53三角函數(shù)的性質(zhì)（精講）（原卷版）

5.3三角函數(shù)的性質(zhì)（精講）一.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖:“五點(diǎn)法”作圖原理：1.正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖像畫法在正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象上，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．在余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象上，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2.用“五點(diǎn)法”畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)x－eq\f(φ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)概念y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)振幅周期頻率相位初相AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φφ二．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RR{xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，且))x≠kπ＋eq\f(π,2)}值域[－1，1][－1，1]R最小正周期2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)))遞減區(qū)間eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]無對(duì)稱中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對(duì)稱軸方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ無三．伸縮平移1.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k圖象平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”.2.由y＝sinωx到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的變換：向左平移eq\f(φ,ω)個(gè)單位長(zhǎng)度而非φ個(gè)單位長(zhǎng)度.求三角函數(shù)周期的方法1.定義法；2.公式法：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝eq\f(2π,|ω|)，函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝eq\f(π,|ω|)；3.圖象法：求含有絕對(duì)值符號(hào)的三角函數(shù)的周期時(shí)可畫出函數(shù)的圖象，通過觀察圖象得出周期．二．三角函數(shù)的定義域求三角函數(shù)的定義域通常要解三角不等式(組)，解三角不等式(組)常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)的圖象．三．求解三角函數(shù)的值域(最值)常見的幾種類型：1.形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；2.形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；3.形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；4，形如y＝eq\f(asinx＋b,csinx＋d)，ac≠0的函數(shù)的值域，可以用分離常量法，也可以利用正弦函數(shù)的有界性建立關(guān)于y的不等式反解求值域(最值)．四．三角函數(shù)的單調(diào)性①先把ω化為正數(shù)②化簡(jiǎn)成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間③把ωx＋φ看作一個(gè)整體代入y＝sinx的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)解x．三角函數(shù)的對(duì)稱性1.對(duì)稱軸：對(duì)于可化為f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函數(shù)，如果求f(x)的對(duì)稱軸，只需令ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或令ωx＋φ＝\f(π,2)＋kπ（k∈Z）))，求x即可.2.對(duì)稱中心：對(duì)于可化為f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函數(shù)，如果求f(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx＋φ＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，求x即可.六．三角函數(shù)的奇偶性七．三角函數(shù)的伸縮平移八．三角函數(shù)中的ω的求解1.若已知三角函數(shù)的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系，進(jìn)而建立ω所滿足的不等式(組)求解；2.若已知函數(shù)的對(duì)稱性，則根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性研究其周期性，進(jìn)而可以研究ω的取值；3.若已知三角函數(shù)的最值，則利用三角函數(shù)的最值與對(duì)稱軸或周期的關(guān)系，可以列出關(guān)于ω的不等式(組)，進(jìn)而求出ω的值或取值范圍.九．易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)于y＝tanx不能認(rèn)為其在定義域上為增函數(shù)，而是在每個(gè)區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)內(nèi)為增函數(shù).考法一三角函數(shù)的周期【例11】（2023·北京）在下列四個(gè)函數(shù)，①②（3）④中，最小正周期為π的所有函數(shù)為（

）A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④【例12】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列四個(gè)函數(shù)中，最小正周期與其余三個(gè)函數(shù)不同的是（

）A． B．C． D．【例13】（2022秋·河北）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·湖南）給出下列函數(shù)：①；②；③；④．其中最小正周期為的有（

）A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③2．（2023·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)?？家荒＃┖瘮?shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．不能確定3．（2023北京）下列函數(shù)中，最小正周期為的是（

）A． B． C． D．4．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）

A．1 B． C．2 D．考法二三角函數(shù)的對(duì)稱性與奇偶性【例21】（2023·海南）設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則等于（

）A． B． C． D．【例22】（2023·河南開封·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，那么的最小值為________．【例23】（2023·廣東）函數(shù)是（

）A．最小正周期為π的奇函數(shù) B．最小正周期為π的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)【例24】（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）使函數(shù)為偶函數(shù)，則的一個(gè)值可以是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．82．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)圖象的對(duì)稱軸可以是（

）A．直線 B．直線C．直線 D．直線3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）若函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則的可能取值為（

）A． B． C． D．4．（2022秋·遼寧錦州·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)是偶函數(shù)，則____．考法三三角函數(shù)的定義域與值域【例31】（2023春·上海靜安）函數(shù)的定義域是__________.【例32】（2023春·北京昌平）的最大值為（

）A． B． C． D．【例33】（2023云南）函數(shù)在的最大值是（

）A．2 B．0 C．1 D．【例34】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)是（

）A．奇函數(shù)，且最大值為 B．偶函數(shù)，且最小值為C．奇函數(shù)，且最小值為 D．偶函數(shù)，且最大值為【例35】（2023·上海普陀·上海市宜川中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的最大值為__________．【例36】（2023·安徽）設(shè)函數(shù)定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑒t的最大值為______【一隅三反】1．（2023春·遼寧本溪）函數(shù)的定義域?yàn)開_______．2．（2023春·遼寧沈陽）函數(shù)的定義域?yàn)開_____．3.（2023·福建）函數(shù)最大值為（

）A．2 B．5 C．8 D．74．（2023春·四川南充）函數(shù)的值域?yàn)開_____.5．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．考法四三角函數(shù)的單調(diào)性【例41】（2023湖北）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【例42】（2023·遼寧朝陽）（多選）下列函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【例43】（2023·吉林·吉林省實(shí)驗(yàn)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023春·山東）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．3．（2023春·廣西）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增4．（2023春·上海長(zhǎng)寧）在下列函數(shù)中，既是上的嚴(yán)格增函數(shù)，又是以為最小正周期的偶函數(shù)的函數(shù)是（

）A． B．C． D．考法五函數(shù)的伸縮平移【例51】（2022·江西·南昌十中高三階段練習(xí)）將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位后，得到關(guān)于軸對(duì)稱的圖象，則的最小值為（

）A． B． C． D．【例52】（2022·陜西·二模）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移是個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移登個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【例53】（2023·全國·高三專題練習(xí)）把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)壓縮到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則（

）A．最小正周期為 B．奇函數(shù)C．偶函數(shù) D．【一隅三反】1．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，且的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位3．（2022·全國·哈師大附中模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，再向右平移個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．在區(qū)間（，）上單調(diào)遞減C．圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱D．圖象關(guān)于直線對(duì)稱4．（2022·安徽滁州）若將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向下平移一個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)（

）A．圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．圖象關(guān)于對(duì)稱C．在上單調(diào)遞減 D．最小正周期是考法六由圖象確定函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的解析式【例61】（2022·山東·煙臺(tái)二中）若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則和的值是（

）A．， B．， C．， D．，【例62】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，某地一天6~14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)，則這段曲線的函數(shù)解析式可以為（）A．， B．，C．， D．，【例63】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（

）

A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于中心對(duì)稱C．在上單調(diào)遞減D．把的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象【一隅三反】1．（2022·甘肅武威）函數(shù)（A，ω，φ為常數(shù)，A>0，ω>0，）的部分圖象如圖所示，則（）A． B． C． D．2．（2021·陜西省洛南中學(xué)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式是（

）A． B．C． D．3（2022·廣東·佛山市順德區(qū)容山中學(xué)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能為（

）A． B．C． D．4．（2022·四川南充·二模）函數(shù)的部分圖像如圖所示，，則（

）A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．關(guān)于直線對(duì)稱C．在上單調(diào)遞減D．在上是單調(diào)遞增考法七三角函數(shù)的綜合運(yùn)用【例71】（2023·新疆·統(tǒng)考二模）如圖所示的曲線為函數(shù)的部分圖象，將圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍，再將所得曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（

）A．直線為圖象的一條對(duì)稱軸 B．點(diǎn)為圖象的一個(gè)對(duì)稱中心C．函數(shù)的最小正周期為2π D．函數(shù)在上單調(diào)遞減【一隅三反】1．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，有下述四個(gè)結(jié)論：①②函數(shù)在上單調(diào)遞增③點(diǎn)是函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心④當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（

）A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④2．（2023·湖南衡陽·衡陽市八中?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)，其圖象相鄰對(duì)稱軸間的距離為，點(diǎn)是其中的一個(gè)對(duì)稱中心，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程是C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．將函