高中數(shù)學(xué)解析幾何解題方法

高考專(zhuān)題：解析幾何常規(guī)題型及方法

本章節(jié)處理方法建議：

縱觀2006年全國(guó)各省市18套文、理高考試卷，普遍有一個(gè)規(guī)律：占解幾分值接近一

半的填空、選擇題難度不大，中等及偏上的學(xué)生能將對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)收入囊中；而占解幾分值一

半偏上的解答題得分很不理想，其原因主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）解析幾何是代數(shù)與

幾何的完美結(jié)合，解析幾何的問(wèn)題可以涉及函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何、數(shù)列、向

量等知識(shí)，形成了軌跡、最值、對(duì)稱(chēng)、范圍、參系數(shù)等多種問(wèn)題，因而成為高中數(shù)學(xué)綜合

能力要求最高的內(nèi)容之一（2）解析幾何的計(jì)算量相對(duì)偏大（3）在大家的“拿可拿之分”

的理念下，大題的前三道成了兵家必爭(zhēng)之地，而排放位置比較尷尬的第21題或22題（有

時(shí)20題）就成了很多人遺忘的角落，加之時(shí)間的限制，此題留白的現(xiàn)象比較普遍。

鑒于解幾的特點(diǎn)，建議在復(fù)習(xí)中做好以下幾個(gè)方面.1.由于高考中解幾內(nèi)容彈性很

大。有容易題，有中難題。因此在復(fù)習(xí)中基調(diào)為狠抓基礎(chǔ)。不能因?yàn)楦呖贾械慕鈳捉獯痤}

較難，就拼命地去搞難題，套新題，這樣往往得不償失；端正心態(tài)：不指望將所有的題攻

下，將時(shí)間用在鞏固基礎(chǔ)、對(duì)付“跳一跳便可夠得到”的常規(guī)題上，這樣復(fù)習(xí)，高考時(shí)就

能保證首先將選擇、填空題拿下，然后對(duì)于大題的第一個(gè)小問(wèn)爭(zhēng)取得分，第二小題能拿幾

分算幾分。

三、高考核心考點(diǎn)

1、準(zhǔn)確理解基本概念（如直線(xiàn)的傾斜角、斜率、距離、截距等）

2、熟練掌握基本公式（如兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、斜率公式、定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式、到角公式、夾角

公式等）

3、熟練掌握求直線(xiàn)方程的方法（如根據(jù)條件靈活選用各種形式、討論斜率存在和不存在的各種情況、截距是否為。等

等）

4,在解決直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系問(wèn)題中，要善于運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)以減少運(yùn)算

5、了解線(xiàn)性規(guī)劃的意義及簡(jiǎn)單應(yīng)用

6、熟悉圓錐曲線(xiàn)中基本量的計(jì)算

7、掌握與圓錐曲線(xiàn)有關(guān)的軌跡方程的求解方法（如：定義法、直接法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法、幾何法、待定系

數(shù)法等）

8、掌握直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的常見(jiàn)判定方法，能應(yīng)用直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系解決一些常見(jiàn)問(wèn)題

四、常規(guī)題型及解題的技巧方法

A:常規(guī)題型方面

（1）中點(diǎn)弦問(wèn)題

具有斜率的弦中點(diǎn)問(wèn)題，常用設(shè)而不求法（點(diǎn)差法）：設(shè)曲線(xiàn)上兩點(diǎn)為，，代入方程，然后

兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式，消去四個(gè)參數(shù)。

典型例題給定雙曲線(xiàn)。過(guò)A（2,1）的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)及，求線(xiàn)段的中點(diǎn)P

的軌跡方程。

分析：設(shè)，代入方程得，。

兩式相減得

又設(shè)中點(diǎn)P(x,y),將代入，當(dāng)時(shí)得

又，

代入得?

當(dāng)弦斜率不存在時(shí)，其中點(diǎn)P(2,0)的坐標(biāo)也滿(mǎn)足上述方程。

因此所求軌跡方程是

說(shuō)明：本題要注意思維的嚴(yán)密性，必須單獨(dú)考慮斜率不存在時(shí)的情況。

(2)焦點(diǎn)三角形問(wèn)題

橢圓或雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)P,與兩個(gè)焦點(diǎn)、構(gòu)成的三角形問(wèn)題，常用正、余弦定理搭橋。

典型例題設(shè)P(x,y)為橢圓上任一點(diǎn)，，為焦點(diǎn)，，。

⑴求證離心率eJ皿a+/)；

sina+sin尸

(2)求的最值。

分析：(1)設(shè)，，由正弦定理得。

得，

_c_sin(a+0)

e——

asina+sin?

(2)。

當(dāng)時(shí)，最小值是；

當(dāng)X=±。時(shí)，最大值是。

(3)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系問(wèn)題

直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合

的辦法

典型例題

（1）求證：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)總有兩個(gè)不同交點(diǎn)

（2）設(shè)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)為A、B,且0A1.0B,求p關(guān)于t的函數(shù)f（t）的表達(dá)式。

（1）證明：拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為

由直線(xiàn)x+y=tVx軸的交點(diǎn)（t,0）在準(zhǔn)線(xiàn)右邊，得

故直線(xiàn)與拋物線(xiàn)總有兩個(gè)交點(diǎn)。

（2）解：設(shè)點(diǎn)A（xi，yi）,點(diǎn)Bg,y2）

（4）圓錐曲線(xiàn)的有關(guān)最值（范圍）問(wèn)題

圓錐曲線(xiàn)中的有關(guān)最值（范圍）問(wèn)題，常用代數(shù)法和幾何法解決。

<1>若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來(lái)解決。

<2>若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)（通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式）

求最值。

典型例題

已知拋物線(xiàn)y2=2px（p>0）,過(guò)M（a,0）且斜率為1的直線(xiàn)L與拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)A、B,|AB|W2P

（1）求a的取值范圍；（2）若線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交x軸于點(diǎn)N,求^NAB面積的最大值。

分析：這是一道直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系的問(wèn)題，對(duì)于（1）,可以設(shè)法得到關(guān)于a的不等式，通過(guò)解不等式求出a

的范圍，即：“求范圍，找不等式”?；蛘邔表示為另一個(gè)變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a的范圍；對(duì)于（2）

首先要把4NAB的面積表示為一個(gè)變量的函數(shù)，然后再求它的最大值，即：“最值問(wèn)題，函數(shù)思想”。

解：（1）直線(xiàn)L的方程為：y=x-a,將y=x-a代入拋物線(xiàn)方程y?=2px,得：設(shè)直線(xiàn)L與拋物線(xiàn)兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A

4（a+p）-4a2>0

（xi,yi）,B（X2?2），則'%+%=2（a+p），又yi=xi-a,y2=X2-a,

2

xxx2-a~

.,.\AB\=J*]一“2尸+(M-為尸=Ju+占)2-4內(nèi)々]=J8Mp+2a)

?/0<|AB\<2〃,8p(p+2a)>0,/.0<J8〃(〃+2a)<2p,

解得：——<tz—.

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(2)設(shè)AB的垂直平分線(xiàn)交AB與點(diǎn)Q,令其坐標(biāo)為(X3,y3),則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：

+/一%+%_(為一。)+(*2一。)一門(mén)

七-"-—“+「，X--——2-P'

所以|QMF=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△MNQ為等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=MP，所以SA

iBB

NAB=-\AB\-\QN\^^-p-\AB\<^-p-2p=41p2PRANAB面積的最大值為

(5)求曲線(xiàn)的方程問(wèn)題

1.曲線(xiàn)的形狀已知...這類(lèi)問(wèn)題一般可用待定系數(shù)法解決。

典型例題

已知直線(xiàn)L過(guò)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上。若點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(0,8)關(guān)于L的對(duì)

稱(chēng)點(diǎn)都在C上，求直線(xiàn)L和拋物線(xiàn)C的方程。

分析：曲線(xiàn)的形狀已知，可以用待定系數(shù)法。

設(shè)出它們的方程，L：y=kx(kW0),C:y2=2px(p>0)

設(shè)A、B關(guān)于L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為A，、B。則利用對(duì)稱(chēng)性可求得它們的坐標(biāo)分別為：

k2-17k16"—

NJ—,一-4)，B(羋一^)。因?yàn)锳、B均在拋物線(xiàn)上，代入，消去P，得：k2-k?l=0.解得:

氏2+1k2+\氏2+1H+T

1+V52亞

k=------^――

2

y=上普x,拋物線(xiàn)C的方程為丫2=苧x.

所以直線(xiàn)L的方程為:

2.曲線(xiàn)的形狀未知--求軌跡方程

典型例題

已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q(2,0)和圓C：x2+y2=l,動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線(xiàn)長(zhǎng)與|MQ|

的比等于常數(shù);I(A>0)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么曲線(xiàn)。

分析：如圖，設(shè)MN切圓C于點(diǎn)N,則動(dòng)點(diǎn)M組成的集合是：P={M||MN|=4|MQ|},

由平面幾何知識(shí)可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1,將M點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得：

(A2-l)(x2+y2)-422x+(l+422)=0.

當(dāng)2=1時(shí)它表示一條直線(xiàn)；當(dāng)4片1時(shí)，它表示圓。這種方法叫做直接法。

(6)存在兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

在曲線(xiàn)上兩點(diǎn)關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，可以按如下方式分三步解決：求兩點(diǎn)所在的直線(xiàn)，求這兩直線(xiàn)的交點(diǎn)，使這

交點(diǎn)在圓錐曲線(xiàn)形內(nèi)。(當(dāng)然也可以利用韋達(dá)定理并結(jié)合判別式來(lái)解決)

典型例題已知橢圓C的方程,試確定m的取值范圍，使得對(duì)于直線(xiàn),橢圓C上有不同兩

點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。

分析：橢圓上兩點(diǎn),代入方程，相減得

又，，，代入得

又由解得交點(diǎn)

交點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則有，得

(7)兩線(xiàn)段垂直問(wèn)題

圓錐曲線(xiàn)兩焦半徑互相垂直問(wèn)題，常用來(lái)處理或用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)處理。

典型例題已知直線(xiàn)的斜率為，且過(guò)點(diǎn)，拋物線(xiàn),直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C有兩個(gè)不同的交

點(diǎn)(如圖)。

(1)求的取值范圍;

(2)直線(xiàn)的傾斜角為何值時(shí)，A、B與拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)連線(xiàn)互

相垂直。

分析:(1)直線(xiàn)

由,得

(2)由上面方程得

,8=arctan正或。=萬(wàn)—arctan走

由,得

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B：解題的技巧方面

在教學(xué)中，學(xué)生普遍覺(jué)得解析幾何問(wèn)題的計(jì)算量較大。事實(shí)上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達(dá)定理、曲

線(xiàn)系方程，以及運(yùn)用“設(shè)而不求”的策略，往往能夠減少計(jì)算量。下面舉例說(shuō)明：

（1）充分利用幾何圖形

解析幾何的研究對(duì)象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問(wèn)題時(shí)，除了運(yùn)用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條

件，并結(jié)合平面幾何知識(shí)，這往往能減少計(jì)算量。

典型例題設(shè)直線(xiàn)與圓相交于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求

的值。

解：圓過(guò)原點(diǎn)，并且，

是圓的直徑，圓心的坐標(biāo)為

又在直線(xiàn)上，

即為所求。

評(píng)注:此題若不充分利用一系列幾何條件:該圓過(guò)原點(diǎn)并且，PQ是圓的直徑,圓心在直線(xiàn)

上，而是設(shè)再由和韋達(dá)定理求，將會(huì)增大運(yùn)算量。

評(píng)注：此題若不能挖掘利用幾何條件，點(diǎn)M是在以0P為直徑的圓周上，而利用參數(shù)方程等方法，

計(jì)算量將很大，并且比較麻煩。

二.充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略

我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不求它，而是結(jié)合韋達(dá)定理求解，這種方法在有關(guān)斜率、中點(diǎn)等問(wèn)題中常常用到。

典型例題已知中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線(xiàn)相交于P、Q兩點(diǎn)，且，，

求此橢圓方程。

解：設(shè)橢圓方程為，直線(xiàn)與橢圓相交于P、兩點(diǎn)。

由方程組消去后得

由,得(1)

又P、Q在直線(xiàn)上,

把(1)代入，得

即

化簡(jiǎn)后，得

(4)

由，得

把(2)代入，得，解得或

代入(4)后，解得或

由，得O

所求橢圓方程為

評(píng)注：此題充分利用了韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略，簡(jiǎn)化了計(jì)算。

三.充分利用曲線(xiàn)系方程

利用曲線(xiàn)系方程可以避免求曲線(xiàn)的交點(diǎn)，因此也可以減少計(jì)算。

典型例題求經(jīng)過(guò)兩已知圓和0的交點(diǎn)，且圓心在直線(xiàn)：

上的圓的方程。

解：設(shè)所求圓的方程為：

即，

其圓心為C()

又C在直線(xiàn)上，，解得，代入所設(shè)圓的方程得為

所求。

評(píng)注：此題因利用曲線(xiàn)系方程而避免求曲線(xiàn)的交點(diǎn)，故簡(jiǎn)化了計(jì)算。

四、充分利用橢圓的參數(shù)方程

橢圓的參數(shù)方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關(guān)的求最值的問(wèn)題.這也是我們常說(shuō)的三角

代換法。