數(shù)為0.02×10×60＝12，及格的人數(shù)為60－12＝48，設(shè)及格的人中，女生有x人，則男生有x－4人，于是x＋x－4＝48，解得x＝26，故及格的人中，女生有26人，男生有22人．于是本次測試的及格狀況與性別的2×2列聯(lián)表如下：及格不及格總計男22830女26430總計481260所以χ2＝eq\f(60×22×4－8×262,30×30×48×12)＝1.667＜2.706，故不能在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“本次測試的及格狀況與性別有關(guān)”．[規(guī)律方法]獨立性檢驗的方法(1)構(gòu)造2×2列聯(lián)表；(2)計算χ2；(3)查表確定有多大的把握判定兩個變量有關(guān)聯(lián)．易錯提示：查表時不是查最大允許值，而是先依據(jù)題目要求的百分比找到第一行對應(yīng)的數(shù)值，再將該數(shù)值對應(yīng)的臨界值與求得的χ2相比較．另外，表中第一行數(shù)據(jù)表示兩個變量沒有關(guān)聯(lián)的可能性p，所以其有關(guān)聯(lián)的可能性為1－p.近幾年出現(xiàn)各種食品問題，食品添加劑會引起血脂增高、血壓增高、血糖增高等疾病．為了解三高疾病是否與性別有關(guān)，醫(yī)院隨機對入院的60人進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到了如下的列聯(lián)表：(1)請將如圖的列聯(lián)表補充完整．若用分層抽樣的方法在患三高疾病的人群中抽9人，其中女生抽多少人？(2)為了探討患三高疾病是否與性別有關(guān)，請計算出統(tǒng)計量χ2，并說明是否可以在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為患三高疾病與性別有關(guān)．患三高疾病不患三高疾病總計男630女總計36下面的臨界值表供參考：P(χ2≥x0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001x02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(參考公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d)[解](1)完善補充列聯(lián)表如下：患三高疾病不患三高疾病總計男24630女121830總計362460在患三高疾病人群中抽9人，則抽取比例為eq\f(9,36)＝eq\f(1,4)，所以女性應(yīng)當(dāng)抽取12×eq\f(1,4)＝3(人)．(2)依據(jù)2×2列聯(lián)表，則χ2＝eq\f(60×24×18－6×122,30×30×36×24)＝10＞7.879.所以可以在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為患三高疾病與性別有關(guān)．常見概率模型的概率概率應(yīng)用題側(cè)重于古典概型，主要考查隨機事務(wù)、等可能事務(wù)、互斥事務(wù)、對立事務(wù)的概率.解決簡潔的古典概型試題可用干脆法(定義法)，對于較為困難的事務(wù)的概率，可以利用所求事務(wù)的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為互斥事務(wù)或?qū)α⑹聞?wù)的概率求解．【例2】(2024·全國卷Ⅲ)某超市安排按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．依據(jù)往年銷售閱歷，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．假如最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；假如最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；假如最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購安排，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率．(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時，寫出Y的全部可能值，并估計Y大于零的概率．[解](1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時，若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900；若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，所以，Y的全部可能值為900,300，－100.Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估計值為0.8.[規(guī)律方法]統(tǒng)計以考查抽樣方法、樣本的頻率分布、樣本特征數(shù)的計算為主，概率以考查概率計算為主，往往和實際問題相結(jié)合，要留意理解實際問題的意義，使之和相應(yīng)的概率計算對應(yīng)起來，只有這樣才能有效地解決問題．某商場在元旦實行購物抽獎促銷活動，規(guī)定顧客從裝有編號為0,1,2,3,4的五個相同小球的抽獎箱中一次隨意摸出兩個小球，若取出的兩個小球的編號之和等于7，則中一等獎，等于6或5，則中二等獎，等于4，則中三等獎，其余結(jié)果為不中獎．(1)求中二等獎的概率；(2)求不中獎的概率．[解](1)記“中二等獎”為事務(wù)A．從五個小球中一次隨意摸出兩個小球，不同的結(jié)果有{0,1}，{0,2}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共10個基本領(lǐng)件．記兩個小球的編號之和為x，由題意可知，事務(wù)A包括兩個互斥事務(wù)：x＝5，x＝6.事務(wù)x＝5的取法有2種，即{1,4}，{2,3}，故P(x＝5)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)；事務(wù)x＝6的取法有1種，即{2,4}，故P(x＝6)＝eq\f(1,10).所以P(A)＝P(x＝5)＋P(x＝6)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,10)＝eq\f(3,10).(2)記“不中獎”為事務(wù)B，則“中獎”為事務(wù)eq\x\to(B)，由題意可知，事務(wù)eq\x\to(B)包括三個互斥事務(wù)：中一等獎(x＝7)，中二等獎(事務(wù)A)，中三等獎(x＝4)．事務(wù)x＝7的取法有1種，即{3,4}，故P(x＝7)＝eq\f(1,10)；事務(wù)x＝4的取法有{0,4}，{1,3}，共2種，故P(x＝4)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).由(1)可知，P(A)＝eq\f(3,10).所以P(eq\x\to(B))＝P(x＝7)＋P(x＝4)＋P(A)＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,5)＋eq\f(3,10)＝eq\f(3,5).所以不中獎的概率為P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(3,5)＝eq\f(2,5).統(tǒng)計與概率的綜合應(yīng)用統(tǒng)計和概率學(xué)問相結(jié)合命題統(tǒng)計概率解答題已經(jīng)是一個新的命題趨向，概率和統(tǒng)計學(xué)問初步綜合解答題的主要依托點是統(tǒng)計圖表，正確相識和運用這些圖表是解決問題的關(guān)鍵，在此基礎(chǔ)上駕馭好樣本數(shù)字特征及各類概率的計算．【例3】(本小題滿分12分)(2024·全國卷Ⅰ)某家庭記錄了未運用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位：m3)和運用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：未運用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0，0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6)[0.6，0.7)頻數(shù)13249265運用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0，0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6)頻數(shù)151310165(1)在下圖中作出訪用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；(2)估計該家庭運用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率；(3)估計該家庭運用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)約多少水？(一年按365天計算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表．)[信息提取]看到作頻率分布直方圖，想到作頻率分布直方圖的作圖規(guī)則；看到求概率，想到利用頻率分布直方圖求概率的方法；看到估計節(jié)水量，想到求運用節(jié)水龍頭前后的用水量．[規(guī)范解答](1)如圖所示． 4分(2)依據(jù)以上數(shù)據(jù)，該家庭運用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35m3的頻率為0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48， 6分因此該家庭運用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率的估計值為0.48.7分(3)該家庭未運用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up13(－))1＝eq\f(1,50)(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48. 9分該家庭運用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up13(－))2＝eq\f(1,50)(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35. 11分估計運用節(jié)水龍頭后，一年可節(jié)約水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3). 12分[易錯與防范]作頻率分布直方圖時留意縱軸單位是“eq\f(fi,Δxi)”，計算平均數(shù)時運算要精確，避開“會而不對”的失誤．[通性通法]概率與統(tǒng)計作為考查考生應(yīng)用意識的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點和熱點．它與其他學(xué)問融合、滲透，情境新奇，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計的工具性和交匯性．長時間用手機上網(wǎng)嚴(yán)峻影響著學(xué)生的身體健康，某校為了解A，B兩班學(xué)生手機上網(wǎng)的時長，分別從這兩個班中隨機抽取5名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，將他們平均每周手機上網(wǎng)的時長作為樣本繪制成莖葉圖如圖所示(圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個位數(shù)字)．(1)你能否估計哪個班級平均每周上網(wǎng)時間較長？(2)從A班的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取一個不超過19的數(shù)據(jù)記為a，從B班的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取一個不超過21的數(shù)據(jù)記為b，求a>b的概率．[解](1)A班樣本數(shù)據(jù)的平均值為eq\f(1,5)(9＋11＋14＋20＋31)＝17，由此估計A班學(xué)生每周平均上網(wǎng)時間為17小時；B班樣本數(shù)據(jù)的平均值為eq\f(1,5)(11＋12＋21＋25＋26)＝19，由此估計B班學(xué)生每周平均上網(wǎng)時間為19小時．所以B班學(xué)生上網(wǎng)時間較長．(2)A班的樣本數(shù)據(jù)中不超過19的數(shù)據(jù)a有3個，分別為9,11,14，B班的樣本數(shù)據(jù)中不超過21的數(shù)據(jù)b也有3個，分別為11,12,21.從A班和B班的樣本數(shù)據(jù)中各隨機抽取一個共有9種不同的狀況，分別為(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,12)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21)，其中a>b的狀況有(14,11)，(14,12)，2種，故a>b的概率P＝eq\f(2,9).[大題增分專訓(xùn)]1．某校高三期中考試后，數(shù)學(xué)老師對本次全部數(shù)學(xué)成果按1∶20進(jìn)行分層抽樣，隨機抽取了20名學(xué)生的成果為樣本，成果用莖葉圖記錄如圖所示，但部分?jǐn)?shù)據(jù)不當(dāng)心丟失，同時得到如下表所示的頻率分布表：分?jǐn)?shù)段(分)[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]總計頻數(shù)b頻率a0.25(1)求表中a，b的值及成果在[90,110)范圍內(nèi)的樣本數(shù)，并估計這次考試全校高三學(xué)生數(shù)學(xué)成果的及格率(成果在[90,150]內(nèi)為及格)；(2)若從莖葉圖中成果在[100,130)范圍內(nèi)的樣本中一次性抽取兩個，求取出兩個樣本數(shù)字之差的肯定值小于或等于10的概率．[解](1)由莖葉圖知成果在[50,70)范圍內(nèi)的有2人，在[110,130)范圍內(nèi)的有3人，∴a＝0.1，b＝3.∵成果在[90,110)范圍內(nèi)的頻率為1－0.1－0.25－0.25＝0.4，∴成果在[90,110)范圍內(nèi)的樣本數(shù)為20×0.4＝8.估計這次考試全校高三學(xué)生數(shù)學(xué)成果的及格率為P＝1－0.1－0.25＝0.65.(2)全部可能的結(jié)果為(100,102)，(100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)，共21個，取出的兩個樣本中數(shù)字之差小于或等于10的結(jié)果為(100,102)，(100,106)，(100,106)，(102,106)，(102,106)，(106,106)，(106,116)，(106,116)，(116,118)，(118,128)，共10個，∴P(A)＝eq\f(10,21).2．某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析探討，他們分別記錄了12月1日至12月5日的晝夜溫差與試驗室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日溫差x(℃)101113128發(fā)芽數(shù)y(顆)2325302616該農(nóng)科所確定的探討方案是：先從這5組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求回來方程，再對被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗．(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的概率；(2)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù)，請依據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回來方程y＝bx＋a；(3)若由線性回來方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差不超過2顆，則認(rèn)為得到的線性回來方程是牢靠的，試問(2)中所得的線性回來方程是否牢靠？(附：對于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回來直線y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估計分別為b＝eq\f(\o(∑,\s\up13(n),\s\do14(i＝1))xi