黑龍江省哈爾濱市東方紅中學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期第二次月考考試數(shù)學(xué)試卷（解析）

東方紅中學(xué)2024-2025學(xué)年下學(xué)期第二次月考考試高二數(shù)學(xué)試卷考試時間：120分鐘注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出，再求即可.【詳解】因為，所以，則，故選：C.2.若，則的值可以是（）A.10 B.12 C.13 D.15【答案】A【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由可得或，解得或，故選：A3.從4名女生、6名男生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生組成課外小組，則不同的抽取方法種數(shù)為（）A.1440 B.120 C.60 D.24【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)分層抽樣的特點確定抽取的男女人數(shù)，利用組合數(shù)公式可得答案.【詳解】從4名女生、6名男生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生，所以抽取的女生人數(shù)為2，男生人數(shù)為3，共有抽取方法為：.故選：B4.在等比數(shù)列中，，，則數(shù)列的前5項和為（）A. B. C.和5 D.和5【答案】A【解析】【分析】從和兩種情況入手分析,根據(jù)等比數(shù)列的求和公式解得,求出通項公式,即可得到,代入公式即可得出結(jié)果.【詳解】解析：若，則，，故．由得，解得，故，，的前5項和．故選:A．【點睛】本題考查等比數(shù)列的求和公式,考查學(xué)生的計算能力,難度較易.5.小明在設(shè)置銀行卡的數(shù)字密碼時，計劃將自己出生日期的后6個數(shù)字進(jìn)行某種排列得到密碼．如果排列時要求兩個9相鄰，兩個0也相鄰，則小明可以設(shè)置多少個不同的密碼（）A.16 B.24 C.166 D.180【答案】B【解析】【分析】將兩個0視為一個元素，將兩個9也視為一個元素，共有4個元素進(jìn)行全排列，即可得答案.【詳解】將兩個0視為一個元素，將兩個9也視為一個元素，所以共有（種）不同的結(jié)果，故選：B．6.設(shè)，，，，，數(shù)列，則的前100項和是（）A B. C. D.0【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意得到是以4為周期的函數(shù)，進(jìn)而即可求解．【詳解】由，則，則，則，則，所以是以4為周期的函數(shù)，又，所以的前100項和為：．故選：D．7.已知函數(shù)（）在點處的切線為直線，若直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則實數(shù)（）A. B.1 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】求得函數(shù)在點處的切線方程，得到切線與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)，由面積求得.【詳解】易知，，且，所以直線，它與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)分別為和，可得，又，解得.故選：C8.展開式中的常數(shù)項為（）A.3 B.-3 C.7 D.-7【答案】D【解析】【分析】求出展開式的通項公式，再分別分析與展開式相乘得到常數(shù)項的情況，最后將兩部分常數(shù)項相加即可得到原式展開式中的常數(shù)項．【詳解】根據(jù)二項式定理，展開式的通項公式為（其中）．

與展開式中項相乘得到常數(shù)項，令，則，解得．將代入通項公式可得，那么與相乘得到的常數(shù)項為．

與展開式中常數(shù)項相乘得到常數(shù)項，令，則，解得．將代入通項公式可得，那么與相乘得到的常數(shù)項為．

將上述兩部分常數(shù)項相加，可得展開式中的常數(shù)項為．

展開式中的常數(shù)項為．故選：D．二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的0分．9.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的圖象正負(fù)，進(jìn)而得到原函數(shù)的單調(diào)性，最后得到結(jié)果即可.【詳解】由題意知與軸有三個交點，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故A，C正確；B，D錯誤．故選：AC．10.若，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用賦值法即可逐一求解.【詳解】令，則，故A正確，令可得，故，故B錯誤，令可得，故，故C正確，令可得，，故D錯誤，故選：AC11.（多選）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)存在三個不同的零點B.函數(shù)既存在極大值又存在極小值C.若時，，則t的最小值為2D.當(dāng)時，方程有且只有兩個實根【答案】BD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，作出函數(shù)的草圖即可判斷各選項的真假．【詳解】，令，解得或，當(dāng)或時，，故函數(shù)在，上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且函數(shù)有極小值，有極大值，當(dāng)趨近負(fù)無窮大時，趨近正無窮大，當(dāng)趨近正無窮大時，趨近于零，故作函數(shù)草圖如下，由圖可知，選項BD正確，選項C錯誤，t的最大值為2．故選：BD．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等比數(shù)列的前項和為，且，，則___________.【答案】32【解析】【分析】先根據(jù)等比數(shù)列的通項公式與前項和公式求和，再求即可.【詳解】首先，等比數(shù)列的公比不是1，這是因為若，則，所以.由.由.所以.故答案為：3213.已知函數(shù)，，令，若函數(shù)存在3個零點，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而作出圖像，根據(jù)圖像即可求解.【詳解】由題意可知，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；可得函數(shù)在處的極大值為：，當(dāng)時，圖象趨近于軸.函數(shù)的大致圖象如圖所示，可知函數(shù)存在3個零點時，的取值范圍是.故答案為：.14.已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下表，若隨機(jī)變量滿足，則______．012【答案】【解析】【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求出，從而求出、，最后根據(jù)方差的性質(zhì)計算可得.【詳解】依題意，解得，所以，則，又，所以.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.【答案】（1）（2）單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為；極大值為，極小值為.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，即可寫出切線方程；（2）利用列表法求出單調(diào)區(qū)間和極值.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為R.導(dǎo)函數(shù).所以，，所以函數(shù)在點處的切線方程為，即.【小問2詳解】令，解得：或.列表得：x13+2+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為；的極大值為，極小值為.16.已知展開式前三項二項式系數(shù)和為22．（1）求的值；（2）求展開式中的常數(shù)項；（3）求展開式中二項式系數(shù)最大的項．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】1利用公式展開得前三項，二項式系數(shù)和為22，即可求出n．

2利用通項公式求解展開式中的常數(shù)項即可．

3利用通項公式求展開式中二項式系數(shù)最大的項．【詳解】解：由題意，展開式前三項的二項式系數(shù)和為22．1二項式定理展開：前三項二項式系數(shù)為：，解得：或舍去．即n的值為6．2由通項公式，令，可得：．展開式中的常數(shù)項為；是偶數(shù)，展開式共有7項則第四項最大展開式中二項式系數(shù)最大項為．【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，通項公式的有關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題．17.盒子中有3支不同的鉛筆和4支不同的水筆.（1）將這些筆取出后排成一排，使得鉛筆互不相鄰，水筆也互不相鄰，共有多少種不同的排法？（2）一次性取出3支筆，使得取出的三支筆中至少有1支鉛筆，共有多少種不同的取法？（3）將這些筆分別放入另外三個不同的盒子，使得每個盒子中至少有一支鉛筆和一支水筆，共有多少種不同的放法？（注：要寫出算式，結(jié)果用數(shù)字表示）【答案】（1）共有種不同的排法（2）共有種不同的取法（3）共有種不同的放法【解析】【分析】（1）先將支不同的鉛筆進(jìn)行排序，然后將支不同的水筆插入鉛筆所形成的空位中（含兩端），結(jié)合插空法可求得結(jié)果；（2）對摸出的鉛筆的支數(shù)進(jìn)行分類討論，結(jié)合組合知識以及分類加法計數(shù)原理可得結(jié)果；（3）先將這支水筆分為組，其中組有支，另一組有支，然后再將這三組水筆放入三個不同的盒子，最后將支鉛筆放入3個盒子，利用分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.【小問1詳解】將支不同的水筆和支不同的鉛筆排成一排，使得鉛筆互不相鄰，水筆也不相鄰，只需先將支不同的鉛筆進(jìn)行排序，然后將支不同的水筆插入鉛筆所形成的空位中（含兩端），由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的排法種數(shù)為種.【小問2詳解】隨機(jī)一次性摸出支筆，使得摸出的三支筆中至少有支鉛筆，則鉛筆得支數(shù)可以是或或，由分類加法計數(shù)原理可知，不同的取筆種數(shù)為種.【小問3詳解】先將支水筆分為組，這三組水筆的支數(shù)分別為、、，再將這三組水筆分配給三個盒子，所以不同的放法種數(shù)為種，再將3支鉛筆放入3個盒子，每個盒子1支，不同的放法種數(shù)為種，由分步乘法計數(shù)原理可得，不同的放法種數(shù)為種.18.已知為正項數(shù)列的前n項積，且.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，求的前n項和.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由條件可得，從而可得，然后兩邊取對數(shù)，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可證明；（2）根據(jù)題意，由條件可得，結(jié)合錯位相減法代入計算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】由題意知①，當(dāng)時，.當(dāng)時，②.①-②得適合上式，③，則④.得，兩邊同時取以2為底的對數(shù)，得，則，又，∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.【小問2詳解】由題意及（1）知，則，所以，兩式相減得，.19.某次物理考試后，學(xué)校隨機(jī)抽取了100名參加本次考試的學(xué)生的成績（單位：分），得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求直方圖中a的值；（2）為進(jìn)一步調(diào)查學(xué)生每天學(xué)習(xí)物理的時間，從樣本采用比例分層抽樣從成績在，內(nèi)的學(xué)生中抽取1