重慶南開中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

重慶南開中學(xué)高2026屆高二（下）半期考試數(shù)學(xué)試題本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.第I卷和第II卷都答在答題卷上.第I卷（選擇題共58分）一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.請(qǐng)將答案填寫在答題卡的相應(yīng)位置上.1.從五個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)數(shù)字，可組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.60 B.70 C.80 D.902.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞減B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.是函數(shù)的極大值點(diǎn)D.是函數(shù)極小值點(diǎn)3.多項(xiàng)式展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A B. C. D.4.函數(shù)圖象與直線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則（）A或 B.或 C.或 D.或5.隨機(jī)變量的分布列如表，則方差（）A. B. C. D.6.過拋物線的焦點(diǎn)作斜率為的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)、的斜率為、，若，則（）A. B. C. D.7.為了提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，甲、乙、丙等五名同學(xué)打算選修學(xué)校開設(shè)的數(shù)學(xué)拓展課程，現(xiàn)有幾何畫板、數(shù)學(xué)與生活、趣味數(shù)學(xué)、數(shù)獨(dú)四門課程可供選修，每名同學(xué)均需選修且只能選修其中一門課程，每門課程至少有一名同學(xué)選修，則甲不選修幾何畫板，且數(shù)獨(dú)只能由乙和丙中一人或兩人選修的概率為（）A. B. C. D.8.已知直線為的一條切線，將的圖象向右平移個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位后仍與直線相切，則（）A.1 B. C.0 D.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.請(qǐng)將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上.9.已知的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為512，則以下說法正確的有（）A.B.展開式中第四項(xiàng)和第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大C.除以4余數(shù)為1D.展開式中常數(shù)項(xiàng)為67210.在一個(gè)盒子中裝有4個(gè)大小形狀均相同，編號(hào)為的小球.從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，記事件A：“第二次取到球的號(hào)碼小于等于2”，事件B：“兩次取到球的號(hào)碼之和為奇數(shù)”，事件C：“兩次取到球的號(hào)碼之積為偶數(shù)”，則（）A.與互斥 B.與相互獨(dú)立C. D.11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為，且滿足，，則下列說法正確的有（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)存在極小值C.若，則D.若，則第II卷（非選擇題共92分）三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.請(qǐng)將答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.12.現(xiàn)有6件大小和外形都相同的零件，其中2件次品，4件正品，現(xiàn)隨機(jī)從中一次性抽取2件，則抽到次品的件數(shù)的數(shù)學(xué)期望為__________.13.已知一道雙空填空題要求每空都要填，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，每10個(gè)人大約有8個(gè)人能填對(duì)第一空，以頻率估計(jì)概率，若在第一空填不對(duì)的情況下，填對(duì)第二空的概率為0.1，第一空填對(duì)的情況下，第二空填錯(cuò)的概率為0.6，則填對(duì)第二空的概率為__________.14.按照一定次序排列的一列集合稱為集合列，可記為；已知全集的子集滿足.若恰有兩個(gè)元素，則這樣的集合列有__________個(gè)；所有滿足條件的集合列有__________個(gè).四?解答題：本題共5題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.請(qǐng)將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上.15.已知函數(shù).（1）若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，求的值；（2）若，恒成立，求的取值范圍.16.如圖，四棱錐中，底面為菱形，為的中點(diǎn).（1）證明平面；（2）若在平面上的射影為中點(diǎn)，且，求平面與平面夾角的余弦值.17.已知雙曲線的圖象經(jīng)過點(diǎn)，其中一條漸近線方程為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作垂直于軸的直線，過點(diǎn)作直線與雙曲線右支交于、兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn).證明：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).18.重慶漆藝歷史悠久，可以追溯到商周時(shí)期，是一種傳承千年，特色鮮明的傳統(tǒng)手工技藝.某漆器廠準(zhǔn)備制作三種不同規(guī)格的漆器瓷盤各一件，制作過程必須經(jīng)過兩道工藝，第一道是胎體制作，第二道是拋光上漆，第一道工藝合格以后才能進(jìn)入第二道，兩道工藝相互獨(dú)立，三件瓷盤的制作過程也相互獨(dú)立.該廠制作A，B，C瓷盤第一道工藝合格率分別為，第二道工藝合格率分別為.（1）求經(jīng)過第一道工藝以后三件瓷盤中恰有兩件合格的概率；（2）經(jīng)過兩道工藝且均合格以后，產(chǎn)品就可以上市銷售，每件瓷盤可獲利2百元；如果不合格，每件虧損1百元，求這三件瓷盤合計(jì)盈虧金額的數(shù)學(xué)期望；（3）該廠決定研發(fā)瓷盤，計(jì)劃邀請(qǐng)兩名一級(jí)技工和一名二級(jí)技工參與，假定每名一級(jí)技工獨(dú)立制作成功的概率為，每名二級(jí)技工制作成功的概率為.現(xiàn)三人按照一定順序依次制作瓷盤，從第一個(gè)人開始，如果制作失敗，則換下一個(gè)人制作，如果制作成功，則停止制作（如果三人均制作失敗，也停止制作）.三個(gè)人的制作過程相互獨(dú)立.若每制作一次，進(jìn)行制作的技工會(huì)獲得相應(yīng)的人工費(fèi)，未進(jìn)行制作的技工不獲得人工費(fèi)，其中一級(jí)技工的人工費(fèi)為3百元，二級(jí)技工的人工費(fèi)為2百元.現(xiàn)有以下兩種方案可供選擇