27.1.2 圓的對稱性 華東師大版數(shù)學(xué)九年級下冊導(dǎo)學(xué)課件

27.1圓的認(rèn)識(shí)第27章圓27.1.2圓的對稱性逐點(diǎn)學(xué)練本節(jié)小結(jié)作業(yè)提升本節(jié)要點(diǎn)1學(xué)習(xí)流程2圓的旋轉(zhuǎn)不變性弧、弦、圓心角之間關(guān)系定理的推論圓的軸對稱性垂徑定理的推論知識(shí)點(diǎn)圓的旋轉(zhuǎn)不變性11.圓的旋轉(zhuǎn)不變性圓是中心對稱圖形，圓心就是它的對稱中心.圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，所得的圖形都與原圖形重合.2.弧、弦、圓心角之間的關(guān)系定理：在同一個(gè)圓中，如果圓心角相等，那么它們所對的弧相等，所對的弦相等.實(shí)際上，在等圓中，上述關(guān)系定理也同樣成立.警示誤區(qū)不能忽略在同一個(gè)圓中這個(gè)前提，如果丟掉了這個(gè)前提，即使圓心角相等，所對的弧、弦也不一定相等.如圖27.1-8，兩個(gè)圓的圓心相同，AB與A′B′對應(yīng)的圓心角相等，但AB≠A′B′，AB≠A′B′.︵︵︵︵3.

示例：弧、弦、圓心角的關(guān)系.如圖27.1-7，∠AOB=∠A′OB′AB

=A′B′，AB=A′B′.︵︵例1如圖27.1-9，AB，CD

是⊙O的兩條直徑，弦CE∥AB，求證：BC=AE.︵︵解題秘方：構(gòu)造圓心角，利用“相等的圓心角所對的弧相等”證明.證明：如圖27.1-9，連結(jié)OE.∵OE=OC，∴∠C=∠E.∵CE∥AB，∴∠C=∠BOC，∠E=∠AOE.∴∠BOC=∠AOE.∴BC=AE.︵︵1-1.如圖，點(diǎn)C是⊙O上的點(diǎn)，CD⊥半徑OA于D，CE⊥半徑OB于E，且CD=CE，求證：AC

=BC.︵︵︵︵知識(shí)點(diǎn)弧、弦、圓心角之間關(guān)系定理的推論21.

推論(1)在同一個(gè)圓中，如果弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等.(2)在同一個(gè)圓中，如果弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧相等.2.弦和弦心距(圓心到弦的距離)之間的關(guān)系在同一個(gè)圓中，如果兩條弦的弦心距相等，那么這兩條弦相等.拓寬視野在同一個(gè)圓中，四個(gè)量之間的關(guān)系可表示為圓心角相等所對的弧相等所對的弦相等對應(yīng)的弦心距相等如圖27.1-10，在⊙O

中，AB=CD，則在①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④AC=BD中，正確的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2C.3 D.4例2解題秘方：緊扣弧、弦、圓心角之間關(guān)系定理的推論判斷.︵︵︵︵答案：D解：∵AB=CD，∴AB=CD，故①正確.∵AB=CD，∴AC=BD.∴AC=BD，∠AOC=∠BOD，故②③④正確.︵︵︵︵︵︵2-1.如圖，已知AB，CD是⊙O

的兩條弦，OE，OF

分別為AB，CD

的弦心距，如果AB=CD，則可得出結(jié)論：_________________________.(至少填寫兩個(gè))OE＝OF，∠COD＝∠AOB(答案不唯一)知識(shí)點(diǎn)圓的軸對稱性31.

圓是軸對稱圖形，它的任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸.(1)圓的對稱軸有無數(shù)條.(2)“圓的對稱軸是直徑所在的直線”或說成“圓的對稱軸是經(jīng)過圓心的直線”.2.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧.特別提醒1.“垂直于弦的直徑”中的“直徑”，還可以是垂直于弦的半徑或過圓心垂直于弦的直線.其實(shí)質(zhì)是：過圓心且垂直于弦的線段、直線均可.2.“兩條弧”是指弦所對的劣弧和優(yōu)弧，不要漏掉了優(yōu)弧.可用幾何語言表述為如圖27.1-11，CD是直徑CD⊥ABAE=BE，AD=BD，AC=BC.︵︵︵︵

例3解題秘方：構(gòu)造垂徑定理的基本圖形解題.把半徑、圓心到弦的垂線段、弦的一半構(gòu)建在一個(gè)直角三角形里是解題的關(guān)鍵.

答案：B利用勾股定理列方程

C如圖27.1-13，在⊙O

中，AB為⊙O

的弦，C，D是直線AB上的兩點(diǎn)，且AC=BD.求證：△OCD

為等腰三角形.例4解題秘方：構(gòu)建垂徑定理的基本圖形結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)證明.作垂直于弦的半徑(或直徑)或連半徑，是常用的作輔助線的方法.證明：過點(diǎn)O

作OM⊥AB，垂足為M，如圖27.1-13.∵OM⊥AB，∴AM=BM.∵AC=BD，∴CM=DM.又∵OM⊥CD，∴OC=OD.∴△OCD為等腰三角形.4-1.如圖，已知在以點(diǎn)O

為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB

交小圓于點(diǎn)C，D．若大圓的半徑R=10，小圓的半徑r=8，且圓心O

到直線AB的距離為6，求AC

的長.知識(shí)點(diǎn)垂徑定理的推論41.

推論：(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對的兩條??；(2)平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦.2.

示例：(1)如圖27.1-14，CD是⊙O的直徑，AB是弦(非直徑)，AB

與CD

相交于點(diǎn)E，且AE=BE，那么CD

垂直于AB，并且AC=CB，AD=DB.︵︵︵︵(2)如圖27.1-14，CD是⊙O

的直徑，AB與CD

相交于點(diǎn)E，且AD=BD，那么CD

垂直于AB，并且AE=BE.︵︵可用幾何語言表述為︵(1)CD是直徑AE=BEAB不是直徑CD⊥AB，AD=BD，AC=BC.︵︵︵(2)CD

是直徑AD=BDCD⊥AB，AE=BE.︵︵拓寬視野對于圓中的一條直線，如果具備下列五個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么一定具備其他三個(gè)：(1)過圓心；(2)垂直于弦；(3)平分弦(非直徑)；(4)平分弦所對的劣??；(5)平分弦所對的優(yōu)弧.簡記為“知二推三”如圖27.1-15，AB，CD

是⊙O的弦，M，N分別為AB，CD

的中點(diǎn)，且∠AMN=∠CNM.求證：AB=CD.例5解題秘方：緊扣弦的中點(diǎn)作符合垂徑定理推論的基本圖形，再結(jié)合全等三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行證明.證明：如圖27.1-15，連結(jié)OM，ON，OA，OC.∵O

為圓心，且M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，∴AB=2AM，CD=2CN，OM⊥AB，ON⊥CD.∴∠OMA=∠ONC=90°.∵∠AMN=∠CNM，∴∠OMN=∠ONM.∴OM=ON.又∵OA=OC，∴Rt△OAM≌Rt△OCN.∴AM=CN.∴AB=CD.

如圖27.1-16，要把殘破的圓片復(fù)制完整.已知弧上的三點(diǎn)A，B，C，用尺規(guī)作圖找出ABC所在圓的圓心(保留作圖痕跡).例6︵解題秘方：緊扣垂徑定理的推論，利用垂直平分弦的直線經(jīng)過圓心來找圓心.解：如圖27.1-16，連結(jié)AB，BC，分別作AB，BC的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點(diǎn)即為所求圓的圓心.6-1.一塊圓形宣傳標(biāo)志牌如圖所示，點(diǎn)A，B，C

在⊙O

上，CD垂直平分AB

于點(diǎn)D．現(xiàn)測得AB=8dm，DC=2dm，則圓形標(biāo)志牌的半徑為_______.5dm如圖27.1-17，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(AB)，點(diǎn)O

是這段弧所在圓的圓心，點(diǎn)C

是AB的中點(diǎn)，半徑OC與AB相交于點(diǎn)D，AB=120m，CD=20m，求這段彎路所在圓的半徑.︵例7︵解題秘方：緊