2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課后限時(shí)集訓(xùn)57古典概型文含解析北師大版

PAGE1-課后限時(shí)集訓(xùn)(五十七)(建議用時(shí)：60分鐘)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1．在集合A＝{2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素m，在集合B＝{1,2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素n，得到點(diǎn)P(m，n)，則點(diǎn)P在圓x2＋y2＝9內(nèi)部的概率為()A．eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C．eq\f(3,4)D.eq\f(2,5)B[點(diǎn)P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6種狀況，只有(2,1)，(2,2)這2個(gè)點(diǎn)在圓x2＋y2＝9的內(nèi)部，所求概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).]2．(2024·廈門月考)甲、乙兩名同學(xué)分別從“象棋”“文學(xué)”“攝影”三個(gè)社團(tuán)中隨機(jī)選取一個(gè)社團(tuán)加入，則這兩名同學(xué)加入同一個(gè)社團(tuán)的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)B[由題意，甲、乙兩名同學(xué)各自等可能地從“象棋”“文學(xué)”“攝影”三個(gè)社團(tuán)中選取一個(gè)社團(tuán)加入，共有3×3＝9(種)不同的結(jié)果，這兩名同學(xué)加入同一個(gè)社團(tuán)有3種狀況，則這兩名同學(xué)加入同一個(gè)社團(tuán)的概率是eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).]3．(2024·紅河州檢測(cè))袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號(hào)分別為1,2,3；藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)號(hào)分別為1,2.從以上五張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,10)C．eq\f(3,10) D．eq\f(2,3)C[從五張卡片中任取兩張的全部可能狀況有如下10種：紅1紅2，紅1紅3，紅1藍(lán)1，紅1藍(lán)2，紅2紅3，紅2藍(lán)1，紅2藍(lán)2，紅3藍(lán)1，紅3藍(lán)2，藍(lán)1藍(lán)2.其中兩張卡片的顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的有3種狀況：紅1藍(lán)1，紅1藍(lán)2，紅2藍(lán)1，故所求的概率為P＝eq\f(3,10)，故選C．]4．(2024·撫州一模)小亮、小明和小紅約好周六騎共享單車去森林公園郊游，他們各自等可能地從小黃車、小藍(lán)車、小綠車這3種顏色的單車中選擇1種，則他們選擇相同顏色單車的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,9)C．eq\f(2,3) D．eq\f(4,9)B[由題意，小亮、小明和小紅各自等可能地從小黃車、小藍(lán)車、小綠車這3種顏色的單車中選擇1種，有27種不同的結(jié)果，他們選擇相同顏色的單車，有3種不同的結(jié)果，故他們選擇相同顏色單車的概率為eq\f(3,27)＝eq\f(1,9)，故選B.]5．從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，則以它們作為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的概率等于()A．eq\f(1,10) B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,5)D[從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，方法有15種，它們作為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的方法種數(shù)為3，所以所求概率等于eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).]二、填空題6．從2,3,8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，分別記為a，b，則logab為整數(shù)的概率是________．eq\f(1,6)[從2,3,8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，分別記為a，b，則有2,3；2,8；2,9；3,8；3,9；8,9；3,2；8,2；9,2；8,3；9,3；9,8，共12種取法，其中l(wèi)ogab為整數(shù)的有(2,8)，(3,9)兩種，故P＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).]7．將號(hào)碼分別為1,2,3,4的四個(gè)小球放入一個(gè)袋中，這些小球僅號(hào)碼不同，其余完全相同，甲從袋中摸出一個(gè)小球，其號(hào)碼為a，放回后，乙從今口袋中再摸出一個(gè)小球，其號(hào)碼為b，則使不等式a－2b＋4＜0成立的事務(wù)發(fā)生的概率為_(kāi)_______．eq\f(1,4)[由題意知(a，b)的全部可能結(jié)果有4×4＝16個(gè)．其中滿意a－2b＋4＜0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)共4種結(jié)果．故所求事務(wù)的概率P＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).]8．(2024·成都月考)如圖的莖葉圖是甲、乙兩人在4次模擬測(cè)試中的成果，其中一個(gè)數(shù)字被污損，則甲的平均成果不超過(guò)乙的平均成果的概率為_(kāi)_______．0．3[依題意，記題中的被污損數(shù)字為x，若甲的平均成果不超過(guò)乙的平均成果，則有(8＋9＋12＋11)－(5＋3＋10＋x＋15)≤0，x≥7，即此時(shí)x的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成果不超過(guò)乙的平均成果的概率P＝eq\f(3,10)＝0.3.]三、解答題9．移動(dòng)公司在國(guó)慶期間推出4G套餐，對(duì)國(guó)慶節(jié)當(dāng)日辦理套餐的客戶進(jìn)行實(shí)惠，實(shí)惠方案如下：選擇套餐1的客戶可獲得實(shí)惠200元，選擇套餐2的客戶可獲得實(shí)惠500元，選擇套餐3的客戶可獲得實(shí)惠300元．國(guó)慶節(jié)當(dāng)天參與活動(dòng)的人數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示，現(xiàn)將頻率視為概率．(1)求從中任選1人獲得實(shí)惠金額不低于300元的概率；(2)若采納分層抽樣的方式從參與活動(dòng)的客戶中選出6人，再?gòu)脑?人中隨機(jī)選出2人，求這2人獲得相等實(shí)惠金額的概率．[解](1)設(shè)事務(wù)A為“從中任選1人獲得實(shí)惠金額不低于300元”，則P(A)＝eq\f(150＋100,50＋150＋100)＝eq\f(5,6).(2)設(shè)事務(wù)B為“從這6人中選出2人，他們獲得相等實(shí)惠金額”，由題意按分層抽樣方式選出的6人中，獲得實(shí)惠200元的有1人，獲得實(shí)惠500元的有3人，獲得實(shí)惠300元的有2人，分別記為：a1，b1，b2，b3，c1，c2，從中選出2人的全部基本領(lǐng)件如下：a1b1，a1b2，a1b3，a1c1，a1c2，b1b2，b1b3，b1c1，b1c2，b2b3，b2c1，b2c2，b3c1，b3c2，c1c2共15個(gè)．其中使得事務(wù)B成立的有b1b2，b1b3，b2b3，c1c2，共4個(gè)．則P(B)＝eq\f(4,15).故這2人獲得相等實(shí)惠金額的概率為eq\f(4,15).10．(2024·西安質(zhì)檢)某校高一年級(jí)學(xué)生全部參與了體育科目的達(dá)標(biāo)測(cè)試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的測(cè)試成果，整理數(shù)據(jù)并按分?jǐn)?shù)段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]進(jìn)行分組，假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，則得到體育成果的折線圖如圖所示．(1)體育成果大于或等于70分的學(xué)生常被稱為“體育良好”．已知該校高一年級(jí)有1000名學(xué)生，試估計(jì)該校高一年級(jí)中“體育良好”的學(xué)生人數(shù)；(2)為分析學(xué)生平常的體育活動(dòng)狀況，現(xiàn)從體育成果在[60,70)和[80,90)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求在抽取的2名學(xué)生中，至少有1人體育成果在[60,70)的概率．[解](1)由折線圖，知樣本中體育成果大于或等于70分的學(xué)生有14＋3＋13＝30(人)．所以該校高一年級(jí)中，“體育良好”的學(xué)生人數(shù)大約有1000×eq\f(30,40)＝750(人)．(2)設(shè)“至少有1人體育成果在[60,70)”為事務(wù)M，記體育成果在[60,70)的數(shù)據(jù)為A1，A2，體育成果在[80,90)的數(shù)據(jù)為B1，B2，B3，則從這兩組數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2個(gè)，全部可能的結(jié)果有10種，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)．而事務(wù)M的結(jié)果有7種，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，因此事務(wù)M的概率P(M)＝eq\f(7,10).B組實(shí)力提升1．甲邀請(qǐng)乙、丙、丁三人加入了微信群聊“兄弟”，為慶祝兄弟相聚甲發(fā)了一個(gè)9元的紅包，被乙、丙、丁三人搶完，已知三人均搶到整數(shù)元，且每人至少搶到2元，則丙獲得“手氣王”(即丙領(lǐng)到的錢數(shù)不少于其他任何人)的概率是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(3,10)C．eq\f(2,5) D．eq\f(3,4)C[全部基本領(lǐng)件有(2,2,5)，(2,5,2)，(5,2,2)，(2,3,4)，(2,4,3)，(3,2,4)，(3,4,2)，(4,2,3)，(4,3,2)，(3,3,3)，共10個(gè)，其中丙獲得“手氣王”的基本領(lǐng)件有(2,2,5)，(2,3,4)，(3,2,4)，(3,3,3)，共4個(gè)，故所求概率為P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).]2．(2024·威海月考)從集合{2,3,4,5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a，從集合{1,3,5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(1，－1)垂直的概率為()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,2)A[由題意可知m＝(a，b)有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12種狀況．因?yàn)閙⊥n，即m·n＝0，所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，滿意條件的有(3,3)，(5,5)共2個(gè)．故所求的概率為eq\f(1,6).]3．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{1,2,3,4}，定義映射f：M→N，則從中任取一個(gè)映射滿意由點(diǎn)A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))構(gòu)成△ABC且AB＝BC的概率為_(kāi)_______．eq\f(3,16)[∵集合M＝{1,2,3}，N＝{1,2,3,4}，∴映射f：M→N有43＝64種，∵由點(diǎn)A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))構(gòu)成△ABC且AB＝BC，∴f(1)＝f(3)≠f(2)，∵f(1)＝f(3)有4種選擇，f(2)有3種選擇，∴從中任取一個(gè)映射滿意由點(diǎn)A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))構(gòu)成△ABC且AB＝BC的事務(wù)有4×3＝12種，∴所求概率為eq\f(12,64)＝eq\f(3,16).]4．(2024·天津高考)已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參與愛(ài)心活動(dòng)．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)擔(dān)當(dāng)敬老院的衛(wèi)生工作．①試用所學(xué)字母列舉出全部可能的抽取結(jié)果；②設(shè)M為事務(wù)“抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)”，求事務(wù)M發(fā)生的概率．[解](1)由已知，甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．(2)①?gòu)某槿〉?名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{