13空間向量及其運算的坐標(biāo)表示精講（6大題型）

1.3空間點向量及其運算的坐標(biāo)表示重點：利用空間向量的坐標(biāo)運算解決平行、垂直、夾角和距離問題，及點在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示。難點：確定點在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，立體幾何坐標(biāo)化、代數(shù)化。一、空間直角坐標(biāo)系在空間選定點和一個單位正交基底以點為原點，分別以的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：軸.軸、軸，它們都叫作坐標(biāo)軸。這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系，叫作原點，都叫作坐標(biāo)向量，通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫作坐標(biāo)平面.空間直角坐標(biāo)系通常使用的都是右手直角坐標(biāo)系.二、空間一點的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系中為坐標(biāo)向量。給定任一向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作。也叫點在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作.空間點對稱的特點：空間的對稱問題可類比平面直角坐標(biāo)系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規(guī)律，才能準(zhǔn)確求解。對稱點問題常常采用“關(guān)于誰對稱，誰就保持不變，其余坐標(biāo)相反”這個結(jié)論。三、空間向量的坐標(biāo)運算1、空間兩點的距離公式若，，則①即：一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)。②，或2、向量加減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運算若，，則：①；②；③；3、向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算若，，則：；即：空間兩個向量的數(shù)量積等于他們的對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和。4、空間向量長度及兩向量夾角的坐標(biāo)計算公式若，，則①，．②．【注意】（1）夾角公式可以根據(jù)數(shù)量積的定義推出：，其中θ的范圍是（2）（3）用此公式求異面直線所成角等角度時，要注意所求角度與θ的關(guān)系（相等，互余，互補）。5、空間向量平行和垂直的條件若，，則①，，②規(guī)定：與任意空間向量平行或垂直作用：證明線線平行、線線垂直.題型一空間直角坐標(biāo)系及坐標(biāo)表示【例1】（2022秋·北京房山·高二統(tǒng)考期中）已知，則向量的坐標(biāo)是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，所以，故選：B【變式11】（2023秋·廣東·高二校聯(lián)考期末）如圖，正方體的棱長為2，，且，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依題意，，所以，所以.故選：D【變式12】（2023·全國·高二專題練習(xí)）（多選）如圖，在正三棱柱中，已知的邊長為2，三棱柱的高為的中點分別為，以為原點，分別以的方向為軸?軸?軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則下列空間點及向量坐標(biāo)表示正確的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】在等邊中，，所以，則，，則.故選：ABC【變式13】（2022秋·湖北·高二校聯(lián)考期中）已知向量是空間的一個基底，向量是空間的另一個基底，一向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】向量在基底下的坐標(biāo)為，則，設(shè)在基底下的坐標(biāo)為，則，所以，解得，故在基底下的坐標(biāo)為．故選：A．題型二空間點的對稱問題【例2】（2023秋·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）已知點與點關(guān)于軸對稱，則點的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依題意，點關(guān)于軸的對稱點.故選：A.【變式21】（2022秋·廣東梅州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于原點對稱點的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根據(jù)空間的點關(guān)于原點的對稱點公式可得，點關(guān)于原點對稱點的坐標(biāo)為.故選：B.【變式22】（2023秋·山東濰坊·高二統(tǒng)考期末）在空間直角坐標(biāo)系中，若點關(guān)于z軸的對稱點的坐標(biāo)為，則的值為（）A．3B．5C．7D．9【答案】A【解析】依題意，點關(guān)于z軸的對稱點，于是得，解得，所以.故選：A【變式23】（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于平面的對稱點坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】點關(guān)于平面的對稱點坐標(biāo)為.故選：C.題型三空間向量運算的坐標(biāo)表示【例3】（2023春·安徽·高二合肥第六中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知向量，，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，故選：D.【變式31】（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，若，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意知，由，得，解得.故選：B.【變式32】（2023春·江蘇常州·高二常州高級中學(xué)校考階段練習(xí)）下列各組空間向量不能構(gòu)成空間的一組基底的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】對于A，設(shè)，無解，即向量不共面，故可以作為空間向量一個基底，故A錯誤；對于B，設(shè)，所以三個向量共面，故不可以作為空間向量一個基底，故B正確.對于C，設(shè)，無解，即向量不共面，故可以作為空間向量一個基底，故C錯誤；對于D，設(shè)，無解,即向量不共面，故可以作為空間向量一個基底，故D錯誤.故選：B.【變式33】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知，，，若，，三向量共面，則實數(shù)等于（）A．4B．5C．6D．7【答案】D【解析】因為，，，且，，三向量共面，設(shè)，則，即，解得.故選：D題型四空間向量平行與垂直的坐標(biāo)表示【例4】（2023春·安徽安慶·高二安徽省宿松中學(xué)?？计谥校┮阎蛄浚?，若，則（）A．2B．18C．D．【答案】B【解析】因為，則存在實數(shù)使得，即，解得，所以，故選：B．【變式41】（2023春·高二課時練習(xí)）已知向量，，且，則實數(shù)k的值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】向量，，則，因為，則，解得，所以實數(shù)k的值為.故選：C【變式42】（2023春·江蘇·高二鹽城中學(xué)?？计谥校┮阎蛄?，若，則的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，所以，又，所以，解得.故選：D.【變式43】（2023春·廣東東莞·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知空間向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．在上的投影向量的長度為【答案】BD【解析】對于A，由題得，而，故A不正確；對于B，因為，所以，故B正確；對于C，因為，故C不正確；對于D，因為在上的投影向量的長度為，故D正確；故選：BD.題型五空間向量模長的坐標(biāo)表示【例5】（2022秋·新疆喀什·高二?？计谀┤?，則___________【答案】【解析】，，.故答案為：.【變式51】（2023春·河南安陽·高二安陽一中校聯(lián)考開學(xué)考試）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，若三點共線，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，若三點共線，則有，得，解得，，.故選：B【變式52】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1D，BD的中點，G在棱CD上，且，H為C1G的中點．求||.【答案】【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，D為坐標(biāo)原點，則有，，，，，，，.【變式53】（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）已知、是空間互相垂直的單位向量，且，，則的最小值是______.【答案】4【解析】是空間相互垂直的單位向量，設(shè)，，設(shè)，又，，又，，，其中，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，的最小值是4．故答案為：4．題型六空間向量夾角的坐標(biāo)表示【例6】（2023春·江蘇·高二南師大二附中校聯(lián)考階段練習(xí)）若向量，且與夾角的余弦值為，則等于（）A．B．C．或D．2【答案】A【解析】因為，所以，，又與夾角的余弦值為，，所以，解得，注意到，即，所以.故選：A.【變式61】（2023春·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）已知，，則與的夾角為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，解得，即.又∵，注意到，則，使得，∴，解得，故.∴，∴，又，∴.故選：B.【變式62】（2023秋·浙江杭州·高二杭州市長河高級中學(xué)?？计谀┰O(shè)空間兩個單位向量與向量的夾角的余弦值為，則（）A．B．