人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練專題18.27 矩形（基礎(chǔ)篇）（專項(xiàng)練習(xí)）（附答案）

/專題18.27矩形（基礎(chǔ)篇）（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．能夠判斷一個(gè)四邊形是矩形的條件是（

）A．對(duì)角線相等 B．對(duì)角線垂直C．對(duì)角線互相平分且相等 D．對(duì)角線垂直且相等2．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，交BD于點(diǎn)E，，則的度數(shù)為（

）A．40° B．35° C．30° D．25°3．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E在邊上，若平分，則的長(zhǎng)為(

)A． B． C． D．4．如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OA=OC，OB=OD，添加下列條件仍不能判斷四邊形ABCD是矩形的是（

）A．OA=OB B．BD平分∠ABC C．AD⊥CD D．5．已知如圖，，，，，則的面積為（

）A．2 B．3 C．4 D．66．在矩形ABCD中，點(diǎn)A關(guān)于角B的角平分線的對(duì)稱點(diǎn)為E，點(diǎn)E關(guān)于角C的角平分線的對(duì)稱點(diǎn)為F，若AD＝AB＝3，則S△ADF＝（）A．2 B．3 C． D．7．如圖，在矩形中，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，連接，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，連接，若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．38．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，點(diǎn)在上，將沿直線翻折，點(diǎn)恰好落在軸上的點(diǎn)處，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．9．如圖，在等邊的，邊上各取一點(diǎn)，，使，，相交于，若，則點(diǎn)到的距離等于（

）A．1 B．2 C． D．10．如圖，平行四邊形中，對(duì)角線，相交于，，，，分別是，，的中點(diǎn)，下列結(jié)論中：①；②四邊形是平行四邊形；③；④平分，正確的是（）A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③④二、填空題11．如圖，已知矩形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)，若，那么______．12．如圖，過矩形的對(duì)角線上一點(diǎn)分別作矩形兩邊的平行線與，那么圖中矩形的面積與矩形的面積的大小關(guān)系是．（填“”或“”或“”）13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形中，，，將沿對(duì)角線翻折，使點(diǎn)落在處，與軸交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．14．在一張矩形紙片中，，M，N分別為，的中點(diǎn)，現(xiàn)將這張紙片按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在上的點(diǎn)F處，則的長(zhǎng)為________．15．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，DE平分∠ADC．若∠AOB＝60°，則∠COE的大小為____．16．四邊形中，交于O，給出條件①；②；③；④．其中能推得四邊形是矩形的是（填序號(hào)）___________．17．如圖，在中，平分，于點(diǎn)F，D為的中點(diǎn)，連接延長(zhǎng)交于點(diǎn)E．若，，則線段的長(zhǎng)為_____________．18．如圖，等邊的頂點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸的正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C在第一象限，連接，若等邊的邊長(zhǎng)為2，則線段長(zhǎng)的最大值是____．三、解答題19．如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=2，AD=4，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，且AE=CF，連接BD、EF．(1)求證：四邊形BFDE是平行四邊形；(2)若EF⊥BD，求AE的長(zhǎng)度．20．如圖，中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，將沿翻折得到，連接．(1)求證：；(2)連接，猜想的形狀，并說明理由．21．如圖，在中，，為邊上的中線，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，作點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)F，連接，．(1)求證：四邊形為矩形；(2)若，，求的長(zhǎng)．22．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于點(diǎn)E，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）若AB＝2，求△OEC的面積．23．如圖，長(zhǎng)方形OABC的OA邊在x軸上，OC邊在y軸上，，，在邊AB上取一點(diǎn)E，使沿CE折疊后，點(diǎn)B落在x軸上，記作點(diǎn)D．(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)、點(diǎn)C的坐標(biāo)和點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．24．如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于點(diǎn)E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠OAE＝15°，①求證：DA＝DO＝DE；②直接寫出∠DOE的度數(shù)．參考答案1．C【解析】略2．B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OA=OD，從而得到∠ADO=55°，再由，即可求解．解：在矩形ABCD中，OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∵∠AOB=∠ADO+∠DAO，，∴∠ADO=55°，∵，即∠AED=90°，∴∠DAE=35°．故選：B【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的對(duì)角線相等且互相平分是解題的關(guān)鍵．3．C【分析】利用角平分線和平行線內(nèi)錯(cuò)角相等，可證明，則ED=AD，則可用勾股定理求出ED．解：∵四邊形是矩形，∴，AB=CE=3∴∵平分∴∴∴ED=AD=8∴故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線、平行線性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行角度代換是解題關(guān)鍵．4．B【分析】根據(jù)矩形的判定對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可得．解：∵四邊形ABCD中，OA=OC，OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴，A、OA=OB，可判定四邊形ABCD是矩形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵BD平分∠ABC，∴，∵，∴，∴，∴AD=AB，∴四邊形ABCD為菱形，故該選項(xiàng)正確；C、AD⊥CD，可判定四邊形ABCD是矩形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、由可得，可判定四邊形ABCD是矩形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選B．【點(diǎn)撥】本題主要考查矩形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的各判定及菱形的判定．5．C【分析】過點(diǎn)D作于G，過點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，先證明（AAS），從而得，再證明四邊形為矩形，然后利用，求得的值，最后利用三角形面積公式計(jì)算即可得出答案．解：過點(diǎn)D作于G，過點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F又∵∴∴∴在和中，∴（AAS），∴，∵，∴，∴四邊形為矩形，∴，又∵，∴，的面積為：；故選C．【點(diǎn)撥】此題考查全等三角形判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)及三角形的面積計(jì)算，解題關(guān)鍵在于掌握各性質(zhì)定義.6．C【分析】由AD=AB=3，可求得AB=，AD=3，又由在矩形ABCD中，點(diǎn)A關(guān)于角B的角平分線的對(duì)稱點(diǎn)為E，點(diǎn)E關(guān)于角C的角平分線的對(duì)稱點(diǎn)為F，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，可求得BE，CF的長(zhǎng)，繼而求得DF的長(zhǎng)，于是求得答案．解：∵AD＝AB＝3，∴AB＝，AD＝3，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝，∵在矩形ABCD中，點(diǎn)A關(guān)于角B的角平分線的對(duì)稱點(diǎn)為E，點(diǎn)E關(guān)于角C的角平分線的對(duì)稱點(diǎn)為F，∴BE＝AB＝，∴CF＝CE＝BC﹣BE＝3﹣，∴DF＝CD﹣CF＝2﹣3，∴S△ADF＝AD?DF＝×3×（2﹣3）＝3﹣．故選：C．【點(diǎn)撥】此題考查了矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算．注意掌握軸對(duì)稱圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系．7．B【分析】連接并延長(zhǎng)交于，連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理和三角形的中位線定理即可得到結(jié)論．解：連接并延長(zhǎng)交于，連接，∵四邊形是矩形，∴，，∵分別是邊的中點(diǎn)，，∵，∴，在與中，，，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．8．B【分析】設(shè)，由折疊性質(zhì)得到，，利用勾股定理計(jì)算出，則，在Rt中利用勾股定理得到，然后解方程求出即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．解：根據(jù)題意，畫出圖如圖所示：設(shè)，由題意可得，，，與關(guān)于直線對(duì)稱，，，在中，，，在中，，，即，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握方程的思想方法是解題的關(guān)鍵．9．C【分析】作于點(diǎn)，則，先證明，得，再推導(dǎo)出，則，而，得，即可根據(jù)勾股定理求得，于是得到問題的答案．解：作于點(diǎn)，則，是等邊三角形，，，在和中，，，，，，，，，點(diǎn)到的距離等于，故選：C．【點(diǎn)撥】此題重點(diǎn)考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和、直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．10．B【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)可判斷①正確，由直角三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理可判斷③錯(cuò)誤，由，可證四邊形是平行四邊形，可得②正確．由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可判斷④正確．解：如圖，四邊形是平行四邊形，，，又，，且點(diǎn)是中點(diǎn)，，故①正確，、分別是、的中點(diǎn)，，，點(diǎn)是斜邊上的中點(diǎn)，，無法證明，故③錯(cuò)誤，，四邊形是平行四邊形故②正確，，，，，,，，，平分，故④正確；故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理、綜合運(yùn)用知識(shí)是解題的關(guān)鍵．11．2【分析】根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分且相等，求解即可．解：在矩形中，∵對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，，∴，∴．故答案為：2．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握矩形的對(duì)角線互相平分且相等的性質(zhì)．12．【分析】將S1、S2分別視為一半矩形的面積減去兩個(gè)小三角形的面積，因?yàn)?，，因此可以判斷S1、S2相等．解：∵四邊形是矩形，MN、PQ平行于矩形的兩邊，∴四邊形MBQK、四邊形KNDP是矩形，∵BD是矩形ABCD的對(duì)角線，BK是矩形MBQK的對(duì)角線，KD是矩形KNDP的對(duì)稱線∴，，，∵，∴S1=S2故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形，根據(jù)題意將所求小矩形面積分割成大三角形減去小三角形是解題的關(guān)鍵．13．【分析】設(shè)，則，由題意可以求證，從而得到，再根據(jù)勾股定理即可求解．解：由題意可知：，，設(shè)，則，又∵∴∴在中，，即解得：∴點(diǎn)的坐標(biāo)為故答案為【點(diǎn)撥】此題考查了矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理以及平面直角坐標(biāo)系的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．4【分析】先過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，得矩形，根據(jù)三角函數(shù)求出的值，再根據(jù)勾股定理，求出各邊的值，即可求出答案．解：如圖，過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，得矩形．∵M(jìn)為的中點(diǎn)，∴，，∴，∴．∵四邊形是矩形，∴．設(shè)，則，．在中，，即，解得，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理等，解題關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)，然后作出相應(yīng)輔助線．15．75°【分析】根據(jù)四邊形ABCD為矩形,利用矩形的對(duì)角線互相平分且相等,得到OA=OB=OC=OD,又∠AOB=60°,可得三角形AOB與三角形COD都為等邊三角形,進(jìn)而求出∠ACB為30°,由DE為直角的角平分線,得到∠EDC=45°,可得三角形DEC為等腰直角三角形,即CD=EC,而CD=OC,等量代換可得EC=OC,即三角形OEC為等腰三角形,由頂角∠ACB為30°即可求出底角∠COE的度數(shù).解：∵四邊形ABCD是矩形,∴AO=CO=BO=OD,（矩形的對(duì)角線相等且互相平分）∵∠AOB=60°,∴∠COD=60°,（對(duì)頂角相等）∴△AOB和△COD為等邊三角形,（有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形）,

∴∠BAC=60°,CD=OC,則∠ACB=30°,（直角三角形兩銳角互余）

∵DE平分∠ADC,∴∠EDC=45°,可得△DCE為等腰直角三角形,∴CD=EC,∴EC=OC,（等量代換）

∴∠COE=∠CEO,∴∠COE=75°（三角形內(nèi)角和是180°）.故答案為75°.【點(diǎn)撥】解決本題的關(guān)鍵是得到所求角所在的三角形的形狀及相應(yīng)的角的度數(shù).16．③【分析】由矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．解：①∵AO＝CO，BO＝DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，不符合題意；②，不能判定四邊形ABCD是矩形，不符合題意；③∵OA＝OB＝OC＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，符合題意；④，不能推出四邊形ABCD是矩形，不符合題意；故答案為：③．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)得到，結(jié)合角平分線推出，得到，進(jìn)而證得是的中位線，求出即可．解：∵平分，∴，∵于點(diǎn)F，D為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∵D為的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形中位線的應(yīng)用，正確理解直角三角形斜邊中線的性質(zhì)及三角形中位線性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．18．##【分析】取的中點(diǎn)D，連接、，根據(jù)直角三角形性質(zhì)，得出，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，求出，，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得出點(diǎn)O、C、D三點(diǎn)共線時(shí)，最大，求出最大值即可．解：取的中點(diǎn)D，連接、，如圖所示，∵為直角三角形，D為的中點(diǎn)，∴，∵是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D為的中點(diǎn)，∴，，∴，∵D為的中點(diǎn)，∴，∴，在中，，當(dāng)點(diǎn)O、C、D三點(diǎn)共線時(shí)，最大，此時(shí)．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關(guān)系，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，得出當(dāng)點(diǎn)O、C、D三點(diǎn)共線時(shí)最大．19．(1)見分析 (2)【分析】（1）根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可完成證明；（2）結(jié)合（1）證明四邊形BFDE是菱形，可得DE=BE，然后根據(jù)勾股定理即可解決問題．（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，ADBC，∵AE=CF，∴DE=BF，DEBF，∴四邊形BFDE是平行四邊形；（2）解：∵四邊形BFDE是平行四邊形，EF⊥BD，∴四邊形BFDE是菱形，∴DE=BE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在Rt△ABE中，BE=DE=AD-AE=4-AE，AB=2，根據(jù)勾股定理得：BE2=AE2+AB2，∴（4-AE）2=AE2+22，解得AE=．【點(diǎn)撥】此題考查矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)定理解答．20．(1)見分析 (2)是直角三角形．理由見分析【分析】（1）首先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，即可證明出；（2）根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得到，即可得到是直角三角形．解：（1）證明：∵，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，由翻折得，∴；（2）是直角三角形．證明：∵∴，∵，∴，∵，∴即，所以是直角三角形．【點(diǎn)撥】考查的是翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，翻轉(zhuǎn)變換是一種對(duì)稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．21．(1)見分析 (2)【分析】(1)連接DF，可證得四邊形ABDF為平行四邊形，，，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BD=DC=AF，，即可證得四邊形ADCF是矩形；(2)設(shè)AD=x，則，根據(jù)勾股定理即可求得AD、BC的長(zhǎng)，再根據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理即可求得BF的長(zhǎng)．解：（1）證明：如圖：連接DF，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，，BE=FE，四邊形ABDF為平行四邊形，，，，是等腰三角形，又為邊上的中線，，，CD=AF，四邊形ADCF為平行四邊形，四邊形為矩形；（2）解：設(shè)AD=BC=x，則，在中，，得，解得或(舍去)，AD=BC=4，四邊形為矩形，，在中，．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．22．（1）詳見分析；（2）1【分析】（1）證出∠BAD＝∠BCD，得出四邊形ABCD是平行四邊形，得出OA＝OC，OB＝OD，證出AC＝BD，即可解決問題；（2）作OF⊥BC于F．求出EC、OF即可解決問題；解：（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠BAD＝∠BCD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形．（2）解：作OF⊥BC于F，如圖所示．∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴AO＝BO＝CO＝DO，∴BF＝FC，∴OF＝CD＝1，∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，∴∠EDC＝45°，在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，∴△OEC的面積＝?EC?OF＝1．【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)、三角形的面積、三角形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問題，屬于中考常考題型．23．(1)(15，0)、(0，9)、(15，9)；(2)(12，0)；(3)(15，4)．【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)即可解決問題；(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)和勾股定理即可得OD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)根據(jù)折疊的性質(zhì)和勾股定理即可得DE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得點(diǎn)E的坐標(biāo)．解：（1）∵四邊形OABC