浙教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)舉一反三系列 專(zhuān)題12 二次根式的乘除【九大題型】

專(zhuān)題L2二次根式的乘除【九大題型】

【浙教版】

【逑型?求字母的取值范圍】....................................................................1

【題型2二次根式乘除的運(yùn)算】.................................................................2

【題型3二次根式的符號(hào)化簡(jiǎn)】.................................................................4

【題型4最簡(jiǎn)二次根式的判斷】.................................................................6

【題型5化為最簡(jiǎn)二次根式】....................................................................7

【題型6已知最簡(jiǎn)二次根式求參數(shù)】.............................................................9

【題型7分母有理化】.........................................................................10

【題型8比較二次根式的大小】.................................................................12

【題型9分母有理化的應(yīng)用】...................................................................13

【知識(shí)點(diǎn)1二次根式的乘除法則】

①二次根式的乘法法則：'的="'不'（。>0,*20）；

②積的算術(shù)平方根：、'力二?,6（。之0，八°）；

4=&QN0b>0）

③二次根式的除法法則：uV’；

^=￡（■20/>0）

④商的算術(shù)平方根：7?^.

【題型1求字母的取值范圍】

【例1】（2022春?趙縣校級(jí)月考）若要使等式E成立，則X的取值范校是心>8.

【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)而得出關(guān)于工的不等式匆求出答案.

日￡

【解答】解：?.?等式聞尸8種成立，

XN0

X-8>0

則X的取值范圍是：x>8.

故答案為：x>8.

【變式1-1】（2022秋?犍為縣校級(jí)月考）已知A-3）?（2）='口.vTTI使等式成立的x的

取值范圍是一-2?3.

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出關(guān)于x的不等式組，進(jìn)而求出答案.

【解答】解：?:/a-3）,（7-Z）=6-x喊+2

j3-x^0

??L+220，

解得：-2WxW3.

故答案為：?2WxW3.

【變式1-2］（2022秋?南崗區(qū)期末）能使等式,一丁一下成立II勺x的取值范圍是（）

A.x>0B.x20C.x>2D.#22

【分析】根據(jù)二次根式和分式有意義的條件進(jìn)行解答即可.

【解答】解：由題意得：

尸22C

（

x>09

解得：G2,

故選：

【變式1-3】（2022?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足,3r則x的取值范圍是0WxW2.

【分析】依據(jù)二次根式被開(kāi)方數(shù)大于等于。和而=a（a20）列不等式組求解即可.

【解答】解：:原式=Jar*、.

???在0旦2-42（）.

解得：（）WxW2.

故答案為：0WxW2.

【題型2二次根式乘除的運(yùn)算】

【例2】（2022?長(zhǎng)寧區(qū)期中）計(jì)算：

【分析】（1）利用二次根式的乘法法則計(jì)算即可.

（2）根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【解答】解：⑴原式=5?33#

x-x^X6x12=甲

(2)原式=225

【變式2-1]（2022?長(zhǎng)寧區(qū)期中）計(jì)算；2

【分析】直接利用二次根式的乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求出答案.

x8m3

【解答】解：原式=2X6

=12

:歷F-捻》（-師G。）

【變式2-2]（2022?青浦區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：

【分析】根據(jù)二次根式的乘除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.

【解答】解：物3N0,

r.y^O,

府

???原式4

（Y炳

4xy(/

【變式3-1］（2022?自貢期中）把二次根式號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)為（）

1YD.一口

ASB.c

【分析1根據(jù)二次根式的性質(zhì)先判斷。的符號(hào)，然后再進(jìn)行計(jì)算.

【解答】解：由題意可知,0,

故選：D.

【變式3-2］（2022?張家港市校級(jí)期末）將（2-x）耳根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)，得（）

C.-2"2一工口.一后

B.

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出x-2的符號(hào)，進(jìn)而化簡(jiǎn)二次根式得出即可.

【解答】解：由題意可得：x-2＞（）,

則原式

故選：D.

根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)結(jié)果為二13^

【變式3-3］（2022春?龍口市期中）把（〃-〃）

【分析】先根據(jù)二次根式成立的條件得到0,則a-bVO,所以原式變形為-"-4）

然后利用二次根式的性質(zhì)得到一、'"~°），?J三,再利用二次根式的乘法得到

j…）工再約分即可.

【解答】解：0.

\*a-b<(),

原式=?（…）k=小—±=-g.

故答案為.歷^

【知識(shí)點(diǎn)2最簡(jiǎn)二次根式】

我們把滿(mǎn)足①被開(kāi)方數(shù)不含分母；②被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.

這兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.

【題型4最簡(jiǎn)二次根式的判斷】

J23

【例4】（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）在小、=、迎8、一L中，最簡(jiǎn)二次根式是一a、、”-一

【分析】判定?個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件是否同

時(shí)滿(mǎn)足，同時(shí)滿(mǎn)足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是.

㈤_(kāi)____

【解答】解：‘、“2是最簡(jiǎn)二次根式,

3_

故答案為："I.

【變式4-1］（2022春?曲靖期末）下列二次根式中屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）

1

AV4SR舊「JD、標(biāo)

A.15.1L）.

【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義：被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，被開(kāi)方數(shù)中不含分母,

即可解答.

【解答】解：A、囪=4b，故A不符合題意：

B、舊是最簡(jiǎn)二次根式，故B符合題意；

口=史

c、7’\故c不符合題意；

D、V4fl+4=2"+I,故。不符合題意；

故選：B.

【變式4-2X2022秋?玉田縣期末）下列各式:①G②標(biāo)”③丁④加^'是最簡(jiǎn)二次根式的是（填

序號(hào)）.

【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的被開(kāi)方數(shù)不含分母；被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，可得答案.

_____在

【解答】解：②""I③―是最簡(jiǎn)二次根式，

故答案為：②③.

【變式4.3】（2022春?建昌縣期末）在二次根式1、R內(nèi)、后7V40?尸守中，是最簡(jiǎn)二

次根式的共有個(gè).

【分析】結(jié)合選項(xiàng)根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念求解即可.

【解答】解：二次根式4、圾現(xiàn)后較，聞^J。十』中,是最簡(jiǎn)二次根

式的是屈、后較，尸尸，

故答案為：3

【題型5化為最簡(jiǎn)二次根式】

【例5】（2022春?安陽(yáng)期末）下列二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)與另外三個(gè)不同的是（）

AV2口《疝r(nóng)V2Sn

A.D.JL）

【分析】先把8、C、?；勺詈?jiǎn)二次根式，再找被開(kāi)方數(shù)不同的項(xiàng).

【解答】解：:◎是最簡(jiǎn)二次根式，

???化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同的是A、B、D.

故選：C.

【變式5-1］（2022春?番禺區(qū)期末）把卜.列二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式

⑶片

【分析】(1)直接利用二次根式的除法運(yùn)算法則性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案;

(2)直接利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案；

(3)直接利用二次根式的除法運(yùn)算法則性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案.

a

100

【解答】解：⑴N”

⑵m=4Q

⑶GH3.

【變式5-2](2022秋?合浦縣月考)把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式

27八第"

(1)$J27；

(2)一〒《京.

【分析】本題需先將二次根式分母有理化，分了?的被開(kāi)方數(shù)中，能開(kāi)方的也要移到根號(hào)外.

二￡1曰=的

【解答】解：⑴原式3病53事炯1

(2)當(dāng)。，c同為正數(shù)時(shí)，原式2'可""

=~￥xTx1^=--

當(dāng)〃，c同為負(fù)數(shù)時(shí)，原式2()^

當(dāng)c=0時(shí)，原式=().

【變式5-3](2022秋?安岳縣期末)化成最簡(jiǎn)二次根式是d_y

【分析】對(duì)被開(kāi)方數(shù)的分母進(jìn)行因式分解，然后約分；最后將二次根式的被開(kāi)方數(shù)的分母有理化，化簡(jiǎn)

求解.

=

①當(dāng)y＞。時(shí)，上式

②當(dāng)yvo時(shí)，上式y(tǒng)；

JW1）

故答案是：土x.

【題型6已知最簡(jiǎn)二次根式求參數(shù)】

【例6】（2022春?浙河區(qū)校級(jí)期區(qū)）若二次根式15。*3是最簡(jiǎn)二次根式,則最小的正整數(shù)〃為2.

【分析】判定一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件是否同

時(shí)滿(mǎn)足，同時(shí)滿(mǎn)足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是.

【解答】解：若二次根式+3是最簡(jiǎn)二次根式,則最小的正整數(shù)。為2,

故答案為：2.

【變式6-1］（2022春?武江區(qū)校級(jí)期末）若8是最簡(jiǎn)二次根式，則〃的值可能是（）

3

A.-4B.：C.2D.8

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件判斷A選項(xiàng)；根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母;

（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式判斷&C,0選項(xiàng).

【解答】解：A選項(xiàng)，二次根式的被開(kāi)方數(shù)不能是負(fù)數(shù)，故該選項(xiàng)不符合題意；

B選項(xiàng)，722,故該選項(xiàng)不符合題意；

c選項(xiàng)，是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)符合題意；

。選項(xiàng)，、隼=2故該選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【變式6-2］（2022秋?崇川區(qū)校級(jí)期末）若加^和同都是最簡(jiǎn)二次根式，則〃?=_1_，〃=_2

【分析】利用最簡(jiǎn)二次根式定義列出方程組，求出方程組的解即可得到/〃與〃的值.

【解答】解：???若”和a都是最簡(jiǎn)二次根式,

pn+n-2=1

13m-20+2=1

??，

解得：〃7=1,〃=2,

故答案為：1；2.

【變式6-3］（2022春?寧都縣期中）已知：最簡(jiǎn)二次根式V石彳1與''Z的被開(kāi)方數(shù)相同，則“+〃=8.

【分析】已知兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式的被開(kāi)方數(shù)相同，因此它們是同類(lèi)二次根式，即：它們的杈指數(shù)和被開(kāi)

方數(shù)相同，列出方程組求解即可.

=5

【解答】解：由題意，得:9

：.a+b=S.

【知識(shí)點(diǎn)3分母有理化】

①分母有理化是指把分母中的根號(hào)化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母

組成平方差公式；

②兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，它們的積不含二次根式，這樣的兩個(gè)代數(shù)式成互為有理化因式.一個(gè)

二次根式的有理化因式不止一個(gè).

【題型7分母有理化】

癡

【例7】（2022秋?曲陽(yáng)縣期末）把E化去分母中的根號(hào)后得（）

2，那

A.4brD.

【分析】根據(jù)二次根式的乘除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：ab>0,即。>0,/?>0：

故選：D.

【變式7-1］（2022?沂源縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）分母有理化:

【分析】根據(jù)分母有理化的一股步驟計(jì)算即可.

1=￡=￡

【解答】解：（1）市用?

故答案為:2

【變式7-2］（2022春?海淀區(qū)校級(jí)期末）下列各式互為有理化因式的是（）

A.6時(shí)而口

B.

百一0-百十熄

Cz?1n

【分析】根據(jù)有理化因式定義：如果兩個(gè)含有二次根式的非零代數(shù)式相乘，它們的積不含有二次根式,

就說(shuō)這兩個(gè)非零代數(shù)式互為有理化因式，結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)中兩個(gè)代數(shù)式特征作出判斷即可.

【解答】解：4.6”-―一b="（a+b）（a-"因此和而口不是有理化因式，故

選項(xiàng)A不符合題意;

B.一、包8=二，所以-〃和“是有理化因式，因此選項(xiàng)8符合題意；

c.（、弓-、%（-代+e）=.（$-0）2,所以代-6和-d+q不是有理

化因式，因此選項(xiàng)C不符合題意；

、萬(wàn)+cv'o+vExz、石+吊升v'S+a和、萬(wàn)+vs

D.（xy）、,.（x（y）—（xy）2,因此xy和xy

不是有理化因式，所以選項(xiàng)。不符合題意；

故選：B.

【變式7-3］（2022?寶山區(qū)校級(jí)月考）分母有理化：產(chǎn)

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及運(yùn)算法則即可求出答案.

【解答】解：原式

一

_3vT&**，、7

=~2-

【題型8比較二次根式的大小】

【例8】（2022春?海淀區(qū)校級(jí)期末）設(shè)。=2&-3,『\則。、〃大小關(guān)系是（）

A.a—bB.a>bC.a<bD.a>-b

【分析】本題考查二次根式，先求出〃的值，再與。比較得出結(jié)果.

【解答】解：??Z=2片-3

J_1

.,=1=2d=一0&%

??力（23）

所以a>b.

故選:B.

汨，0=2?小，則。，》的關(guān)系是（

【變式8-1］（2022春?金鄉(xiāng)縣期中）已知。)

A.相等B.互為相反數(shù)

C.互為倒數(shù)D.互為有理化因式

【分析】求出〃與〃的值即可求出答案.

【解答】解：*

??a=b.

故選:A.

E2

【變式8-2］（2022春?長(zhǎng)興縣期中）二次根式$的大小關(guān)系是（）

【分析1本題可先將各式分母有理化，然后再比較它們的大小.

【解答】解：將三個(gè)二次根式化成同分母分?jǐn)?shù)比較：

故選：C.

【變式8-3］（2022秋?雨城區(qū)校級(jí)期中）利用作商法比較大小

比較/吁2與e?'的大小.

【分析】根據(jù)作商比較法，看最后的比值與1的大小關(guān)系，從而可以解答本題.

【題型9分母有理化的應(yīng)用】

【例9】（2022春?大連月考）閱讀材料：

黑白雙雄、縱橫江湖；雙劍合璧、天下無(wú)敵.這是武俠小說(shuō)中的常見(jiàn)描述，其意是指兩個(gè)人合在一起，

取長(zhǎng)補(bǔ)短，威力無(wú)比.在二次根式中也有這種相輔相成的“對(duì)子”.如：（2+6）（2-、*）=］,

（（67）=3,它們的積不含根號(hào)，我們說(shuō)這兩個(gè)二次根式互為有理化因式，其中

1_―

一個(gè)是另一個(gè)的有理化因式.于是，二次根式除法可以這樣理解：如R-W-彳，

2fl—

（2-S1M2-H1）.像這樣，通過(guò)分子、分母同乘以一個(gè)式子把分母中的根號(hào)化去或把根

號(hào)中的分母化去，叫做分母有理化.

解決問(wèn)題：

2V2

（1）4'.的有理化因式可以是4一/,式5分母有理化得二.

（2）計(jì)算：

_VJ-1_9H

②已知：x—即，丁—H,求f+）2的值.

【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；

（2）①原式各項(xiàng)分母有理化，合并即可得到結(jié)果；

②將人與y分母有理化后代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果.

--2衛(wèi)

【解答】解：（1）4.?的有理化因式可以是4-壽分母有理化得：1；

故答案為：4一“；7

⑵①原式=G-1+書(shū)-森+…+頻-加二麗-匚2。門(mén)-卜

②=耐=2?回），=m=2+回

.—+9=7-4仃+7+4々=14.

【變式9-1】（2022?潮南區(qū)模擬）”分母有理化”是根式運(yùn)算的一種化簡(jiǎn)方法，如：三門(mén)-古石百F-7+46；

、'4+V7-V4—V7

除此之外，還可以用先平方再開(kāi)方的方法化簡(jiǎn)一些有特點(diǎn)的無(wú)理數(shù)，如要化簡(jiǎn)，可以

=V*4+v7—V14-V7、'4+"—V4—47

先設(shè)x，再兩邊平方得f=（）

./?—<7-J（4+VT）（4—V7）=（4+v7->V4-。，=0

Jv/一、/2.2,又因?yàn)?，故?gt;0,解得x"

J4+V7—，4—V7=V2+，8+4."—<8-4V1

,根據(jù)以上方法，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）

A.3-2B.3+2C.4D.3

【分析】直接利用有理化因式以及二次根式的性質(zhì)、完全平方公式分別化簡(jiǎn)得出答案.

=+4^5—-4^

【解答】解：設(shè)x

兩邊平方得,=（辰硒-JEZ7“+8?-正而二甌,

???，

：,x>0,

-70

??X—29

.Vi-vl.

原式一赤^2戊

a.

一中2◎

—42

=3.

故選：D.

【變式9-2]（2022?普定縣模擬）閱讀以下材料：將分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化.分母有理化的

1_\廉—十=6

75"石5=商=國(guó)

方法，一般是把分子分母都乘以同一個(gè)適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式，使分母不含根號(hào).例如:

（1）將西1分母有理化可得&1

5

（2）關(guān)于x的方程3x的解是

【分析】（1）根據(jù)材料進(jìn)行分母有理化即可；

（2）先分母有理化，再根據(jù)式子的規(guī)律即可求解.

1_

【解答】解：⑴屈gx’-i）1

故答案為：

⑵力十力+后+號(hào)十…+^^,

RT瘋+

3x,

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