第十七講長(zhǎng)方形和正方形2（思維拓展講義）四年級(jí)數(shù)學(xué)尖子生高分題庫(kù)教師版

第17講長(zhǎng)方形和正方形2知識(shí)概述知識(shí)概述上一講中我們討論了如何通過(guò)平移、轉(zhuǎn)化、分解、合并等方法，把復(fù)雜圖形變成我們學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形和正方形，從而用相關(guān)的公式進(jìn)行計(jì)算。這一講將繼續(xù)討論一些更為復(fù)雜的圖形的解題技巧。例題例題精學(xué)例1有一塊長(zhǎng)方形的土地，長(zhǎng)是寬的2倍，中間有一座雕塑，雕塑的底面是一個(gè)正方形，周?chē)遣萜?如右圖),草坪的面積是多少平方米(單位：米)?解20×(20÷2)1×1=20×101×1=2001=199(平方米)答：草坪的面積是199平方米。【思路點(diǎn)撥】草坪的面積就是長(zhǎng)方形土地的面積減去正方形雕塑的底面積。求長(zhǎng)方形的面積要知道長(zhǎng)和寬，現(xiàn)在已知長(zhǎng)是20米，是寬的2倍，可以先求出寬，再求出長(zhǎng)方形土地的面積。像這樣的圖形的面積可以用減法，它們的面積差就是我們要求的空白部分的面積。例題例題精學(xué)例2如右圖，是由6個(gè)相同的等腰直角三角形拼成的圖形，求這個(gè)圖形的面積(單位：分米)。解4×4÷4×6=16÷4×6=4×6=24(平方分米)答：這個(gè)圖形的面積是24平方分米。【思路點(diǎn)撥】這個(gè)圖形既不是長(zhǎng)方形，也不是正方形，像這樣不規(guī)則的圖形，一般是把它分解成我們學(xué)過(guò)的圖形來(lái)思考和計(jì)算。中間的正方形是由4個(gè)相同的三角形組成的，所以每個(gè)三角形的面積就只要用正方形的面積除以4即可。中間的正方形的面積是4×4=16(平方分米);那么一個(gè)三角形的面積就是16÷4=4(平方分米)。由于圖形是由6個(gè)相同的三角形拼成的，所以可以用一個(gè)三角形的面積乘6求出來(lái)。例題例題精學(xué)例3如右圖，已知大正方形的邊長(zhǎng)比小正方形多4厘米，大正方形的面積比小正方形多96平方厘米。求：大正方形和小正方形的面積各是多少?解(1)小正方形的邊長(zhǎng)：(964×4)÷2÷4=8O÷2÷4=10(厘米)(2)小正方形的面積是：10×10=100(平方厘米)(3)大正方形的面積是：(10+4)×(10+4)=14×14=196(平方厘米)或100+96=196(平方厘米)答：小正方形的面積是100平方厘米，大正方形的面積是196平方厘米。【思路點(diǎn)撥】已知大正方形的邊長(zhǎng)比小正方形的邊長(zhǎng)多4厘米，并且面積多96平方厘米。應(yīng)該從這里入手來(lái)解決問(wèn)題。如左下圖，96平方厘米是由a、b、c三部分組成的。a和c的面積是相等的，b是一個(gè)正方形，b圖形是一個(gè)邊長(zhǎng)為4厘米的正方形，它的面積就是16平方厘米，這三個(gè)圖形的面積總和是96平方厘米，這樣就可以知道a和c圖形的面積總和是9616=80(平方厘米)。a和c這兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積和是80平方厘米，每個(gè)長(zhǎng)方形的面積就是40平方厘米，而每個(gè)長(zhǎng)方形的寬是4厘米，這樣每個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就可以求出來(lái)了。這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是小正方形的邊長(zhǎng)，大正方形的邊長(zhǎng)也就很容易知道了。例題例題精學(xué)例4如下圖，正方形中套著一個(gè)長(zhǎng)方形，正方形的邊長(zhǎng)是15厘米，長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)，恰好分別把正方形四條邊都分成兩段，其中長(zhǎng)的一段都是短的2倍。這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是多少?解(1)小正方形的邊長(zhǎng)是：15÷(2+1)=15÷3=5(厘米)(2)大正方形的邊長(zhǎng)是：155=10(厘米)(3)長(zhǎng)方形的面積是：15×155×510×10=22525100=100(平方厘米)答：這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是100平方厘米?！舅悸伏c(diǎn)撥】用正方形的面積減去四個(gè)三角形的面積就可以求出長(zhǎng)方形的面積。我們可以使用移動(dòng)、合并的方法把兩個(gè)大三角形拼成一個(gè)大正方形，把兩個(gè)小三角形拼成一個(gè)小正方形。根據(jù)“長(zhǎng)的一段是短的2倍”,可以求出每個(gè)拼成的正方形的邊長(zhǎng)。把原來(lái)的正方形的邊長(zhǎng)分成三份，較小的正方形的邊長(zhǎng)就是15÷(2+1)=5(厘米),較大的正方形的邊長(zhǎng)就是155=10(厘米)。例題例題精學(xué)例5一張邊長(zhǎng)是7厘米的正方形紙片，最多能裁出多少?gòu)堥L(zhǎng)4厘米，寬1厘米的紙條?請(qǐng)畫(huà)圖說(shuō)明。解7×7=49(平方厘米)4×1=4(平方厘米)49÷4=12(個(gè))……1(平方厘米)(裁法如右圖所示，陰影部分無(wú)法利用)答：最多能裁出12張長(zhǎng)4厘米，寬1厘米的紙條?！舅悸伏c(diǎn)撥】可以先求出正方形紙片的面積，再求出每張紙條的面積。正方形紙片的面積中包含多少個(gè)小長(zhǎng)方形紙條的面積，就是小紙條的張數(shù)。小紙條的面積和不可能比正方形的面積大，經(jīng)過(guò)計(jì)算就可以知道正方形紙片中最多有幾張小紙條。有時(shí)候包含的個(gè)數(shù)不是整數(shù)該怎么辦?通常遇到這類(lèi)問(wèn)題還要畫(huà)示意圖，因?yàn)橛袝r(shí)候計(jì)算出來(lái)的結(jié)果和實(shí)際的結(jié)果之間存在一些差異。同步精練同步精練1.用48厘米長(zhǎng)的一根鐵絲圍成一個(gè)正方形，它的面積是多少?如果用這根鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)15厘米的長(zhǎng)方形，它的面積是多少?【答案】144平方厘米，135平方厘米2.有一個(gè)長(zhǎng)方形的市民廣場(chǎng)，長(zhǎng)100米，寬80米。廣場(chǎng)中間留了寬4米的人行80道，把廣場(chǎng)平均分成四塊(如右圖),每一塊的面積是多少?【答案】1824平方米3.右圖是由12個(gè)相同的等腰直角三角形拼成的，這個(gè)圖形的面積是多少(單位：厘米)?【答案】24平方厘米4.如圖，已知大正方形的面積比小正方形的面積多52平方分米，大正方形的邊長(zhǎng)比小正方形多2分米。小正方形和大正方形的面積各是多少?【答案】144平方分米，196平方分米5.上圖是由9個(gè)小長(zhǎng)方形組成的，按圖中編號(hào)，第1、2、3、4、5號(hào)的面積分別是1平方米、2平方米、3平方米、4平方米、5平方米。那么,第6號(hào)長(zhǎng)方形的面積是多少呢?【答案】7.5平方米6.把一塊長(zhǎng)6分米，寬5分米的長(zhǎng)方形鋼板，截成長(zhǎng)3分米，寬2分米的小長(zhǎng)方形鋼板，最多能截成幾塊?請(qǐng)畫(huà)圖說(shuō)明?！敬鸢浮?.5塊，截法如右圖7.如圖，一個(gè)正方形中套著一個(gè)長(zhǎng)方形，已知正方形的邊長(zhǎng)是20分米，長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)恰好把正方形四條邊都分成兩段，其中長(zhǎng)的一段都是短的4倍。陰影部分的面積是多少?【答案】272平方分米8.求下圖中陰影部分的面積(單位：米)?！敬鸢浮?8平方米課后作業(yè)課后作業(yè)1.用36厘米長(zhǎng)的一根鐵絲圍成一個(gè)正方形，它的面積是多少?用這根鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)15厘米的長(zhǎng)方形，它的面積是多少?【答案】正方形的面積是81平方厘米；長(zhǎng)方形的面積是45平方厘米。提示：鐵絲的長(zhǎng)度就是正方形的周長(zhǎng)，已知周長(zhǎng)是36厘米，那么邊長(zhǎng)就是36÷4=9(厘米),正方形的面積為9×9=81(平方厘米)。已知周長(zhǎng)是36厘米，長(zhǎng)是15厘米，那么寬為36÷215=3(厘米),長(zhǎng)方形的面積為15×3=45(平方厘米)。2.右面是由6個(gè)相等的三角形拼成的圖形，求這個(gè)圖形的面積。【答案】這個(gè)圖形的面積是24平方分米。提示：把這個(gè)圖形分成三部分，中間一個(gè)正方形，是由4個(gè)三角形組成，左、右各有1個(gè)三角形。中間正方形的邊長(zhǎng)為4分米，面積是4×4=16(平方分米);因?yàn)橹虚g是由4個(gè)相等的三角形組成的，所以每個(gè)三角形的面積是16÷4=4(平方分米);原來(lái)的圖形是由6個(gè)相等的三角形拼成的，面積是4×6=24(平方分米)。3.花園小學(xué)有一個(gè)長(zhǎng)方形的操場(chǎng)，長(zhǎng)24米，寬10米。操場(chǎng)中間留了寬2米的綠化帶，把操場(chǎng)平均分成四塊(如圖),每一塊的面積是多少?【答案】每一塊的面積為44平方米。提示：已知這塊操場(chǎng)的長(zhǎng)和寬，就能求出這塊操場(chǎng)的總面積(大長(zhǎng)方形),再減去綠化帶的面積，就等于四小塊操場(chǎng)的面積；也可以直接求出每小塊操場(chǎng)的長(zhǎng)和寬，從而求出每一小塊操場(chǎng)的面積。方法一。小操場(chǎng)的寬為(102)÷2=4(米);小操場(chǎng)的長(zhǎng)為(242)÷2=11(米);小操場(chǎng)的面積為11×4=44(平方米)。方法二。用大操場(chǎng)面積減綠化帶面積。在計(jì)算綠化帶的時(shí)候，要注意中間有一個(gè)重合部分，不要重復(fù)計(jì)算。2×24+2×102×2=64(平方米);24×1064=176(平方米);176÷4=44(平方米)。方法三。可以用平移的辦法(面積不變),將綠化帶平行移動(dòng)集中到操場(chǎng)的邊沿，這樣可以先求出四個(gè)小長(zhǎng)方形組成的大長(zhǎng)方形的面積，再除以4求出其中一個(gè)小長(zhǎng)方形面積。(242)x(102)÷4=22×8÷4=44(平方米)。4.在一個(gè)正方形的小花園周?chē)h(huán)繞著寬5米的小水池，水池面積為300平方米，小花園的面積是多少平方米?【答案】小花園的面積為100平方米。提示：要想求出小花園的面積，必須知道小正方形的邊長(zhǎng)或大正方形的面積，因此解題的關(guān)鍵就在于根據(jù)水池的面積求出小正方形邊長(zhǎng)或大正方形的面積(或邊長(zhǎng))。方法一。水池中的四個(gè)角上小正方形面積的和為：5×5×4=100(平方米),因此水池中的四個(gè)長(zhǎng)方形面積的和為：300100=200(平方米)。一個(gè)長(zhǎng)方形的面積為：200÷4=50(平方米)。長(zhǎng)方形的長(zhǎng)即小花園的邊長(zhǎng)，50÷5=10(米),小花園的面積是：10x10=100(平方米)。方法二。將小花園四周的水池按照下面的方式切割成為四個(gè)面積一樣的小長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的寬是5米，長(zhǎng)等于小花園的邊長(zhǎng)加5米。一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是：300÷4=75(平方米)。小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為：75÷5=15(米);小花園的邊長(zhǎng)為：155=10(米);小花園的面積是：10x10=100(平方米)。5.一個(gè)正方形，如果邊長(zhǎng)增加2厘米，它的面積增加16平方厘米，求原來(lái)正方形的面積?！敬鸢浮吭瓉?lái)正方形的面積為9平方厘米。提示：增加的部分可以看作三個(gè)部分，如右圖。陰影部分也是一個(gè)小正方形，它的面積是2×2=4(平方厘米)。164=12(平方厘米),就是兩個(gè)面積一樣的長(zhǎng)方形的面積，每個(gè)長(zhǎng)方形的面積就是12÷2=6(平方厘米),長(zhǎng)方形的寬是2厘米，6÷2=3(厘米)就是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)。所以，原來(lái)正方形的邊長(zhǎng)就是3厘米，面積就是3×3=9(平方厘米)。6.如圖，大正方形的邊長(zhǎng)比小正方形的邊長(zhǎng)多3厘米，大正方形的面積比小正方形多39平方厘米。大正方形和小正方形的面積各是多少?【答案】小正方形面積為25平方厘米，大正方形面積為64平方厘米。提示：如圖，把大正方形面積比小正方形面積多的39平方厘米分為a、b、c三個(gè)部分，其中b是正方形，面積是3×3=9(平方厘米),a和c面積相等，它們的面積和為399=30(平方厘米),所以a和c的面積各是30÷2=15(平方厘米)。因?yàn)榇笳叫蔚倪呴L(zhǎng)比小正方形的邊長(zhǎng)多3厘米，所以長(zhǎng)方形a的寬為3厘米，長(zhǎng)為15÷3=5(厘米),也就是小正方形的邊長(zhǎng)為5厘米，大正方形的邊長(zhǎng)為5+3=8(厘米)。小正方形的面積：5×5=25(平方厘米)。大正方形的面積：(5+3)x(5+3)=8×8=64(平方厘米)。7.如圖，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是6厘米，重疊部分是一個(gè)邊長(zhǎng)為3厘米的小正方形。求圖中陰影部分的面積?！敬鸢浮筷幱安糠值拿娣e是54平方厘米。提示：根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)是6厘米，可以先求出正方形的面積為6x6=36(平方厘米),重疊部分(即空白部分)的面積為3×3=9(平方厘米)。陰影部分的面積為(369)×2=54(平方厘米)。8.如圖，正方形中套著一個(gè)長(zhǎng)方形，正方形的邊長(zhǎng)是20厘米，長(zhǎng)方形的四個(gè)角的頂點(diǎn)，恰好分別把正方形四條邊都分成兩段，其中長(zhǎng)的一段是短的3倍，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是多少?【答案】長(zhǎng)方形的面積是150平方厘米。提示：直接求長(zhǎng)方形的面積很難，可以換個(gè)角度去思考，用正方形的面積減去四個(gè)小三角形的面積就等于長(zhǎng)方形的面積。仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)大三角形通過(guò)移動(dòng)、合并，可以拼成一個(gè)正方形，同樣的道理，兩個(gè)小三角形也可以拼成一個(gè)正方形，這樣只要求出兩個(gè)拼成的正方形的面積就可以求出長(zhǎng)方形的面積了。根據(jù)“長(zhǎng)的一段是短的一段的3倍”,可以知道小正方形的邊長(zhǎng)是20÷(3+1)=20÷4=5(厘米),大正方形的邊長(zhǎng)是205=15(厘米)。長(zhǎng)方形的面積是：20×2015×155×5=40022525=150(平方厘米)。9.右圖是由9個(gè)小長(zhǎng)方形組成的，按圖中編號(hào)，第1,2,3,4,5號(hào)的面積分別是1平方米，2平方米，3平方米，4平方米，5平方米，那么,第6號(hào)長(zhǎng)方形的面積是多少呢?2456【答案】6號(hào)圖形的面積是7.5平方厘米。提示：2號(hào)圖形的面積是1號(hào)圖形面積的2倍，2號(hào)圖形和1號(hào)圖形有共同邊，那么2號(hào)圖形的另外一條邊的長(zhǎng)度就是1號(hào)圖形的2倍；3號(hào)圖形面積是1號(hào)圖形面積的3倍，它們的寬相等，所以3號(hào)圖形的長(zhǎng)是1號(hào)圖形的3倍；由此可知，3號(hào)。和6號(hào)之間的這個(gè)長(zhǎng)方形的