2025屆高考數(shù)學二輪復習專題14數(shù)列求和綜合必刷100題教師版

專題14數(shù)列求和綜合必刷100題

任務一:和善模式（基礎）1-30題

一、單選題

1.己知數(shù)列｛q｝滿意4=3,《川=〃“+〃（[）,則?！?（）

A.4+1B.4--C.2+-D.2--

nnnn

【答案】B

【分析】

由勺川一4二1一一工，利用累加法得出％.

n77+1

【詳解】

111

由題意可得許=廠商，

>111

223n-\n

上式累加可得q=（％-々1）+3-4）+-+（q—a”-i）

.11111.1

=1-----1--------卜T---------1----,

223n-\nn

又q=3,所以4=4-L

n

故選：B.

2.已知數(shù)列｛qj的前〃項和為S“，且％=1,a,川+a“=2〃+lQ?GM）,則數(shù)列｛（｝的前

2024項的和為（）

202040404039404[

?202??202??2020'2022

【答案】B

【分析】

首先依據(jù)已知條件求得知，然后求得S.，利用裂項求和法求得正確答案.

【詳解】

數(shù)列｛qj的前〃項和為S”.且4=1,%+]+%=2〃+1,則%=3-q=2.

所以/+2+/+I-2〃+3,

兩式相減得：。"+2一q=2,且4=1,%=2,

當〃為奇數(shù)時，=4+（等■-l）x2=l+〃+l-2=〃，

當〃為偶數(shù)時，4=%+仁一1x2=2+n-2=nt

所以%=〃，

所以數(shù)列｛%｝是首項為I,公差為1的等差數(shù)列.

所以S,=歿1

故I=2=2（19,

'S“〃（〃+1）nn+\

所以北=《+[+…+[=2（1_；+：_:+…+工——））=2（1—-三），

S|S2Sn223n/:+1?+1

l.m1,4040

WJT^=2(1--)=—.

故選：B

3.數(shù)列1,1+2,1+2+2?,…，1+2+22+???+2嘰…的前99項和為()

A.2loo-101B.2"-101C.2KM—99D.2"-99

【答案】A

【分析】

2

由數(shù)列可知&="2+22+…+2〃、W=2-，結合分組求和法即可求解?

【詳解】

1_>

由數(shù)列可知a=1+2+2?+…+2"7=匚三=2°—1,所以，前99項的和為

1-2

?,ft0

金=(2-1)十(2-1)十…十⑵°-1)=2十2?十…十2*—99=2。-2")-99=2-101.

1-2

故選：A

4.已知數(shù)列｛q,｝的前〃項和S”滿意s“=〃2,記數(shù)列?的前〃項和為r“，〃eN*.則

〔44+J

使得品的值為（）

19C20小38C40

A.—B.—C.——D.——

39413941

【答案】B

【分析】

由S“=〃2,求得％=2〃-1,得到——=-（7—7-7—）,結合裂項法求和，即可求解.

4,4+122/1-12/?4-1

【詳解】

數(shù)列㈤｝的前〃項和'滿意S”二〃2,

當〃=1時，6=*=1；

當〃22時，a“=S"-S“_］=n2-（/z-l）2=2n-\,

當〃=1時，q=l適合上式，所以耳=2〃-1,

則」一111

）,

4%(2/?-1)(2/?+1)-22/2-12/2+1

所以心）=，［（1_」）+（，_3+（，_，）+）］=-x（i--）=—

20233557394124i41

故選：B.

3

5.已知數(shù)列｛&｝滿意：(〃22,ai=l,32=2,S為數(shù)列｛&｝的前〃項

和，則St)24=()

A.3B.2C.1D.0

【答案】C

【分析】

依據(jù)遞推關系式得出數(shù)列是周期為6的周期數(shù)列，利用周期性即可求解.

【詳解】

:a,N尸a廠Mi,3i=],a=2,5?=—1>金=-2,a二-1,a=1,a=2,…，

故數(shù)列｛a｝是周期為6的周期數(shù)列，且每連續(xù)6項的和為0,

故Woa=336X0+視《1?+色oa+”?+色02*二科+42+肉+的+.=1+2+1+(-1)+(-2)=1.

故選：C.

6.正項數(shù)列｛4“｝滿意q=1,一(%+2)%-%-3=0(〃>1,”eN),則

64%%的.

]200]010]2202020

*3534*6061*2021*546?

【答案】B

【分析】

對+2)-3=0(〃>1,〃€N)化簡可得4-%=3,從而可得數(shù)列｛q｝是等差數(shù)

列，首項為1，公差為3,求出通項為,則可得〃!=佰”:6,1"二也公\一生7)，

川(6〃-5)(6〃+1)66〃-56〃+1

然后利用裂項求和法計算

【詳解】

(勺.1+2)a?-an_t-3=>I,〃eN),

(?,,+1)1。“-(??,)+3)1=0,%>0,

??a”—a”-i=3,

4

???數(shù)列｛凡｝是等差數(shù)列，首項為1,公差為3,

/.an=\+3(/7-1)=3/1-2.

1

==1(^______^),

a2n-\a2n^⑹?-5)(6〃+I)66〃-56??+1

1111.八/1、/I1S"1、1010

444%%?9”謝6771360556061660616061,

故選：B.

7.化簡S”=〃+(〃-1)X2-(〃-2)X22++2X2-2+2"T的結果是()

A.2"“+〃一2B.2向一〃+2

C.2"-77-2D.2n+｝-n-2

【答案】D

【分析】

用錯位相減法求和.

【詳解】

S“=〃+(〃-l)x2+(〃-2)x2?++2X2"-2+2"T,(1)

23

25/1=HX2+(W-1)X2+(M-2)X2++2x2”"+2”,(2)

(2)-(1)得：

22(l2，，)M+,a+,

S=-?+2+2+-+2'i+2"=-n+-=-n+2-2=2-/:-2.

“1-2

故選：D.

8.已知數(shù)列｛q｝中，q=14=3%+4(〃wN]?之2),求數(shù)列㈤｝的前〃項和S“為

()

A.S.「2”3B.S「+2”3

〃2勿2

5

H+I,r+1

C.S.=3-4>/?-3D.S廣3匕-二3

【答案】C

【分析】

依據(jù)題意化簡得到%+2=3（%馬+2）,得到數(shù)歹+2｝構成首項為3,公比為3的等比數(shù)

列，求得q=3"-2,結合等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式，即可求解.

【詳解】

由題意,數(shù)列｛《｝中,q=lM=31+4（〃eN*,〃之2）,

/+2c

可得%+2=31+6=3（/T+2）,即-^―=3,

an-\十」

且q+2=3,所以數(shù)列｛q+4構成首項為3,公比為3的等比數(shù)列，

所以見+2=3",即4=3=2,

則數(shù)歹￡可｝的前〃項和S“=(3+3?++3")-(2+2+4-2)

3(1-3")

c3"-3c3田-4〃-3

-2n=-------2〃=

1-32

故選：C.

9.等比數(shù)列｛q｝中，《=2,。=2,數(shù)列a1。一1]低｝的前〃項和為小則

加的值為（）

4094204610225U）

?4095?2047*1023*77T

【答案】B

【分析】

,2”11

先求出％,從而可得/=（2向-1）（2"-1）=F—西二T'然后利用裂項相消求和法可求出

6

【詳解】

..2"__J______1_

由題意得%=2"所以“一(2用一1)(2"-1)-2"-12""_|’

1111+^=「，=必

所以幾=--------------+----------------+

2-122-122-123-12,0-12"-12"-12047

故選：B

10.已知數(shù)列｛q｝的前〃項和S.滿意S“=〃2,記數(shù)列的前〃項和為7；,

HGN\則使得(〈方20成立的〃的最大值為()

A.17B.18C.19D.20

【答案】C

【分析】

依據(jù)a”=S“-Si求｛q｝通項公式，留意探討〃=1、〃之2并推斷是否可合并，再應用裂項

法求】，最終依據(jù)不等式求〃的最大值即可.

【詳解】

22

當〃=1時，4=5=1；當〃之2時，an-Sn-Sn_｛=w-(?-l)=2zi-l；而q=2x1-1=1也

符合勺=2〃-1,

11,11、

%=2〃-1,-----=—(-----------------------)

(1,22//-12//+1*

要使含2(),

??.7＞恭(1-+-------+...+--------------------)=-x(l-----------)=--------

3352n-\2/?+122〃+12?i+l

即肅〈條得〃<2。且〃"，則〃的最大值為19.

故選：C.

第H卷(非選擇題)

7

二、填空題

11.數(shù)列｛〃“｝是首項和公差都為1的等差數(shù)列，其前〃項和為S0,若7；是數(shù)列｛擊］的前

〃項和，則&=

【答案】0.99.

IUU

【分析】

11

首先寫出等差數(shù)列前〃項和s“，則有歹=而而，再應用裂項相消法求7,

【詳解】

足+n1iii

由題意：4=〃，故s“=-1rL于是瓦=而用=丁而，

12.已知數(shù)列｛q｝的通項公式與=1og2翟（〃￡河），設其前〃項和為，，則使S.K-3成

立的最小的自然〃為.

【答案】14

【分析】

先利用其通項公式以及對數(shù)函數(shù)的運算公式求出S再利用對數(shù)的運算性質解不

等式%-3即可求出對應的自然數(shù).

【詳解】

解：因為a”=log2。M（〃eN*）,

〃+2

同（以S”=勾+《+生+…+M

8

234n+\

=log,-+log,-+log,-+...+log.

~n+2

234n+\

=岷"X-X—X

345〃+2

=bg2'?

〃+2

???S^J-3olog.^^—3=^?京必7=〃14.

+2n+2

故答案為：14.

13.已知數(shù)列｛4｝滿意%+%+2=〃(〃￡")，則｛〃“｝的前20項和§20=

【答案】95

【分析】

利用分組求和法以及等差數(shù)列的前〃項和公式即可求出結果.

【詳解】

因為4+-=〃(〃eN)則4r+I+a—=〃+1(〃6N")，

所以g+。向+q+2+/+3=2〃+1(〃eN,)

所以520=%+%+…+4”

=(4+%+6+%)+.+(47+《8+《9+生。)

=2x1+1+2x5+1+2x9+1+2x13+1+2x17+1

=2x(1+5+9+13+17)4-5

=2x(m7)x5+5

2

=95,

故答案為：95.

14.已知正項數(shù)列｛q｝滿意q=L吊―(4T+2)4一%—3=0,(〃22,〃cN+),則

9

111

----+----+-???+

a2a3“2000“2021

…z2020

【答案】麗

【分析】

化簡數(shù)列的遞推關系式，得到4,-/T=3,結合等差數(shù)列的通項公式，求得%=3〃-2,

可得一5一1

)，利用裂項法，即可求解.

6％33〃—23〃+1

【詳解】

由題意，1E項數(shù)列｛&｝滿意4=1,。；一（凡T+2）%—a“T—3=0,（〃22,〃wN'）,

可得（見+1）%-（4I+3）］=0,

因為?！保?。，可得為=所以數(shù)列｛q｝是首項為1,公差為3的等差數(shù)歹U，

所以勺=1+3（〃-1）=3〃-2,

111,11

則——

4M川（3〃一2）（3〃+1）33/1-23n+l

1I11

所以一+—+，?+）

4%02a3〃202M202160586061

=—）二亞2

360616061

此公2020

故答案為：麗

15.設數(shù)列｛%｝滿意%+「%+2(〃+1),〃七N「6=2,則數(shù)列｛(1)”可｝的前50項和是

【答案】1300

【分析】

利用累加法可求得數(shù)列｛《｝的通項公式勺=〃(〃+】)，再并項求和求解前50項和即可.

10

【詳解】

因為q+1=?！?2(〃+1),/IeN\且4=2,

故“22時，a2-ax=4,a3-a2=6,???,an-an_x=2n,

累加可得4=2+4+6+--+2〃=空字=〃5+1),

n=\,q=2滿意上式，即4=〃(〃+1),

故｛(-1)"4｝的前50項和，即

S=-lx2+2x3-3x4+4x5--49x50+50x51=2x2+2x4+--+2x50=2x25x(2+50)=1300

2

故答案為：1300.

16.設/(x)=F^,則I福j)+/(福+)(加5卜2019

1.2020；

…g.2019

【答案］

【分析】

依據(jù)題意求出f*)+/(Jx)=l，然后結合倒序相加即可求出結果.

【詳解】

因為志，

4，41r

所以f(A)+/(1-X)=----+-T-

'74v+24'-A+2

4

=-^-+-S-

4、2汽+2

4X

11

4

4'+24+2-4x

4r

414

----------1-------------

4、+24+24

24+4

4+2?4、

「1、232019

設/+/+/+1,,+/=m(1),

<2020；2020'<2020；2020

’2019、3、2/]

則/++/(2),

<2020；2020>2020<2020

2019

(1)+(2)得2019=2〃?，即----=m,

2

,1、23「2019、2019

故/+/+/+??+/

<2020；2020*V2020J~2~

故答案為：晉7019

17.數(shù)列應｝的前〃項和為%且邑=1'=-1,且外廣24（〃€河）>則,^2017=

【答案】-1

【分析】

由q=54-S,求得出,又%=2q可得q,依據(jù)"2017—2672al，求出，又因為

23671

52017=534-253+253+253++253+?2017,代入數(shù)據(jù)求解即可.

【詳解】

由q=S4-S]=-1—1=-2,又q=2q,得4=-1

'2017=2420M=2~42011=】“2008

12

S^=S3+2S.+22S,+23S3++267'S3+a=-2672=-1

l7Mi71°-2,

1—2

故答案為：-1

18.在數(shù)列｛q｝中，4=2,且-+4T=,二+2(〃之2),則數(shù)列_^的前

2021項和為.

2021

【答案】

2022

【分析】

將已知數(shù)列的遞推關系式化簡可得(q-1)2-(。“7-1)2=〃(〃22),通過累加法和等差數(shù)列

的求和公式得出數(shù)列的通項公式，利用裂項相消法求和即可.

【詳解】

,114+%=---+2("22),

%一%

(4+%)&-凡t)=〃+2(%-%),

22

BP?n-??.,-2^+2?/1.1=?,

(/T)2_(%T)2=帥之2),

(%T)2—『=〃-1，

(4-1)2-(4-爐=2，

將以上各式累加，可得3-1)~-1)~=〃+(〃-1)Hh2,

將4=2代入，可得(q—1)2=1+2+—+〃=也羅，

.?.」=3=2仕，］,

(%1)〃(〃+1)nil)

13

則2屋―4%+2=3（〃「1）2

111,12021

,數(shù)列的前2021項和為1----F------>■,,+-------------=1--------=------

2。：一也+22232021202220222022

2021

故答案為:

2022

19-已知數(shù)列L占‘六,0T.…'則該數(shù)列的前10項和為------------

【答案】當

【分析】

由題意得出此數(shù)列的通項公式，將通項公式化簡，利用裂項相消的求和方法即可求出前〃

項和，進一步就可以求前10項的和.

【詳解】

由題意可知此數(shù)列分母為以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列的前"項和，

=2（；-

由公式可得:1+2+…+〃〃（〃+1）〃+1

~1~

12八

求和得：21-

〃+1J〃+1

所以前10項的和為：事

故答案為:JY.

20.已知數(shù)列｛q｝滿意q=l且4+：4+；/++兒.=%-1（〃￡叱），數(shù)列｛2工｝的前

〃項為3,則不等式,之30%最小整數(shù)解為.

【答案】5

【分析】

14

先由題意可得，-^=^,.^2,然后驗證當〃=1時也成立，從而求得當與2”a,再利用錯

位相減法求得S,代入不等式S230品中，求得滿意題意的〃即可.

【詳解】

由4+L+-??=。“+|-1可得：4+；出+:%+L+—!—??_]=an-\,n>2

23n23/j-1

兩式相減得：-a,=a^-an,B|J-^L=^,H>2

n〃+1n

又a=1,可得：l=a-l,解得：生=2,???3=1=：

—=1

n+ln1

/.<??=/7,2"a,=〃-2”.

又$=1X2'+2X22+3X2、???+〃?2",

2S,=1X2Z+2X23+-+(〃?1)?2,+〃?2同,

兩式相減得：-￡=2+22+23+-+2/'-〃?24=止空-喀’"

1—2

整理得:S產(chǎn)(〃-1A2叫2,

由22304可得：(〃-1)?2叫2230〃，即紇幽±215

n

???當〃=1,2,3,4時，(/?~1)^"+1<15；當〃=5時，：〃T)材+』[5,

nn

???滿意不等式S230為最小整數(shù)解為5,

故答案為：5.

三、解答題

21.數(shù)列血｝的前〃項和為工，若％=3,點⑸,S向)在直線)，=—x+〃+l(〃eN?)上.

(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列:

15

(2)若數(shù)列低｝滿意〃=小2號，求數(shù)列他｝的前刀項和九

八

【答案】

(1)證明見解析

(2)7；=(〃-1)2旬+2

【分析】

sS

(1)將點代入整理可得當-2=1,由等差數(shù)列的定義即可得出答案.

(2)依據(jù)S.與4的關系求出4=2〃+1,進而得出人=".2號=小2"，再由錯位相減法即

/I

可求解.

(1)

丁點(s”,s“+J在直線尸手工+〃+1("V)上，

???57=四5“+〃+1同除以〃+1,則有：沁-1=1

數(shù)列1｝｝是以3為首項，1為公差的等差數(shù)列.

(2)

由(1)可知，S〃=/+2〃(〃wN')，

???當〃=1時,4=3,當“22時，q=S“-S“T=2〃+1

經(jīng)檢驗，當〃=1時也成立，=2〃+l(〃wN)

..fill

2nf

,bit=n-2=n-2

?:Tn=A+b2++%+〃

2,r,M

.*.7；I=l-2+2-2+...4-(n-l)-2-+/?-2

23,,n+,

27；/=l-24-2-2+.-.+(?-l)-2+w2

16

-7；,=l-24-22+23+..+2f

M+,n+,

即T,=一2（；丁+〃.2=（,7-|）2+2

22.已知數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列，公差4工0嗎=5,且外，4，的依次成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛q｝的通項公式；

17

(2)設a=——，數(shù)列也｝的前〃項和為弘若，=不，求〃的值.

anan+\35

【答案】

(1)an=2n+3

(2)-=15

【分析】

(1)設公差為d,依據(jù)等比中項的性質得到方程，求Hid,即可求出通項公式；

1(11A

(2)由(1)可得“=彳-----一r,利用裂項相消法求出斗，再解方程即可;

212〃+32/7+57

(1)

解：設公差為d由q,4，%依次成等比數(shù)列，可得就=6%，

即(5+5d)2=5(5+20d),解得4=2,

則4=5+2（〃-1）=2〃+3.

（2）

由(1)可得2=」-11］、

解:一（2〃+3）（2〃+5）-512〃+3

2〃+5,

I1

即有前〃項和為+---------------

2/2+32〃+5J

17

=lfl__I］一〃

2（52n+5j5（2〃+5）

3

=35

解得刀=15.

23.在等差數(shù)列｛〃“｝中，生+久=14,q+4+/+生=36.

（1）求數(shù)列｛q｝的通項公式；

9

（2）令々=-求數(shù)列物也.2｝的前〃項和7；.

%一1

【答案】

（1）4=2〃+】

⑵___

42/1+22n+4

【分析】

（1）利用等差數(shù)列的性質及等差數(shù)列的通項公式印得；

（2）由題可得勿仇+2=；（，-一二］,再利用裂項相消法即得.

21〃n+2）

（1）

法1：因為。?+。4=14,所以卬=7,因為4+6+/+%=36,所以6+織=18,

所以%=11,所以公差"=寫手=2,所以〃”=4+（〃—3）d=7+2〃-6=2〃+l.

5—3

,.（a,+=14,2a.+4J=14,

法2：設等差數(shù)列4的公差為d,聯(lián)立廣，X得J…“解得

+%+%=36,14%+124=36.

4=3,

d=2.

所以an=4-l）d=3+2（〃-1）=2〃+1.

(2)

18

由（1）知4=2〃+1,

21I（IIA

所以“〃也+2=5-----77’

?！币?〃2V?11+2）

所以（=她+b力s+她+…+如％+她+2

24.已知數(shù)列｛q｝滿意。廣!，氏+產(chǎn)/北?

-.

（1）求證：數(shù)列〔是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛q｝的通項公式；

（2）若,求數(shù)列低｝的前〃項和卻

在（①“=/-；②八七）；③“」+佶丫三個條件中選擇一個補充在第⑵問

中，并對其求解，假如多寫按第一個計分）

【答案】

（1）證明見解析，勺=；

2/1

（2）答案不唯一，見解析

【分析】

（1）對遞推公式兩邊同時取倒數(shù)，結合等差數(shù)列的定義進行運算證明即可；

（2）選①：運用裂項相消法進行求解即可；

選②：運用分類探討方法進行求解即可；

選③：運用分組求和法，結合等差數(shù)列和等比數(shù)列前〃項和公式進行求解即可.

（1）

19

明顯凡=0,由凡=i=7%，兩邊同時取倒數(shù)得：」_=」叱_='+2,

2凡+1凡+i凡4

即」-一'=2,所以數(shù)列,是公差為2的等差數(shù)列.故［-L1+mTNZnZ",博

3a,

1

(J=--

n2n

(2)

選①：bn=44八

J[11I

由已知得，bn=a"％

2〃2/7+24〃(〃+1)/?+1)'

11I1In

故數(shù)列也｝的前〃項和

223nn+14〃+4

選②：仇二上且

a?

n

由已知得，bn=(-\)2n,故數(shù)歹U圾｝的前〃項和7；=故+4-6+8+…

當〃為偶數(shù)時，(=2/=〃；當〃為奇數(shù)時，4=-2+(-2*—=一〃一1,

故

n,n=2k,keZ\

-n-i,n=2k-\,keZ\

選③：b=—+—1

"%【3

=2〃+4)，故數(shù)列低｝的前〃項和

由己知得，bn=2n+

25.已知正項數(shù)列伍/的前〃項和為S“，且41=〃田,川+1,%=1.數(shù)歹!)也』滿意4="

勿加=%.

20

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）證明：，+!+[++白也-1.

瓦b2byb?

【答案】

（1）an=2W-1,?J€Z*

（2）證明見解析

【分析】

（1）依據(jù)S.與冊的關系以及等差數(shù)列的通項公式即可求解.

2

（2）由7二利用疊加，裂項相消法即可證明.

a

（1）

???4S“=%y+|+l,4=1,

***4sl=cij+1,*,*/=3,

當〃N2時,有4s1=勺*+1,

???4S“-4S,1+1=atlan+i-%%,4a/t=an（?M+1-外馬）,

????！惫ぃǎ?。用一。2=4

???數(shù)列｛勺｝的奇數(shù)項是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，%.產(chǎn)1+4（〃-1）=2（2〃-1）-1,

偶數(shù)項是以3為首項，4為公差的等差數(shù)列，

a2n=3+4（?!-1）=2-2/7-1,

an=2〃-eZ,.

（2）

2

所以勿也T=2〃—3得包依+[-勿_]）=2,丁="+]—〃一

21

從而2(1+?++；)=&-+〃,+]=2+1+"一4一人2

h2。3d

.11II..2〃_1._/T"

2(r+r+r++丁)=4+1+"=-^+"之2j2，I一i,

%b2Ab?bn

從而可得!+!+[++，>/2〃-1

b\b2b\btl

26.已知｛4｝是等比數(shù)列，4>0,且生=：,—2%.

(1)求數(shù)列｛q｝的通項公式；

(2)設a=〃“+〃，求數(shù)列也｝的前〃項和S”.

【答案】

⑴4=:,2”T

(2)1(2"-1)+^-^-

32

【分析】

(1)求得公比q,由此求得數(shù)列｛《,｝的通項公式.

(2)利用分組求和法求得S..

(1)

22

￡%一%=2%,a4q-a4q=2a4,”“>(),q-q-2=0t

71

...<7=2,/.n=a、c廣2=-?2n-2=2.

*33

(2)

2=%+"""+〃’

s〃=4+H+H++2

22

=(1X2°4-1X2'4-1X22+-+；X2”T)+(1+2+3++〃)

1(T)(]+〃“〃

=*T)+iv+n.

+

1-2-T~2

27.已知公差不為0的等差數(shù)列M“｝滿意％=5,且可必必成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）設5二」一，數(shù)列｛"｝的前〃項和為證明

【答案】

（1）%=2〃-l,（〃eN*）

（2）證明見解析

【分析】

（1）依據(jù)等比中項的性質結合等差數(shù)列通項公式，可得d=2q,依據(jù)%=5,即可求得

的值，代入公式，即可得答案.

（2）由（1）可得勺=2〃-］，代入可得勿=47'-丁二利用裂項相消求和法，即

212〃-12〃+1J

可得。的表達式，即可得證.

（1）

因為對生,牝成等比數(shù)列，

所以用2=6%，則（％+心=%（q+4d）,

又d/0,所以d=2q,

乂%=4+2〃=5q=5,

所以=l,d=2,

所以%=4i+(〃-l)d=2〃-l,(〃wN,).

23

(2)

由(1)可得?！?2〃-1,

a,4+i(2/7-1)(2/?+1)22〃-12〃+1,

所以數(shù)列｛2｝的前〃項和為(=

——1-------=-------------<-

2(2,1+1J22(2〃+1)2-

28.已知數(shù)列｛叫滿意％=1,。川=3a”+2,數(shù)列也｝滿意乙=1,

=S.+b“+」+1，其中S”為數(shù)列也｝是前〃項和.

<1)求數(shù)列｛勺｝,柩J的通項公式；

2(“+〃),、15

(2)令%=〃：；+(，求數(shù)列｛%｝的前〃項和，，并證明：2<7；,<^.

【答案】

2

(1)a“=2-3"T—l；bn=n

(2)7；,=?一?雪；證明見解析

44-3

【分析】

(1)依據(jù)遞推公式，結合等比數(shù)列的定義可以求出數(shù)列也｝的通項公式，再利用累和法可

以求出數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)利用錯位相減法，結合｛(J的單調性證明即可.

(1)

由外討=3q+2,可得%+1=3(4+1),所以數(shù)列｛《.+1｝是首項為4+1=2,公比為3的

等比數(shù)列，所以4+1=2.3"「所以數(shù)列｛q｝的通項公式為q=2.3”-J1.因為

S“+i-〃=S“+b”+〃+l,所以“t="+2〃+1,所以

24

bn=（>-+（岫-b吁2]+…+也-bj+a=（2〃-l）+（2〃-3）++3+1=2n；+1'=〃2

,所以數(shù)列也｝的通項公式為2=〃2.

（2）

?，八-.-ZH2（n2+n\>2+1ulst234n/1+1

由可得c“==產(chǎn)，所以lY+kF+m+F①'

34=竽+*+?+…+方+券②，②—①得

T=152〃+7_2/2+52〃+7_〃+2

>0,所以｛1｝遞增，所以

向：―431-4-3,-1-4-3rt~~F~

刀=9一啜孕=2,乂當〃一鐘時,沙-0,所以因此,

44-34-34

2q哼

29.已知數(shù)列gj的前〃項和為s.，s=iqm*)，數(shù)列｛〃,｝滿意〃=1,

包.1=24+".

(1)求數(shù)列數(shù)〃｝、｛a｝的通項公式:

(2)若數(shù)列匕｝滿意%=備，求證：q+G++q<：.

2

【答案】

(1)〃“=2"，112n7

(2)證明見解析

【分析】

(1)利用《與S”的關系可求出數(shù)列｛凡｝的通項公式：利用累加法可求出數(shù)列｛4｝的選項

公式；

25

(2)由(1)問結論求出G=八=；(±-+),然后利用裂項相消求和

法，求出。+七+?！钡暮图纯勺C明原不等式.

(1)

解：由得%=5.|+1(〃之2),

所以4用一凡=%522),即可+|=2ati5N2)

又由4=1，得叼=2,滿意《川=2〃“，所以勺二2"」，

n2

而b,,=2an=2",所以"一a=2"T+2~+…+21

所以b?=2n~l+2"~2+…+?+1=--------=2"-1；

"2-1

(2)

2”7]]1

證明：因為』=(2'—1)(2"J1)=5(2“—]-2"”—])，

ULSIIIIII11,I.I