高中數學圓錐曲線解題技巧總結

解圓錐曲線問題的常用方法大全

1、定義法

(I)橢圓有兩種定義。第一定義中，ri+r2=2ao第二定義中，ri=edir2=ed2?

⑵雙曲線有兩種定義。第一定義中，|八=2a,當ri>n時，注意f2的最小值為c-a：第二定義中，n=edi，

r2=ed2,尤其應注意第二定義的應用，常常將半徑與“點到準線距離”互相轉化。

(3)拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問題用定義解決更直接簡明。

2、韋達定理法

因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最

終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，

弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用。

3、解析幾何的運算中，常設一些量而并不解解出這些量，利用這些量過渡使問題得以解決，這種方法稱為

“設而不求法”。設而不求法對于直線與圓錐曲線相交而產生的弦中點問題，常用“點差法”，即設弦的兩個端點

A(Xi,y)B(X2,y2),弦AB中點為M(xo,yo),將點A、B坐標代入圓錐曲線方程，作差后，產生弦中點與弦斜率的關

系，這是一種常見的“設而不求”法，具體有：

22

(1)5+5=1(。>〃>0)與直線相交于人、B,設弦AB中點為M(xo,yo),則有烏+烏女=0。

a-ba1b

22

(2)與一勺=1(。>0力〉0)與直線1相交于人、B,設弦AB中點為M(xo,yo)則有烏一/人=0

bab"

(3)y2=2px(p>0)與直線1相交于A、B設弦AB中點為M(x(),yo)廁有2y°k=2p,即y()k=p.

【典型例題】

例1、⑴拋物線C:y2Hx上一點P到點A(3,4J5)與到準線的距離和最小，則點P的坐標為

(2)拋物線C:y2=4x上一點Q到點B(4,l)與到焦點F的距離和最小，則點Q的坐標為_____________。

分析：⑴A在拋物線外，如圖，連PF,貝同=歸4，因而易發(fā)現，{A6當A、

P、F三點共線時，距離和最小。H—書

(2)B在拋物線內，如圖，作QRJJ交于R,則當B、Q、R三點共線時，J距離和

最小。

解：⑴(2,V2)

4A/7-0

連PF,當A、P、F三點共線時，|4月+歸耳=同月+歸月最小，此時AF的方程為y-----(x-1)即

3—1

y=2正(x-1),代入y2=4x得P(2,2后)，(注：另一交點為正)，它為直線AF與拋物線的另一交點，舍去)

⑵(-,1)

4

過Q作QRL交于R,當B、Q、R三點共線時，忸Q+依月=忸。+日用最小，此時Q點的縱坐標為1,代

入y2=4x得X=L.\Q(1,1)

44

點評：這是利用定義將“點點距離”與“點線距離”互相轉化的一個典型例題，請仔細體會。

x2y2

例2、F是橢圓一+匚=1的右焦點，A(l,l)為橢圓內一定點，P為橢圓上一動點。

43

(1)|P4+|P目的最小值為

(2)歸4+斗0月的最小值為.

分析：PF為橢圓的一個焦半徑，常需將另一焦半徑尸尸或準線作出來考問

題。

解：(1)4-A/5

設另一焦點為尸'，則尸(-1,0)連AR',Pb'

\P^+\PF\=\P^+2a-\PF'\=2a-(\PF'\-\P^>2a-\AF'\=4-y/5

當P是尸A的延長線與橢圓的交點時，|酬+|PF|取得最小值為4-V5。

(2)3

作出右準線1,作PHJ_1交于H,因a?=4,b2=3,c2=l,a=2,c=l,e=—,

2

\PF\=即2|尸耳=\PH\

：.\P/\+Q\PF\=\P^+\PH\

2

當A、P、H三點共線時，其和最小，最小值為^-—=4-1=3

C

2222

例3、動圓M與圓Ci：(x+l)+y=36內切，與圓C2：(x-l)+y=4外切,求圓心M的軌跡方程。

分析：作圖時，要注意相切時的“圖形特征”：兩個圓心與切點這三點共線

(如圖中的A、M、C共線，B、D、M共線)。列式的主要途徑是動圓的“半徑

等于半徑”(如圖中的pwc|=Mq)。

解:如圖，Mq=Mq,

.?.眼4+眼闿=8(*)

.?.點M的軌跡為橢圓，2a=8,a=4,c=l,b?=15軌跡方程為二+二=1

1615

點評：得到方程(*)后，應直接利用橢圓的定義寫出方程，而無需再用距離公式列式求解，即列出

J(x+l)2+y2+J(l)2+y2=4,再移項，平方，…相當于將橢圓標準方程推導了一遍，較繁瑣！

3

例4、AABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=§sinA,求點A的軌跡方程。

分析：由于sinA、sinB、sinC的關系為一次齊次式，兩邊乘以2R(R為外接圓半徑)，可轉化為邊長的關系。

33

解：sinC-sinB=—sinA2RsinC-2RsinB=—?2RsinA

55

.?.|AS|-|AC|=-|BC1

即4一|Aq=6(*)

.?.點A的軌跡為雙曲線的右支(去掉頂點)

V2a=6,2c=10

/.a=3，c=5,b=4

22

所求軌跡方程為^--2-=1(x>3)

916

點評：要注意利用定義直接解題，這里由(*)式直接用定義說明了軌跡(雙曲線右支)

例5、定長為3的線段AB的兩個端點在y=x2上移動，AB中點為M,求點M到x軸的最短距離。

2

分析：(1)可直接利用拋物線設點，如設A(xi,xi，B(X2,X2),又設AB中點為M(xoyo)用弦長公式及中點

公式得出yo關于xo的函數表達式，再用函數思想求出最短距離。

(2)M到x軸的距離是一種“點線距離”，可先考慮M到準線的距離，想到用定義法。

解法一：設A(X1，X|2),B(X2，X22),AB中點M(XO，yo)

,了

。①

二-9

a2+②

『

-=。③

X2=2X

23

+x2yo

由①得(x1-X2)2[1+(X1+X2)2]=9

即[(X|+X2)2?4X|X2]?[1+(X]+X2)2]=9④

由②、③得2xiX2=(2xo)2-2yo=4x()2-2yo

222

代入④得[(2x0)-(8x0-4yo)]?[l+(2x0)]=9

,79

…。-"4菽?，

9.9

4y0=4苞9+『=(4年+1)+-^---1

4x；4x；+1

22百-1=5,y0>|

65py5

當4X()2+1=3即/=士時，(y())min=W此時”(士工一7)

法二：如圖，?\MM2\=\AA2\+\BB2\=\AF\+\BF\>\A^=3

313

A\MMt\當AB經過焦點F時取得最小值。

.??M到x軸的最短距離為之

4

點評：解法一是列出方程組，利用整體消元思想消xi，X2,從而形成yo關于xo的函數，這是一種“設而不

求”的方法。而解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將中點M到x軸的距離轉化為它到準線的距離，再利

用梯形的中位線，轉化為A、B到準線的距離和，結合定義與三角形中兩邊之和大于第三邊(當三角形“壓扁”

時，兩邊之和等于第三邊)的屬性，簡捷地求解出結果的，但此解法中有缺點，即沒有驗證AB是否能經過焦點

F,而且點M的坐標也不能直接得出。

例6、已知橢圓—+上一=1(2<m<5)過其左焦點且斜率為1的直線與橢圓及準線從左到右依次變于A、

mm-1

B、C、D、設f(m)=MW-|CD||,(1)求f(m),(2)求f(m)的最值。

分析：此題初看很復雜，對f(m)的結構不知如何運算，因A、B來源于“不同系統(tǒng)”，A在準線上，B在橢

圓上，同樣C在橢圓上，D在準線上，可見直接求解較繁，將這些線段“投影”到x軸上，立即可得防

/(〃?)=l(xs-X4)V2~(XD-XC)V2l=V2|(XB-%A)-(XO-XC)|

=V2|(xg+xc)—(xA+xD)|

=V2|(XB+XC)|

此時問題已明朗化，只需用韋達定理即可。

XV

解：(1)橢圓---1------=1中，a2=m,b2=m-l,c2=l,左焦點Fi(-l,O)

mm一1

則BC:y=x+1,代入橢圓方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0

得(m-1)x?+m(x+l)2-m2+m=0

(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0

2nt

設B(xi,y1),C(X2,y2),則Xj+X2=-------(2<m<5)

2m-1

==y/2\(xB-xA)-(xD-xc)|

2m

=V2|(Xj+x)-(x+x)|=V2|x,+x|=V2.

2Ac22m-1

、”、rr2,171-1+1rr..1

(z2)/(m)=J2-----------=v2(lH----------)

2m-l2m-1

...當m=5時，/(m)min=

4V2

當m=2時，/(加)max=Y-

點評：此題因最終需求4+%，而BC斜率已知為1,故可也用“點差法”設BC中點為M(xo,yo),通過將B、

C坐標代入作差，得包+』一?%=(),將yo=xo+l,k=l代入得包+也由■=(),...XoM-一絲一，可見

mm-1mm-\2m—1

2m

XB+XC

2m-1

當然，解本題的關鍵在于對/(〃?)=||A4-|CD||的認識，通過線段在x軸的“投影”發(fā)現了(加)=%+%|

是解此題的要點。

【同步練習】

22

1、己知：F”F2是雙曲線二y—%=1的左、右焦點，過Fl作直線交雙曲線左支于點A、B,若［4耳=〃2,

△ABF2的周長為()

A、4aB、4a+mC、4a+2mD、4a-m

2、若點P到點F(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離小1,則P點的軌跡方程是

()

A、y2=-16xB、y2=-32xC、y*2=16xD、y2=32x

3、已知4ABC的三邊AB、BC、AC的長依次成等差數列，且［4q＞依0,點B、C的坐標分別為(-1,0),

(1，0),則頂點A的軌跡方程是()

2222

A、--------1--------—1B、?+上心＞。)

43

2222

C、?+2＜。)D、亍+(=l(x＞0且y*0)

4、過原點的橢圓的一個焦點為F(l,0),其長軸長為4,