方法技巧專題(一) 數(shù)形結(jié)合思想訓(xùn)練測試練習(xí)題

方法技巧專題（-）數(shù)形結(jié)合思想訓(xùn)練

【方法解讀】數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度，利用幾何圖形的

性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問題的解決方案（以形助數(shù)），或利用數(shù)

量關(guān)系研究幾何圖形的性質(zhì)解決幾何問題（以數(shù)助形）的一種數(shù)學(xué)思

想。

1.我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，回顧學(xué)習(xí)過程，都

是按照列表、描點、連線得到函數(shù)的圖象，然后根據(jù)函數(shù)的圖象研究

函數(shù)的性質(zhì)，這種研究方法主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）

A.演繹B.數(shù)形結(jié)合

C.抽象D.公理化

2.若實數(shù)a,b、c在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖FIT,則下列式子正確的

是（）

圖F1-1

A.ac>bc

B.Ia-bl=a-b

C,-a<-b<-c

D.-a-c>-b-c

3.[2017.懷化]一次函數(shù)y=2x一的圖象經(jīng)過點P(-2,3),且與x軸、

y軸分別交于點4B,則△/力的面積是()

11

A.2B.4

C.4D.8

4.[2018.仙桃]甲、乙兩車從力地出發(fā)，勻速駛向8地.甲車以80km/h

的速度行駛1h后，乙車才沿相同路線行駛.乙車先到達〃地并停留

1h后，再以原速按原路返回，直至與甲車相遇.在此過程中，兩車

之間的距離y(km)與乙車行駛時間＞(h)之間的函數(shù)關(guān)系如圖F1-2所

示.下列說法：①乙車的速度是120km/h;②加=160;③點〃的坐標(biāo)是

(7,80);@=7.5.其中說法正確的有()

A.4個B.3個

C.2個D.1個

5.已知二次函數(shù)y=(xV)2*(力為常數(shù))，在自變量x的值滿足iwx

W3的情況下，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為5,則h的值為

()

A.1或-5B.-1或5

C.1或-3D.1或3

6.[2018.白銀]如圖F-3是二次函數(shù)〃。是常數(shù)，d

X0)圖象的一部分，與x軸的交點力在點(20)和(3,0)之間，對稱

軸是直線才可，對于下列說法：①泌＜0,②2d歷或③3a+Q0,④a+b

2成am+b)5為常數(shù))，⑤當(dāng)-14＜3時，yX),其中正確的是

()

圖F1-3

B.0（2X5）

7.如圖Fl-4是由四張全等的矩形紙片拼成的圖形，請利用圖中空白

部分面積的不同表示方法，寫出一個關(guān)于W。的恒等式：.

Ih-a-i

Trq—

圖Fl"

8.[2018.白銀]如圖F1甘，一次函數(shù)y二-『2與尸2x加的圖象交于點

（2x+m<-x-2,

*〃，V）,則關(guān)于x的不等式組iT-2〈O的解集為

9.《莊子?天下篇》中寫道：“一尺之梗，日取其半，萬世不竭意

思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永遠也取不完，如

圖F1-6.

111

2.」國?

--------1---------*

圖F1-6

illJ_

由圖易得：A+吩0?鐘二.

10.當(dāng)x項或產(chǎn)■〃（〃祥〃）時，代數(shù)式夕-2戶3的值相等，則x或十〃時，

代數(shù)式*-2x+3的值為

11

1L已知實數(shù)26滿足才刊刊斤刊二b,則2018—-.

(x-1)2+l,x<2,

12.已知函數(shù)y」(x-4)2.2,x”使尸A成立的X的值恰好只有3個時，k

的值為.

13.(1)觀察下列圖形與等式的關(guān)系，并填空：

。:?一：：1+3=22；

??OO2

O??.??o1+3+5=3;

0O??????

??OOO

O????OO

?◎???—????01+3+5+7=___；

OCO????????

??。。?！?。

O????OOO

CO???,???030

oco???????????o1+3+5+7+***+(2/!-1)=___

OOOC???????第〃行????????

圖F1-7

⑵觀察圖F1-8,根據(jù)(1)中結(jié)論，計算圖中黑球的個數(shù)，并用含有〃

的代數(shù)式填空：

第

M斤

第

(n

第S++1

圖Fl-8

1^3^(2/7_1)+()^(2/?-1)八?馮+3+1=.

14.[2018.北京]在平面直角坐標(biāo)系才。伊中，直線*4才網(wǎng)與x軸、y

軸分別交于點44拋物線ypfMxTa經(jīng)過點4將點8向右平移

5個單位長度，得到點C

(1)求點。的坐標(biāo)；

⑵求拋物線的對稱軸；

⑶若拋物線與線段回恰有一個公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值

范圍.

參考答案

l.B2.D3.B

4.B［解析］甲、乙兩車最開始相距80k*0到2h是乙在追甲，

并在2h時追上，設(shè)乙的速度為xkm/h,可得方程2x-2X80W0,解

得產(chǎn)120,故①正確；

在2h時甲、乙距離為0,在6h時乙到達耳地，此時甲、乙距離

-(6-2)X(120-80)-160(km),故②正確;

〃點是乙在夕地停留1h后開始原路返回，6h時甲、乙距離是160km,

1h中只有甲在走，所以1h后甲、乙距離80km,所以點〃的坐標(biāo)

是(7,80),故③正確；

最后一段是乙原路返回，直到在〃h時與甲相遇，初始距離80km,

所以相遇時間40=(120+80)^.4,所以片7.4,故游昔誤.

綜上所述，①②③正確，期昔誤，正確的有3個，故選B.

5.B［解析］由二次函數(shù)的頂點式y(tǒng)=(x")2+l,可知當(dāng)十二方時，y取

Jh>3,

得最小值1.(1)如圖①，當(dāng)產(chǎn)3,y取得最小值時，1(3㈤2+1=5.解得

力=5(力=1舍去);

(h<l,

⑵如圖②，當(dāng)產(chǎn)1,y取得最小值時，1。-九1+】=5、解得力二一1(加3舍

去).故選B.

6.A［解析］???拋物線的開口向下，.??&<()????拋物線的對稱軸為直線

b

x=l,即x=-2a=1,.,.6=-2a0,/.ab<0,2a+b去、.,?①(2)正確.

當(dāng)x=T時，y=a-b+c瑪a+c,由對稱軸為直線x=1和拋物線過x軸

上的4點，力點在點(2,0)和(3,0)之間，知拋物線與x軸的另一個

交點在點(-1,0)和(0,0)之間,所以當(dāng)x=T時,尸3#c<0,.?.③錯

、口

1天,

當(dāng)x=l時，尸a+b+c,此點為拋物線的頂點，即拋物線的最高點，也

是二次函數(shù)的最大值.當(dāng)x初時，y=a希+bm+c=m(am+抗+c、此時有

a+b+g6+c、即a+bNni(ani+抗,4正確.

???拋物線過x軸上的1點，力點在點(2,0)和(3,0)之間，則拋物線

與x軸的另一個交點在點(T,0)和(0,0)之間，由圖知，當(dāng)2a<3

時，有一部分圖象位于x軸下方，說明此時9<0,根據(jù)拋物線的對稱

性可知，當(dāng)T46E寸，也有一部分圖象位于x軸下方，說明此時j，6,

5錯誤.故選A.

8.-2<%<2［解析］???尸-才-2的圖象過點P(億Y),2=/,解

得〃力..?.尸點坐標(biāo)是(2,⑷.

觀察圖象知：2x+m〈-x或的解集為x猊.解不等式-『2<0可得%>-2.

(2x+m<-x-2,

二不等式組I-x.2<。的解集是-2㈠⑵

1

9.10

10.311.1

12.1或2［解析］畫出函數(shù)解析式的圖象，要使yN成立的x的值

恰好只有3個，即函數(shù)圖象與y=k這條直線有3個交點.函數(shù)

f(x-1)2+l,x<2,

y」(x-4)2-2,x"的圖象如圖.

根據(jù)圖象知道當(dāng)y刁或2時，對應(yīng)成立的X值恰好有3個，或

2.故答案為1或2.

13.解:(1)1格1+7=16^2.

觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第一個圖形：1格之2,第二個圖形：1+3當(dāng)力2,第

三個圖形：1+3巧打…，

第(〃T)個圖形：1+3筠-一(2〃-1)4.

故答案為：42小

⑵觀察圖形發(fā)現(xiàn)：

圖中黑球可分三部分，1到〃行,第("D行，("2)行到(2"1)行,

艮|]1不由,…42(/<1)-1]〃2々-1),…傷+3*一[1/3傷*…

+(2〃-1)]+(2〃+1)+[(2/?-1)+…巧+3+1]5也n+1力/刈^發(fā)力+].故答案

為：2n+l2//+2〃丑.

14.解：⑴?.?直線產(chǎn)網(wǎng)與x軸、y軸分別交于點4B,

0),BS,4).

???將點夕向右平移5個單位長度，得到點C

."(0電4),即。(5,4).

⑵:拋物線y=ax+bxTa經(jīng)過點力，

.,.a-b-3a=Q.Z?--2a.

b-2a

?,?拋物線的對稱軸為直線*=-2a=-2a勺，即對稱軸為直線X=L

⑶易知拋物線過點(T,0),(3,0).①若a>0,如圖，易知拋物線

過點(5,12a),若拋物線與線段燈;恰有一個公共點，滿足12aN4即

1

可，可知a的取值范圍是

②若a<0,如圖，易知拋物線與y軸交于點(0,Ta),要使該拋物線

4

與線段必只有一個公共點，就必須-3冷4,此時

③若拋物線的頂點在線段比上，此時頂點坐標(biāo)為(1,4),從而解析

式為y=a(x-l)2可，將力(T,0)代入，解得》二-1,如圖：

綜上，a的取值范圍是心3或或a=-i.

方法技巧專題(二)分類討論思想訓(xùn)練

【方法解讀】當(dāng)數(shù)學(xué)問題中的某一條件模糊而不確定時，需要對這一

條件進行分類討論，然后逐一解決.常見的分類討論有概念的分類、

解題方法的分類和圖形位置關(guān)系的分類等.

1?點4反。在。。上，4加分100°,點c不與4夕重合，則乙

的度數(shù)為()

A.50°B.80?；?0°C.130°D.50°或

130°

2.[2018.山西權(quán)威預(yù)測]已知一等腰三角形的兩邊長凡y滿足方程

(2x-y=3,

f3x+2y=&則此等腰三角形的周長為()

A.5B.4C.3D.5或4

3.[2018.棗莊]如圖F2-1是由8個全等的矩形組成的大正方形，線

段力3的端點都在小矩形的頂點上，如果點，是某個小矩形的頂點，

連結(jié)為，PB、那么使△力配為等腰直角三角形的點〃有()

圖F2T

A.2個B.3個C.4個D.5個

4.[2018.鄂州]如圖F2-2,已知矩形4靦中，cm,BC=8cm,

動點，在邊回上從點8向點C運動，速度為lcm/s,同時動點0從

點C出發(fā)，沿折線運動，速度為2cni/s.當(dāng)一個點到達終點

時，另一個點隨之停止運動.設(shè)點〃運動時間為六s),△6閭的面積

為5(cm2),則描述S(cn?)與時間Ms)的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是

()

圖F2-2

圖F2-3

5.[2018.聊城]如果一個正方形被截掉一人角后，得到一個多邊形，

那么這個多邊形的內(nèi)角和是.

6.[2018?安徽]矩形月陽中，AB~6,笈6點〃在矩形月a7?的內(nèi)部，

點￡在邊勿上，滿足△必”△〃比；若分是等腰三角形，貝

的長為.

k

7.如圖F2M,已知點力(1,2)是反比例函數(shù)y。圖象上的一點，連結(jié)

力0并延長交雙曲線的另一分支于點B,點戶是x軸上一動點，若△為8

是等腰三角形，則點，的坐標(biāo)是.

圖F24

8.[2017.齊齊哈爾]如圖F2+,在等腰三角形紙片片比中，48刃G10,

式n2,沿底邊比、上的高力〃剪成兩個三角形，用這兩個三角形拼成

平行四邊形，則這個平行四邊形較長的對角線的長是.

圖F2T

9.[2017.義烏]如圖F2~6,乙加層45°,點叫N在邊》上，OM二X、

做三才掰，點〃是邊加上的點，若使尸，業(yè),V構(gòu)成等腰三角形的點P

恰好有3個，則x的值是.

圖F2~6

參考答案

l.D

{x=2

y=L當(dāng)2作為腰長時，等腰三角形的周長為

5；當(dāng)1作為腰長時，因為1川之，不滿足三角形的三邊關(guān)系.故等腰

三角形的周長為5.

3.B［解析］如下圖，設(shè)每個小矩形的長與寬分別為x,匕則有

2戶戶2匕從而x%.因為線段皿是長與寬為2；1的矩形對角線，

所以根據(jù)網(wǎng)格作垂線可知，過點B與力方垂直且相等的線段有協(xié)和

BE、過點力與43垂直且相等的線段有自且4為A都在頂點上,

因此滿足題意的點月共有3個.故選B.

4.A［解析］由題意可知，0W1W4,當(dāng)0W￡<2時，如下圖，

11

s3BRCQ3t2t二干;

當(dāng)時，如下圖，點。與點〃重合，則BP%CQA故

11

S3BPCQ&X2X44

11

當(dāng)2CW6時，如下圖,點。在/〃上運動IS二2第繆二22.4-2上

故選A.

5.180°或360。或540。［解析］如圖，一個正方形被截掉一個角

后，可能得到如下的多邊形:

這個多邊形的內(nèi)角和是180?；?60。或540。.

6

6.3或《［解析］由題意知，點〃在線段劭上.(1)如圖，若外三%

則點尸在力〃的垂直平分線上，故點尸為切的中點，PELBQ故"

I

//CD,故"=5〃C=3.

(2)如圖，若DA=DP,貝1J/甘，在RtZ\/?67?中，二后正F^IO,

BP=BD-DP^.

PEBP116

△PBEs△DBCy又二麗A,...PE^CDM.

6

綜上所述，所的長為3或：

7.(-5,0)或(-3,0)或(3,0)或(5,0)

8.10或4后或2月［解析］在△力8。中，?.F8刃。=01,BCA2、底邊

11

力上的高是力僅二乙ADB二乙ADC馮。。,BD=CD^BC3義\2鼻、/.

加二八o2.62c

用這兩個三角形拼成平行四邊形，可以分三種情況：

⑴按照如圖的方法拼成平行四邊形，則這個平行四邊形較長的對角

線的長是10.

⑵按照如圖的方法拼成平行四邊形，則這個平行四邊形較長的對角

線的長是"UN舊.

(3)按照如圖的方法拼成平行四邊形，則這個平行四邊形較長的對角

線的長是??+KN招.

綜上所述，這個平行四邊形較長的對角線的長是10或4回或2了.

9.產(chǎn)0或xN企Y或4GC屈［解析］根據(jù)〃kX,ON=X低、可知新VZ.

作網(wǎng)」的垂直平分線，該線與射線。〃始終有一個公共點，分別以點可

%為圓心，4為半徑畫圓，觀察兩圓與射線神的交點情況：

⑴當(dāng)ON與射線力沒有公共點，。材與射線必有兩個公共點時，滿

足題意，如圖①，此時44<4屈

⑵當(dāng)0、與射線仍相切，只有一個公共點時，。"與射線如也只有

一個公共點時，也滿足題意，如圖②，此時x刃湎得；

B

⑶當(dāng)。川與射線以有兩個公共點時，此時。"與射線仍只有一個公

共點，因此當(dāng)。川與射線力有兩個公共點時，必須出現(xiàn)不能與點必

N構(gòu)成三角形的一個點，也能滿足題意，如圖③，此時才4）.

方法技巧專題（三）整體思想訓(xùn)練

【方法解讀】整體思想是研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時，通過研究問題

的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征，從而對問題進行整體處理的解題

方法.

3

L[2018.樂山]已知實數(shù)2人滿足后2,ab=^則a-（）

55

A.1B.-2C.±\D.±2

2.[2018.瀘州]如圖F3T,。力比?的對角線/C,曲相交于點。，E

是/夕的中點，且熊坊則。4?切的周長為（）

圖F3T

A.20B.16C.12D.8

3.[2018?濟寧]如圖F32,在五邊形4?。冗中，乙//乙〃/乙少=300°

DP、"分別平分乙業(yè)匕乙BCD,則乙尸的度數(shù)是（）

圖F3-2

A.50°B.55cC.60°D.65°

4.[2018.襄陽]如圖F3-3,在△/!阿中，分別以點力和點。為圓心,

1

大于1。長為半徑畫弧，兩弧相交于點M川作直線助V分別交比；

力。于點〃，后若萩=3cm,△力〃〃的周長為13cm,則△/回的周長為

()

圖F3-3

A,16cmB.19cmC.22cmD.25cm

5.[2018?岳陽]已知H=2a=1,則3(才+2為也的值為.

6.[2018.揚州]若如是方程27-3彳-14的一個根,則6k-9/元2015的

值為.

7.[2018.成都]廣片0.2,x+3y=l,則代數(shù)式/尚孫弘/的值

為?

8.[2018.江西]一元二次方程VFx也力的兩根為小，應(yīng)，則

x；~4x+2乂屁的值為.

11

9.[2018.黃岡]若a二邛,則才%2的值為.

iiiiiiiii111111111

10.計算(1-2-54-5)(2^3^4^5^6)-(1-2-3-4-5-6)(2^3^4^5)的結(jié)果

是，

1L先化簡,再求值：(2/〃力)(2/〃-1)-(/〃-1)。(2/〃)一(-8/〃)，其中仍是

方程/打-24)的根.

12.已知（a歷）2召，（&9）23,求下列各式的值:

⑴衣方之和ab;

⑵才必

11

⑶a?+2付2+2.

參考答案

3

1.C［解析］?：a+b%：.(a+b)2工,即/也必歷又?.,助二4/.

3

(蝮-8)2=(4弘)2-446N-4X4=i,.?.a-b=±\.故選C.

注：此題把匕坊'，七”分別當(dāng)作整體.

2.B［解析］因為口N版的對角線/C,劭相交于點0,所以。為“

的中點.

1

又因為￡是”的中點，所以四二2典功是△四。的中位線，

1

所以EO^BC.

因為AE+E04、

怩以AB+BC=2(AE+E0)飛.

在口ABCD^yAD=BCyAB=CD,

所以周長為21AB+BONX8-16.故選B.

注:此題把“AB+BC當(dāng)作整體.

3.C［解析］根據(jù)五邊形的內(nèi)角和等于540°,由乙"乙加乙

斤300。，可求乙戊刀+乙功￡的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義可得乙

/刃。與乙筋的角度和，進一步求得乙〃的度數(shù).

???五邊形的內(nèi)角和等于540。，乙A+乙B+乙E400：

：.UCD+乙CDEW4QQ-300°-240°.

■:乙BCD、乙。次的平分線在五邊形內(nèi)相交于點々

1

:,乙PDC+乙PCDl乙BCD+乙CD。W,

4氏180°-120°-60°.故選C.

注：此題把“乙BCD+乙CDE'當(dāng)作整體.

4.B［解析］由尺規(guī)作圖可知,是線段月「的垂直平分線，.?)〃普,

AC^2AE=6(cm),

:.AB+BC=AB+BD+DC=AB+BD+AD=C2BD==\3cm,

...CwAB+BC+ACA3%=19(cm).故選B.

注：此題把“B+BC當(dāng)作整體.

5.5［解析］...，+2a=l,.?飛(甘地梳配々配$.

注：此題把“才也?當(dāng)作整體.

6.2018［解析］由題意可知：2方-3%-14),/.2/n-3/n=l,二原式

=3(2序-3/〃)+2015-2018,故答案為2018.

注:此題把“2/L3獷當(dāng)作整體.

7.0.36［解析］???x"=0.2①，x+3y刁②，

①忍，得2入抬產(chǎn)1.2,^2y-0.6,

???/抬燈尚V=(x+2j/)'R.36.

注：此題把“升W3y一戶2了，分別當(dāng)作整體.

8.2［解析］?.?AMX*2R的兩根為汨，照，「.汨9之，xi-4%i^-24),即

x；Fx=-2,

2

X1-4修+2MY2--2+2X2=0..

JJ_111

9.8［解析］a-a邛,??.原式4，。2_20。+2,2。=(<3-。)2+2=(佝2/2引

1

注：此題把匕與‘當(dāng)作整體.

11111

10.6［解析］設(shè)2+5+'+可干，則原式

111551

-(1-5)?(H后-(1-5-6)-6-/6a-a-6a-f-a-6.

1111

注：此題中的整體是舊石荷店”.

11.解：原式

=Ani-1-2/〃+1)+8/-r(-8%)=^ni-1-ni+2〃T-勿’=2nf+2勿-2=2(/+力T)

■

???加是方程/以-2二0的根，

?，.〃/力〃-26m加之,

?.?原式2X(2T)=2.

注：此題把喻+4當(dāng)作整體.

12.解：⑴依題意得才也必出W①，才-2的42%②.

①逑)，得2(才sA］。，即才42節(jié).

①念，得4/N,即助二1.

⑵(才班竽_2(泌嚴(yán)與2_2X1245—243.

b2+2a2+2

⑶原式二4+2)〃+2)*Q2+2)〃+2)

a2+b2+45+43

二(ab)2+2(a2+b2)+4二產(chǎn)+2x5+4-5,

注:此題把%IT卷+吹分別當(dāng)作整體.

方法技巧專題(四)構(gòu)造法訓(xùn)練

【方法解讀】構(gòu)造法是一種技巧性很強的解題方法，它能訓(xùn)練思維的

創(chuàng)造性和敏捷性.常見的構(gòu)造形式有：(1)構(gòu)造方程；(2)構(gòu)造函數(shù)；(3)

構(gòu)造圖形.

1.［2018.自貢］如圖F4-1,若內(nèi)接于半徑為〃的。。，且乙

力與0。，連結(jié)破OC,則邊相的長為()

圖F4-1

A.居？B.萬/?C，R

2.[2018.遵義]如圖F4-2,直角三角形的直角頂點在坐標(biāo)原點，乙

6

小慶30。，若點力在反比例函數(shù)yc（%X））的圖象上，則經(jīng)過點8的反

比例函數(shù)的解析式為（）

圖F4-2

64

A.尸一XB,尸-X

22

C.片一xD.尸

3.設(shè)關(guān)于x的一元二次方程（xT）（公2）=加加0）的兩根分別為a、B、

且Q〈8,則8滿足（）

A.<￡<2B.<2<B

C.a<\<&<2D.。<1且￡）2

4.如圖F4-3,六邊形力比歷的六個內(nèi)角都相等.若18=1,BC=Cf

DE2則這個六邊形的周長等于.

圖F4-3

5.[2018.揚州]如圖F4速已知08的半徑為2,△力理內(nèi)接于。0,

LACI3=\3b°,貝無_______.

圖F4Y

px-my=5,(X=1,

6.[2018.濱州]若關(guān)于XJ的二元一次方程組i2x+ny=6的解是fy=2則

關(guān)于a、b的二元一次方程組I3+b)+n(a-b)=6的解是.

7.[2018.揚州]問題呈現(xiàn)

如圖F4T①，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，連結(jié)格點"”'和￡C、

ZW和星相交于點P、求tan乙。W的值.

方法歸納

求一個銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出(或構(gòu)造出)一個直角三

角形.觀察發(fā)現(xiàn)問題中LCPN不在直角三角形中，我們常常利用網(wǎng)格

畫平行線等方法解決此類問題，比如連結(jié)格點M川可得以〃酸，

則乙〃Ma乙6c”連結(jié)〃區(qū)那么乙。W就變換到Rt△〃物V中.

問題解決

(1)直接寫出圖①中tan/CTW的值為;

(2)如圖②，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，4V與CV相交于點P,求

cosZ_67W的值.

思維拓展

⑶如圖③，AB1BC,ABNBC,點材在四上，且AM二BC、延長仃到

息N、鹿BNNBC,連結(jié)4平交Q/的延長線于點￡用上述方法構(gòu)造網(wǎng)

格求乙OW的度數(shù).

①

圖F4-5

參考答案

1.D［解析］如圖，延長交。。于點。連結(jié)物,

?..乙/-60°,.??乙〃二4/-60°.

???切是。。的直徑，

乙煙四0°.

BCBC?

在RtZXBCO中，sin〃二6二in60°二2,

/.BCNR.故選D.

注：此題構(gòu)造了直角三角形.

2.C［解析］如圖，過點力作價軸于點火過點6作腳_Lx軸于

點二

B0

由三垂直模型，易得△/叱△。形1,相似比等于布，在Rt△力必中，

乙048=30°,

B0,S&BNO1

所以"°Xan30°二3,所以S^OMQS.

6

因為點力在雙曲線片無上，

所以SAM華，所以SAZEW?-1,所以—

2

即經(jīng)過點8的反比例函數(shù)的解析式為y—.故選C.

y

吹/\

/I?、、//I

NOM'''1

注：此題構(gòu)造了相似三角形.

3.D［解析］一元二次方程（x-1）（x-2）初5期的兩根實質(zhì)上是拋物

線尸（『1）（『2）與直線y加兩個交點的橫坐標(biāo).如圖，顯然〃<1且

￡>2.故選D.

注：此題構(gòu)造了二次函數(shù).

4.15［解析］分別將線段CD、跖向兩端延長，延長線構(gòu)成一個

等邊三角形，邊長為8,則比2,加工，故所求周長二1+3知發(fā)+2%司5.

注：此題構(gòu)造了等邊三角形.

5.2企［解析］如圖，在優(yōu)弧力夕上取一點〃，連結(jié)力〃，BD、（M,0B、

的半徑為2,△力式內(nèi)接于。。，AACB=135°,

???乙/施為5°,LAOB^Q.

?.?勿=0廬2,:.AB之睨.

故答案為2M.

注：此題構(gòu)造了直角三角形.

3

\b=1+b=1,

6J2［解析］根據(jù)題意，對比兩個方程組得出方程組1。?=2.所

3

以p！l2

注：此題構(gòu)造了一個二元一次方程組.

7.［解析］(1)根據(jù)方法歸納，運用勾股定理分別求出版V和〃獷的值,

即可求出tan4切V的值；

(2)仿(1)的思路作圖，即可求解；

⑶利用網(wǎng)格，構(gòu)造等腰直角三角形解決問題即可.

解：⑴由勾股定理得:DM2我MN5、

DN際.

???(2也TN低產(chǎn)二(回)2,

:?DM+MN=DN,

.??△〃即是直角三角形.

■:網(wǎng)IEC、?二乙CPN二乙DNM.

DM2也

丁tan乙〃八游MN二避之，

tan乙

⑵如圖，取格點〃連結(jié)徵，DM.

?/CD//AN,：.，CPN=人DCM.

易得是等腰直角三角形，

.?2/0=45°,

g

cosLCPN=cos〃C￥=cos45°-2,

⑶構(gòu)造如圖網(wǎng)格，取格點Q連結(jié)AQQN.

易得/T〃QV:.乙CPN二乙ANQ.，：AQ=QN、AA&V^O°,:.乙ANQ二乙

,人口5°,

二.乙%歸15°.

方法技巧專題（五）轉(zhuǎn)化思想訓(xùn)練

【方法解讀】轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的根本思想，解數(shù)學(xué)題的過程

其實就是逐漸轉(zhuǎn)化的過程.常見的轉(zhuǎn)化方法有：未知向已知轉(zhuǎn)化，數(shù)

與形的相互轉(zhuǎn)化，多元向一元轉(zhuǎn)化，高次向低次轉(zhuǎn)化，分散向集中轉(zhuǎn)

化，不規(guī)則向規(guī)則轉(zhuǎn)化，生活問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化等等.

111111

1.[2018.銅仁]計箕5布而花癡/?一麗的值為（）

1991100

A.而B.TooC.99D.歷

2.[2018.嘉興]歐幾里得的《原本》記載形如/為的方程的圖解

a

法：畫RtA^C使乙/⑦W0°,BC&,AC=b、再在斜邊48上截取

a

BDA、則該方程的一個正根是（）

圖F5-1

AJC的長B/〃的長

C.用的長D.6Z?的長

3.[2018.東營]如圖F5-2,圓柱的高力慶3,底面直徑比'=3,現(xiàn)在有

一只螞蟻想從/處沿圓柱表面爬到對角。處捕食，則它爬行的最短距

離是（)

A.3日8B.3企

3,4+精

D.3"+/

4.[2018.白銀]如圖F5-3是一個運算程序的示意圖，若開始輸入的x

的值為625,則第2018次輸出的結(jié)果為

圖F5-3

5.[2018.廣東]如圖F5Y,矩形"⑦中，BCACD2以”為直徑

的半圓。與比、相切于點E、連結(jié)6”則陰影部分的面積

為.（結(jié)果保留幾）

圖F5F

6.[2018.淄博1如圖F5節(jié)，〃為等邊三角形力比'內(nèi)的一點，且點。到

三個頂點4B,C的距離分別為3,4,5,則△力比的面積為.

圖F5七

7.如圖F5~6①，點。是正方形/瓦。兩條對角線的交點.分別延長OD

到點G,初到點￡使。G?勿，OEtOC、然后以0G,您為鄰邊作正

方形麗,連結(jié)/G,DE.

⑴求證：DELAG.

⑵正方形力比方固定，將正方形OEFG繞點、。逆時針旋轉(zhuǎn)。角

(0°］。＜360°)得到正方形的‘UG’,如圖②.

①在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)乙以優(yōu)是直角時，求。的度數(shù)；

②若正方形然切的邊長為1,在旋轉(zhuǎn)過程中，求〃“長的最大值和此

時〃的度數(shù)，直接寫出結(jié)果，不必說明理由.

圖F5-6

參考答案

111111111111111

1.B［解析］?/2-1x2=1-^6-2X3-2-3,12-3X4-3-4,20-4x5-4-5t

11111111

30-5X6-5-69900^99X100^90-100

11，

11111111111111111199

.,.276-^12-^20^30^..^9900^1-2-H-3^3-4^4-5-/5-6--A99-100-1-100-100,故

選B.

aa2

2.B［解析］利用配方法解方程5x4,得到x司/巨、解得

X=］4-2或產(chǎn)34-2（舍去）.

根據(jù)勾股定理得4,由題意知BD2

根據(jù)圖形知道A2AB-BD,

即力〃的長是方程的一個正根.

故選B.

3.C［解析］將圓柱沿仍側(cè)面展開，得到矩形，如圖，則有/I長3,

3兀______42+（吵）23心十汗2

況1二萬,在RtZ\/8。中，由勾股定理，得4。二小標(biāo)+比也］T二一廠.

故選C.

111

4.1［解析］當(dāng)x與25時，代入打得打二9'625=125,輸出125;

111

當(dāng)x=125時，代入獲得外MXI25-25,輸出25;

111

當(dāng)十35時，代入心?得。二二乂25石，輸出5;

111

當(dāng)產(chǎn)5時，代入5得上停X5=l,輸出1;

當(dāng)＞=1時，代入"4得x網(wǎng)巧，輸出5;

111

當(dāng)x巧時，代入立得MXEX5=1,輸出1;

觀察發(fā)現(xiàn)從第4次以后奇數(shù)次就輸出5,偶數(shù)次就輸出1.

因此，第2018次輸出的應(yīng)是L

5.冗［解析］連結(jié)OE,易證四邊形/比，為正方形，則扇形。成的

圓心角為90°,半徑為2,因此可求扇形0切的面積，陰影面積看成

正方形四￡0的面積偏形的的面積-△力劭的面積，正方形ABEO.

扇形。切和劭的面積均可求，即可求得陰影部分的面積.

25m

6.9;?。劢馕觯萑鐖D，將△力如繞點力逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到

連結(jié)做作〃_L67/交。/的延長線于點/,易知△/以為等邊三角形,

HA二HP=PA3、HC=PB4.PC電

:?PC=Plt+C"ZL/7/C-90°,

33r3r

乙力〃/=30°,：.AI=2tHI/,...67=2’3司,

33r

.?/3互2,卦3掰2之5”2強

平乖25平

???S△/―二彳（25+12筋）馮廠廠.

7.解：⑴證明：如圖，延長切交/G于點〃

H

???點。為正方形力筋對角線的交點，

OA=OD,乙AOG二人DOE馮0。.

???四邊形龐尸。為正方形，

OG=OE、

乙AGO二乙DEO.

vLAGO+LGAO^Q,

:.乙DEO+乙GAO的.

乙加廬90。，即班」力￡

⑵①在旋轉(zhuǎn)過程中，乙如G'成為直角有以下兩種情況：

⑴。由0°增大到90°的過程中，當(dāng)4以G'為直角時,

11

OA=OD=iOG=2OG\

OA1

???在RtZ\力G'中，sin4/G'。二詬二2,

/.AAG，O=30°.

,.?OA1OD,OALAG\

/.OD//AG".

:.乙DOG'二人AGS,即。=30°.

（ii）Q由90。增大到180。的過程中，當(dāng)乙以G'為直角時，同理可

求得乙伙力'-30。，

所以〃=1800-30°=150°.

綜上，當(dāng)乙如G'為直角時，0°或150。.

電

②加廠長的最大值是2+Z此時〃出15°.

理由：當(dāng)力尸的長最大時，點U在直線絲上，如圖所示.

AB=BC=CD=AD=\,

g

AC=BD=^tAO=OD^.

：.OE'=E'F'{ODN.

OF；賦工函2

必

:.AF'=AO+OF'b物.

?.?乙〃0G'N5。,.??旋轉(zhuǎn)角360°-45°=315。.

方法技巧專題（六）中點聯(lián)想訓(xùn)練

【方法解讀】1.與中點有關(guān)的定理：（1）直角三角形斜邊上的中線等

于斜邊的一半.（2）等腰三角形“三線合一”的性質(zhì).（3）三角形的中位

線定理.（4）垂徑定理及其推論.

2.與中點有關(guān)的輔助線：（1）構(gòu)造三角形的中位線，如連結(jié)三角形兩

邊的中點;取一邊的中點，然后與另一邊的中點相連結(jié);過三角形一邊

的中點作另一邊的平行線等等.（2）延長角平分線的垂線，構(gòu)造等腰三

角形，利用等腰三角形的“三線合一（3）把三角形的中線延長一倍,

構(gòu)造平行四邊形.

1.[2018?南充]如圖F6T,在Rt△力■中，乙ACBW0。，乙1=30°,

D,E,尸分別為四，4c”的中點，若BC丸、則旗的長度為（）

A

圖F6-1

13

A.2B.1C.2D.由

2.[2017.株洲]如圖F6-2,點￡F、G,〃分別為四邊形/8口四條邊

物BC,CD、DA的中點，則下列關(guān)于四邊形砒力的說法正確的是（）

圖F6-2

A.一定不是平行四邊形

B.一定不會是中心對稱圖形

C.可能是軸對稱圖形

D.當(dāng)力時，它為矩形

3.[2018.荊門]如圖F6-3,等腰直角三角形力回中,斜邊4?的長為

2,。為四的中點，，為"邊上的動點，OQ工OP交BC干點、Q,顯為

國的中點，當(dāng)點尸從點A運動到點。時，點材所經(jīng)過的路線長為

（）

圖F6-3

也也

A.4HB.TJTC.1D.2

4.如圖F6M,在正方形/為⑶和正方形生產(chǎn)G中，點〃在CG上，BCA、

CEA〃是肝的中點，那么。/的長是（）

圖F6-4

A.2.5B.*C.薩D.2

5.[2018?眉山]如圖F6七，在口力瓦力中，CD9AD、BE1AD于點E,F

為%的中點，連結(jié)和BF,下列結(jié)論：①乙四之42陰②用物;

③S四邊形行WS△廝④34〃成其中正確的結(jié)論有（）

圖F6巧

A.1個B.2個

C.3個D.4個

I

6.[2018.蘇州]如圖F6-6,在中，延長BC至點、。使得CD^BC.

過北的中點〃作=〃〃（點〃位于點少右側(cè)）,且EFCCD.連結(jié)DF、

若力/8,則弧的長為.

圖F6-6

7.[2018.天津]如圖F6-7,在邊長為4的等邊三角形/比中，D,E

分別為力反比的中點，鰭14。于點￡G為鰭的中點，連結(jié)〃G,則

%的長為.

A

D,

R

圖F6-7

8.[2018.哈爾濱]如圖F6-8,在平行四邊形力.中，對角線力C,BD

相交于點?！☉糇鳇c￡尸分別是3,切的中點,連結(jié)防乙㈤,

EM1BC于點、可砌交劭于點MFN#、則線段區(qū)的長為.

圖F6-8

9.[2018德陽]如圖F6T,點〃為的/山邊上的中點，點￡為

3

力〃的中點，△力〃。為正三角形，給出下列結(jié)論，①CBNCE、②tan^H,

③乙ECD二乙DCB、④若力厘，點〃是四上一動點，點產(chǎn)到絲，歐邊

的距離分別為4,”,貝心〃城的最小值是3.其中正確的結(jié)論是

(填寫正確結(jié)論的序號).

圖F6-9

10.[2017徐州]如圖F6-10,在平行四邊形的如中，點。是邊交的

中點，連結(jié)加并延長，交腦的延長線于點￡連結(jié)物，EC.

⑴求證：四邊形應(yīng)山是平行四邊形；

(2)若乙上50。，則當(dāng)乙加/上_______°時，四邊形物力是矩形.

圖F6-10

11.[2017.成都]如圖F6T1,在△/比、中，AB=AC,以仍為直徑作圓

。，分別交比于點〃交勿的延長線于點￡過點〃作〃從于點

H,連結(jié)座交線段小于點￡

(1)求證：〃〃是。。的切線；

EF

⑵若/為￡7/的中點，求而的值;

(3)若口引尸=1,求。。的半徑.

圖F6-11

12.[2018.淄博]⑴操作發(fā)現(xiàn):

如圖F6T2①，小明畫了一個等腰三角形/仍乙其中/戶在△力%

的外側(cè)分別以力反仍為腰作了兩個等腰直角三角形力做48分別

取劭，CE,力的中點耳A；G、連結(jié)做GN、小明發(fā)現(xiàn)：線段掰與

3的數(shù)量關(guān)系是；位置關(guān)系是.

⑵類比思考：

如圖②，小明在此基礎(chǔ)上進行了深入思考，把等腰三角形四。換為一

般的銳角三角形，其中/您/。，其他條件不變，小明發(fā)現(xiàn)上述的結(jié)論

還成立嗎?請說明理由.

⑶深入探究：

如圖③，小明在(2)的基礎(chǔ)上，又作了進一步的探究，向△/回的內(nèi)

側(cè)分別作等腰直角三角形力以，48其他條件不變，試判斷△&,航的

形狀，并給予證明.

①②③

圖F6-12

參考答案

1.B［解析］在RtZU%中，乙”於90°,Z71-30°,BC2/.AB=\.

1111

CD五AB、「.C9=2x4-2.?「￡/分另ij為力￡力〃的中點，.?.止209=2X2=1.

故選B.

2.C

3.C［解析］如圖，連結(jié)〃％CM,OC.

1

vOQLOPy且財是放的中點，,??OM4PQ.

1

???△力阿是等腰直角三角形，：.AACB^0°,：.CQ,/.OM=CM^

??.△宓獷是等腰三角形，在比’的垂直平分線上.

???當(dāng)點〃在力點時，點"為然的中點，當(dāng)點尸在。點時，點財為回

的中點，

1

「?點科所經(jīng)過的路線長為5/必=1.故選C.

4.B

5.D［解析］如圖①，連結(jié)〃'并延長與配的延長線相交于點反易

證IXADUMMCF、：.AF二MF、AD=MC.X-/AD=BC}DC二AB丸AD、：.AB=BM,

:'乙ABC之乙ABF、故①正確.

如圖②，延長例勿相交于點G.易得△加

/.FE=FG.BELAD.AD//BQ：.△EBGAG.

根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得自FN陰故②正確.

如圖②，由于跖是△頗的中線，??.5,行2五斷而S△研二S四邊形KBC.

二?S四邊形DEBC^S&EFB、故③正確.

如圖②，設(shè)乙DEF=x、VAD//I3C,：.ZDEF=LG=x,

又?:FG=FB、乙G=/_FBG=x、乙EFB=2x.

?；CD2AD,尸為勿的中點，BC=AD、CF=CBy

Z.CFI3=Z_CBF=x、/.Z_CFE=LCFB+L皮石=x*2x=3x=3/_DEF、故4正

確,故選D.

6.4［解析］解此題時可取力〃的中點，然后再利用三角形的中位線

和平行四邊形的判定和性質(zhì).

1

取四的中點可連結(jié).姐歸喇/BC、ME五BC.

FEFHCD、：?虬￡少三點共線，

1

?:EFCCD、CD^BC、:.MF=BD,

:?四邊形「監(jiān)以是平行四邊形，

11

:.DF=BM=2AB=ix^=A.

7.2［解析］如圖，連結(jié)班:

???〃，￡分別為48,回的中點,

1

:.DE”AC、DE￡ACZEC=L

,:EFLAC,DELEFy

??.△0比為直角三角形.

在RtZiiFC中，EC246600,；.EF也

屯

?「G為成的中點，.??比二名

g

在Rt△〃皮中，DEZEG次、

回

由勾股定理，得躲觸2+9b.

V19

故答案為下■.

8.4也［解析］如圖，連結(jié)巫：由￡尸分別為。4切的中點可知

1

EF互AD,EF//AD,易證△班T是等腰直角三角形，為/三線合一，可證

1

得△朋隹△圾V可得至IJ"歸￡滬回，tan乙NBM互、就能求出閡Z=2也

所以Bcae

9.①O④［解析］由題意得，AE=DE、AD=BD=CD.

???△/，是正三角形，...乙如40。，CEIAD、：2B二人DCBW.

在R