高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練(8)(解析版)

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（8）15.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和（2）是否存在正整數(shù)m，n（），使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1），（2）存在，，【解答】【分析】（1）設(shè)出公差，得到方程組，求出公差，得到通項(xiàng)公式，并利用錯(cuò)位相減法求和；（2）假設(shè)存在正整數(shù)m，n（），使得，，成等比數(shù)列，得到方程，得到，求范圍，即得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由題意在等差數(shù)列an中，設(shè)公差為d由，得，則，又，，成等比數(shù)列，∴7，，成等比數(shù)列，得，即，得，∴，，∴數(shù)列an的通項(xiàng)公式為：（）．∴，∴.【小問(wèn)2詳解】若存在正整數(shù)m，n（），使得，，成等比數(shù)列，則，即，化簡(jiǎn)得：，解得：又且，所以，，故存在正整數(shù)，，使得，，成等比數(shù)列.16.如圖，在多面體ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，△ABC和△ACD均為正三角形，，，點(diǎn)F在棱AC上.（1）若BF∥平面CDE，求CF的長(zhǎng)；（2）若F是棱AC的中點(diǎn)，求二面角的正弦值.【答案】（1）（2）【解答】【分析】（1）記中點(diǎn)為，連接、，依題意可得，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，設(shè)，，依題意可得求出的值，即可得解；（2）依題意點(diǎn)與點(diǎn)重合，利用空間向量法計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】記AC中點(diǎn)為M，連接DM、BM，三角形ACD為正三角形，，則DM⊥AC，且.因?yàn)槠矫鍭CD⊥平面ABC，平面平面，平面ACD，所以DM⊥平面ABC，又△ABC為正三角形，所以BM⊥AC，所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，設(shè)平面CDE的法向量為，則，令，則，，則，設(shè)，，則，因?yàn)锽F∥平面CDE，所以，解得，所以F為CM的中點(diǎn)，此時(shí).【小問(wèn)2詳解】若F是AC的中點(diǎn)，則點(diǎn)F與點(diǎn)M重合，則平面FDE的一個(gè)法向量可以為，設(shè)二面角為，顯然二面角為銳角，則，所以，所以二面角的正弦值為.17.為了有效預(yù)防流感，很多民眾注射了流感疫苗.市防疫部門隨機(jī)抽取了1000人進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外沒(méi)注射疫苗的200人中有80人感染流感.醫(yī)學(xué)研究表明，流感的檢測(cè)結(jié)果有檢錯(cuò)的可能，已知患流感的人其檢測(cè)結(jié)果有呈陽(yáng)性（流感），而沒(méi)有患流感的人其檢測(cè)結(jié)果有呈陰性（未感染）（1）估計(jì)該市流感感染率是多少？（2）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，判斷是否有99％的把握認(rèn)為注射流感疫苗與預(yù)防流感有關(guān)；（3）已知某人的流感檢查結(jié)果呈陽(yáng)性，求此人真的患有流感的概率.（精確到0.001）附：．0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）（2）有（3）【解答】【分析】（1）根據(jù)古典概型運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題中數(shù)據(jù)得到列聯(lián)表，結(jié)合卡方運(yùn)算公式和附表中的值進(jìn)行判斷即可；（3）利用條件概率和全概率公式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】估計(jì)流感的感染率；【小問(wèn)2詳解】列聯(lián)表如下：疫苗情況患有流感不患有流感合計(jì)打疫苗220580800不打疫苗80120200合計(jì)300700100所以，所以有99.9%的把握認(rèn)為注射流感疫苗與流感發(fā)病人數(shù)有關(guān).【小問(wèn)3詳解】設(shè)事件A為“一次檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性”，事件B為“被檢測(cè)者確實(shí)患有流感”，由題意得，，，，，由全概率公式得，所以，于是此人真的患有流感的概率是0.976.18.具有公共焦點(diǎn)、公共對(duì)稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”．（1）如圖所示，已知“盾圓D”的方程為設(shè)“盾圓D”上的任意一點(diǎn)M到的距離為，M到直線的距離為，求證：為定值；（2）由拋物線弧，與橢圓弧所合成的封閉曲線為“盾圓E”．設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與“盾圓E”交于A、B兩點(diǎn)，，，且（），試用表示，并求的取值范圍．【答案】（1）證明見解答；（2）或，．【解答】【分析】（1）設(shè)“盾圓D”上的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為，再根據(jù)拋物線的方程表達(dá)出的解答式證明即可（2）根據(jù)圓錐曲線的參數(shù)方程將A、B的坐標(biāo)用三角函數(shù)表示，從而使求的范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域的求法即可【詳解】解：（1）證明：設(shè)“盾圓D”上的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則．當(dāng)時(shí)，（），，即；當(dāng)時(shí)，（），．即；∴為定值．（2）顯然“盾圓E”由兩部分合成，所以按A在拋物線弧或橢圓弧上加以分類．由“盾圓E”的對(duì)稱性，不妨設(shè)A在x軸上方（或x軸上），當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，．當(dāng)時(shí)，A在橢圓弧上，由題設(shè)知代入，得，整理得，解得或（舍去）．當(dāng)時(shí)，A在拋物線弧上，由方程或定義均可得到，于是．綜上，或．相應(yīng)地，．①當(dāng)時(shí)，A在拋物線弧上，B在橢圓弧上，；②當(dāng)時(shí)，A在橢圓弧上，B在拋物線弧上，；③當(dāng)時(shí)，A、B在橢圓弧上，．綜上，．19.已知函數(shù)，記是的導(dǎo)函數(shù).（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）（2）的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是和（3）證明見解答【解答】【分析】（1）求出當(dāng)時(shí)的的導(dǎo)函數(shù)即可得；（2）先分類討論求出的導(dǎo)函數(shù)，即可得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)去研究的正負(fù)，即可得函數(shù)的單調(diào)性；（3）原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為證明：當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)，可得的導(dǎo)函數(shù)與的關(guān)系，即可得其單調(diào)性，即可得證.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以【小問(wèn)2詳解】先求的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，總有，所以，令，則，，所以在，上均單調(diào)遞減，由（1），又，也即是，所以當(dāng)時(shí)，，于是，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，于是，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，于是，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，于是，所以在上單調(diào)遞減，故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是和；【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí)，要證，只需證，因，所以只需證，只需證，只需證