高中數(shù)學(xué)講義：初等數(shù)論-整除性

高中數(shù)學(xué)講義：初等數(shù)論一整除性

目錄

1.本講概述....................................................................1

2.整除........................................................................2

2.1.整除的定義.............................................................2

2.2.數(shù)的整除特征...........................................................2

2.3.整除的幾條性質(zhì).........................................................2

3.帶余除法....................................................................3

4.基本定義：奇數(shù)、偶數(shù)、素數(shù)、合數(shù)、最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)、完全平方數(shù)、階乘3

5.自然數(shù)唯一分解定理、約數(shù)個數(shù)公式..........................................4

6.例題精講....................................................................5

7.大顯身手....................................................................6

1.本講概述

數(shù)論是數(shù)學(xué)中極其重要又非常迷人的一個分支，目前我們僅學(xué)習(xí)初等數(shù)論中

較淺的內(nèi)容.

初等數(shù)論是數(shù)學(xué)競賽四大模塊中較難以掌握的模塊之一，在數(shù)學(xué)競賽中占據(jù)

極其重要的位置.特別是聯(lián)賽改制以后，二試必考一道50分的數(shù)論大題，一試

也會有一到兩道數(shù)論方面的問題.數(shù)論與組合水平如何是大家能否獲得聯(lián)賽一

等獎甚至更好成績的關(guān)鍵.

初等數(shù)論這塊的競賽問題涉及到的知識點(diǎn)極少，甚至可以說絕大部分同學(xué)在

小學(xué)初中的培訓(xùn)中基本都接觸過.但是限于初中的知識面和同學(xué)的年齡，考試中

一般不出現(xiàn)較為深入、難度較高的數(shù)論問題.到了高中，大家將復(fù)習(xí)小學(xué)初中階

段的數(shù)論知識，并將其中的很多知識更為理論化、系統(tǒng)化.高中的數(shù)論問題難度

也會明顯增高.但是在數(shù)論這一模塊中，我們并不提倡大家過多地掌握很多高

深的數(shù)論知識，而是提倡大家真正去靈活熟練地運(yùn)用最基本、最重要的數(shù)論基

礎(chǔ)知識和重要定理來解決問題.

由于同學(xué)們在小學(xué)、初中都已經(jīng)學(xué)過不少關(guān)于初等數(shù)論的初步知識，所以這

里我們把大家比較熟悉的知識都羅列在下面，對其中大部分定理將不給出證明，

直接給出結(jié)論.

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如果不特別說明，本講中所有字母均代表正整數(shù).

2.整除

2.1.整除的定義

兩個整數(shù)a和b（bWO）,若存在整數(shù)k,使得a=bk,我們稱a能被b整除，

記作b|a.此時把a(bǔ)叫做b的倍數(shù)，b叫做a的約數(shù).如果a除以b的余數(shù)不為

零，則稱a不能被b整除，或b不整除a,記作。（&.

2.2.數(shù)的整除特征

（1）1與0的特性：

1是任何整數(shù)的約數(shù)，即對于任何整數(shù)a,總有l(wèi)|a.

0是任何非零整數(shù)的倍數(shù)，aWO,a為整數(shù)，則a|0.

（2）能被2,5；4,25；8,125；3,9；11,7,13整除的數(shù)的特征：

能被2整除的數(shù)的特征：個位為0,2,4,6,8的整數(shù)能被2整除，我們

記為2k（k為整數(shù)）.

能被5整除的數(shù)的特征：個位數(shù)為0或5的整數(shù)必被5整除，我們記為5k（k

為整數(shù)）.

能被4、25整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)能被4（25）整除的

整數(shù)必能被4（25）整除.

能被8,125整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)字組成的三位數(shù)能被8（125）整

除的整數(shù)必能被8（125）整除.

能被3,9整除的數(shù)的特征：各個數(shù)位上數(shù)字之和能被3或9整除的整數(shù)必

能被3或9整除.

能被11整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的

差如果是11的倍數(shù)，則這個數(shù)就能被11整除.

能被7,11,13整除的數(shù)的特征：一個三位以上的整數(shù)能否被7（11或13）

整除，只須看這個數(shù)的末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)

的差（以大減?。┠芊癖?（11或13）整除.

2.3.整除的幾條性質(zhì)

（1）自反性:a|a（a#O）

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(2)對稱性：若a|b,b|a,則a二b

(3)傳遞性：若a|b,b|c,則a|c

(4)若a|b,a|c,則a|(b,c)

(5)若a|b,m#0,則am|bm

(6)若am|bm,mWO,則a|b

(7)若a|b,c|b,(a,c)=l,則ac|b

3.帶余除法

對于任一整數(shù)a及大于1的整數(shù)m,存在唯二的一對整數(shù)q,r(OWrvm),使

得2=40!+「成立，這個式子稱為帶余除法式。q就是a除以m的不完全商，r就

是a除以m的余數(shù)。

證明：取由所有m的整數(shù)倍排成一列數(shù)

…，一km,…，—2m,—m,0,m,2m,km,…(kGN)

a必介于該數(shù)列中的某兩個相鄰數(shù)之間，即存在整數(shù)q,使qmWa<(q+l)m。

令r=a—qm,則OWrvm,于是有a=qm+r

如還有整數(shù)qi,m滿足a=qim+n則

qim+ri=qm+r=>m(qi—q)=r—n

若qiWq,則q)|2m,Tfu|r—n|<m,這是不可能的.

這說明qi=q,于是門=r。

4.基本定義：奇數(shù)、偶數(shù)、素數(shù)、合數(shù)、最大公約數(shù),最小

公倍數(shù)、完全平方數(shù)、階乘

1、將全體整數(shù)分為兩類，凡是2的倍數(shù)的數(shù)稱為偶數(shù)，否則稱為奇數(shù).因此，任

一偶數(shù)可表為2m(mWZ),任一奇數(shù)可表為2m+l或2m—1的形式.奇、偶

數(shù)具有如下性質(zhì)：

(1)奇數(shù)土奇數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)土偶數(shù)=偶數(shù);

奇數(shù)土偶數(shù)=奇數(shù)；偶數(shù)義偶數(shù)=偶數(shù)；

奇數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)X奇數(shù)=奇數(shù)；

(2)任何一個正整數(shù)必都可以寫成“=2，/的形式，其中m為非負(fù)整數(shù)，

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/為奇數(shù).

2、一個大于1的整數(shù)n如果沒有真因子（大于1而小于n的約數(shù)），則稱n

為素數(shù)；否則稱它為合數(shù).

素數(shù)的性質(zhì)1：若p為素數(shù)，a,b為整數(shù)，如p|ab,那么p必整除a,b之一.

素數(shù)的性質(zhì)2：素數(shù)有無窮多個.（歐幾里得在公元3世紀(jì)給出了一個經(jīng)

典的利用反證法的證明）

3、設(shè)a,b，…,c是有限個不全為零的整數(shù)，同時整除它們的整數(shù)叫做它們的公約

數(shù)（或公因子）.這些數(shù)中必有一個最大的，稱為a,b，…,c的最大公約數(shù)，記

作（a,b,...,c）.如果（a,b，…,c）=1,則稱a,b，…,c是互素的；同時為它們的倍數(shù)

的整數(shù)叫做它們的公倍數(shù)，其中正的公倍數(shù)中最小的那個稱為最小公倍數(shù)，

記作[a,b,...,c]

4、一個數(shù)如果是另一個整數(shù)的完全平方，那么我們就稱這個數(shù)為完全平方數(shù)，也叫做平方數(shù).

性質(zhì)1：完全平方數(shù)的末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9.

性質(zhì)2：奇數(shù)的平方的個位數(shù)字為奇數(shù)，十位數(shù)字為偶數(shù).

性質(zhì)3奇數(shù)的平方是8n+l型；偶數(shù)的平方為8n或8n+4型.

性質(zhì)4不能被5整除的數(shù)的平方為5k±1型，能被5整除的數(shù)的平方為

5k型.

性質(zhì)5：平方數(shù)的形式具有下列形式之一：16m,16m+l,16m+4,16m+9.

上述性質(zhì)比較簡單，同學(xué)們可自行證明之.

5、對任一正整數(shù)n,定義n的階乘為拉！=〃x（〃一l）x（〃-2）x???x3x2xl

5.自然數(shù)唯一分解定理、約數(shù)個數(shù)公式

每個大于1的自然數(shù)n均可分解為有限個素數(shù)之積，如不計素數(shù)在乘積中的

順序，那么這種分解方式是唯一的（證明略）.將相同的素因子寫在一起，那么n可以唯一

地寫成：

一=短度…成人

其中p「P2，...,p*為互不相同的素數(shù)，而%,%,...,%是正整數(shù)，上式稱為n的標(biāo)

準(zhǔn)分解.

自然數(shù)n的正約數(shù)個數(shù)公式為r（"）=（?+1）（%+D…（%+D

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6.例題精講

【例I】(熱身問題)證明以上理論部分給出的一些性質(zhì)：

(1)、一個三位以上的整數(shù)能否被7(11或13)整除，只須看這個數(shù)

的末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)的差(以大減小)能

否被7(11或13)整除.

(2)奇數(shù)的平方都可表為8m+l形式,偶數(shù)的平方都可表為8m或8m+4

的形式(mWZ)

(3)素數(shù)的性質(zhì)1：若p為素數(shù)，a,b為整數(shù)，如p|ab,那么p必整除a,b

之一.

(4)證明約數(shù)個數(shù)公式.

【例2】(1)如自然數(shù)n的正約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)，證明n為平方數(shù).

(2)ab=(a,b)-[a,b]

【例3】(1)證明〃〃+1不是平方數(shù)；

(2)證明連續(xù)三個自然數(shù)之積非平方數(shù).

(3)證明十進(jìn)制表示中有3個數(shù)位為1,其它數(shù)位均為0的數(shù)n非平方

數(shù)

【例4】記/(〃)=〃2+〃+41,證明：(1)有無窮多個正整數(shù)n使得f(n)為合數(shù)；

(2)有無窮多個正整數(shù)n使得431f(n)

【例5】試求所有這樣的質(zhì)數(shù)p,使得°?+11恰有6個不同的正約數(shù).

【例6】三角形三邊長均為質(zhì)數(shù)，證明：其面積不可能為整數(shù).

【例7】證明：1992|997"5+995W

【例8】試找出最小的自然數(shù)n,使它的立方的十進(jìn)制表示中末三位數(shù)字恰為

888.

【例9】p,q均為正整數(shù)，使得'=1--F------------1----------------------1---------------

q23413181319

試證:1979Ip

1990

【例10】以d(n)表示n的正因子的個數(shù)，試確定S=Zd伏)的奇偶