電磁場理論習(xí)題解讀一

思考與練習(xí)一2.已知矢量A=e,5.8+e?1.5和B=-e,6.93+e?4,求兩矢量的夾角。3.如果AB?+A,B,+A?B?=0,證明矢量A▽[E×H]=H·▽×E-E·V×H9.應(yīng)用高斯定理證明[dV×f=fds×f,11.導(dǎo)出在任意正交曲線坐標(biāo)系中▽·F(q,9?,q?)、v[·F(q,q?,q?)、思考與練習(xí)二1.證明均勻線電荷密度圓環(huán)在圓環(huán)平面內(nèi)任意點(diǎn)的電場強(qiáng)度為零。求圓環(huán)平面外任意點(diǎn)的電場的表達(dá)式。2.有一內(nèi)外半徑分別為r和r?的空心介質(zhì)球，介電常數(shù)為ε,使介質(zhì)內(nèi)均勻帶靜止自由電荷密度為p,求空間電場與極化體電荷和極化面電荷分布。3.已知一個(gè)電荷系統(tǒng)偶極矩定義為,利用電荷守恒定律4.內(nèi)外半徑分別為r和r?的無窮長中空導(dǎo)體圓柱，沿軸向流有恒定均勻自由電流J,,導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為μ,求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流。5.證明均勻介質(zhì)內(nèi)極化電荷密度p等于自由電荷密度倍。6.簡述Maxwell方程組各式所對應(yīng)的實(shí)驗(yàn)定律，式中各項(xiàng)的物理意義。為什么說Maxwell方程組預(yù)言了電磁場具有波動(dòng)的運(yùn)動(dòng)形式。7.利用Maxwell方程組，導(dǎo)出電荷守恒定律的表達(dá)式。8.何謂位移電流，說明位移電流的物理實(shí)質(zhì)與意義，比較傳導(dǎo)電流和位移電流之間的異同點(diǎn)。9.證明Maxwell方程組的四個(gè)方程中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，利用兩個(gè)獨(dú)立方程組導(dǎo)出電磁場的波動(dòng)方程。10.利用電磁場與介質(zhì)相互作用的機(jī)理，分析介質(zhì)在電磁場中的性質(zhì)，并根據(jù)介所表現(xiàn)出的質(zhì)宏觀特性進(jìn)行分類。11.證明當(dāng)兩種絕緣介質(zhì)的分界面上不帶面自由電荷時(shí)，電場力線的曲折滿足,其中ε和ε2分別為兩種介質(zhì)的介電常數(shù)，θ?和θ?分別為界面兩側(cè)電場線與法線的夾角。12.假設(shè)自然界存在磁荷，磁荷的運(yùn)動(dòng)形成磁流。又假設(shè)磁荷產(chǎn)生磁場同電荷產(chǎn)生電場滿足同樣的實(shí)驗(yàn)定律；磁流產(chǎn)生電場同電流產(chǎn)生磁場滿足同樣的實(shí)驗(yàn)定律。請導(dǎo)出在這一假設(shè)前提下的Maxwell方程組表達(dá)式。1.利用電場Gauss定律分別求電荷面密度為ps的無窮大導(dǎo)體板和半無窮大導(dǎo)體在上半空間導(dǎo)體平面附近產(chǎn)生的電場，比較所得到結(jié)果的差別。你能從這一差別中得到什么結(jié)論。2.求如圖所示的一同軸線如圖所示，內(nèi)外導(dǎo)體的半徑分別為a和b,將其與電壓為V電源相連接，內(nèi)導(dǎo)體上的電流強(qiáng)度為I。求同軸線內(nèi)電場和磁場的分布，計(jì)算穿過兩導(dǎo)體間φ=常數(shù)平面單位長度上的磁通量。3.證明在無電荷分布的區(qū)域，電位既不能達(dá)到極大值，也不能達(dá)到極小值。4.平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)，厚度分別為l和l?,介電常數(shù)為ε?和ε2,今在兩板極接入電動(dòng)勢8為的電池，求(1)電容器兩板上的自由電荷面密度@F;〔2〕介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度@f。若介質(zhì)是漏電的，電導(dǎo)率分別為σ?和σ?,當(dāng)電流達(dá)到恒定時(shí)，上述兩個(gè)結(jié)果如何?5.電位函數(shù)在理想導(dǎo)體邊界上有兩種表述形式：〔1〕φ=中(常數(shù));〔2〕指出這兩個(gè)邊界條件所對應(yīng)的物理模型和導(dǎo)體所處的狀態(tài)。6.一長為1的圓筒形電容器，內(nèi)外半徑分別為a和b,兩導(dǎo)體之間充滿了介電常數(shù)為ε的介質(zhì)。〔1〕當(dāng)電容器帶電荷量Q時(shí)，忽略邊緣效應(yīng)，求電容器內(nèi)電場的分布；〔2〕求電容器的電容；〔3〕假設(shè)將電容器接到電壓為V電源上，并且電容器內(nèi)介質(zhì)被部分的拉出電容器，忽略邊緣效應(yīng)，求介質(zhì)受到的作用力的大小和方向。7.比較恒定電流的電場與靜電場的異同點(diǎn)，證明當(dāng)兩種導(dǎo)電介質(zhì)內(nèi)流有恒定電流時(shí)，分界面上電場力線的曲折滿足,其中σ?和σ2分別為兩種介質(zhì)的電導(dǎo)率。8.面偶極層為帶等量正負(fù)面電荷密度±σ而靠得很近的兩個(gè)面所形成面偶極層，定義為：證明下述結(jié)果：〔1〕在面電荷兩側(cè)，電位法向微商有躍變，而電位是連續(xù)的?！?〕在面偶極層兩側(cè)，電位有躍而電位法向微商是連續(xù)的。9.證明在試用A表示一個(gè)沿z方向的均勻恒定磁場Bo,寫出A的兩種不同表示式，證明二者之差為無旋矢量場。10.證明兩載有恒定電流的閉合線圈之間的相互作用力的大小相等，方向相反(但兩個(gè)電流元之間的相互作用力一般并不服從牛頓第三定律)。11.已知某個(gè)磁場的磁矢勢,其中Bo是常數(shù)。證明該磁場是均勻的。12.在什么樣的情況下，可以用磁標(biāo)位描述磁場，磁標(biāo)位滿足什么樣的方程和邊界條件。13.電阻、電容和電感是電路理論中基本元件，它們反應(yīng)的是什么特性參數(shù)，表達(dá)了導(dǎo)電介質(zhì)和導(dǎo)體系統(tǒng)的什么性質(zhì)。14.總結(jié)靜電場、恒定電流電場和恒定電流磁場的基本性質(zhì)，分析它們性質(zhì)的異同點(diǎn)。思考為什么靜態(tài)電磁場〔包括靜電場、恒定電流電場和恒定電流磁場〕滿足同樣類型的數(shù)學(xué)物理方程。思考與練習(xí)四均勻介質(zhì)，Z>0的區(qū)域?yàn)檎婵眨囉梦ㄒ恍远ɡ砬蟠鸥袘?yīng)強(qiáng)度B,然后求出磁化3.在均勻外電場中置入半徑為a的導(dǎo)體球，用分離變量法求導(dǎo)體球上電勢Φ?和導(dǎo)體球帶總電荷Q兩種情況下的電位函數(shù)〔設(shè)未置入導(dǎo)體球前坐標(biāo)原點(diǎn)的今在液體中置入一個(gè)電導(dǎo)率為σ?的小球，求穩(wěn)恒時(shí)電流分布和面電荷分布，討論σ?>>σ?與σ?>>σ?兩種情況的電流分布的特點(diǎn)。5.在接地的導(dǎo)體平面上有一半徑為a的體平面上，點(diǎn)電荷Q位于系統(tǒng)的對稱軸上，并與平面相距為b(b>a),試用鏡象法第6題圖第7題圖6.如圖所示，求解兩同軸圓錐面之間區(qū)域內(nèi)電場分布。已知外位為零，內(nèi)圓錐面的電位為Vo。在兩圓錐的頂點(diǎn)絕緣。質(zhì)所產(chǎn)生的電位,另外，根據(jù)極化電荷公式pp=-▽'.P(r')證明以上兩式是等同的。8.簡述Green函數(shù)方法的基本思想，證明靜電場的電位可以表示為：上述公式中g(shù)(r,r')為Green函數(shù)。分析上式右邊三項(xiàng)來自何種物理量的貢獻(xiàn)。如何理解這三種物理量對靜電場的貢獻(xiàn)是一致的。9.簡述鏡象法的基本原理，歸納鏡象法的基本原則，思慮鏡象法的應(yīng)用條件。用鏡象法求接地導(dǎo)體圓柱殼(半徑為R)內(nèi)線電荷源在圓柱內(nèi)部空間的電位。設(shè)線電荷密度為p,,位于圓柱空間內(nèi)a(a<R)。10.接地的空心導(dǎo)體的內(nèi)外半徑為R?和R?,在球內(nèi)離球心為a(a<R?)處置一點(diǎn)電荷Q,用鏡象法求電勢，導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷有多少?分布在內(nèi)表面還是在外表?12.一無窮大接地導(dǎo)體平面外有一電偶極矩P,P到導(dǎo)體平面的距離為a,與導(dǎo)體平面法線方向的夾角為θ,如圖所示。求電偶極矩P所受到的作用力。13.有一個(gè)內(nèi)外半徑為R?和R?的空心球，位于均勻外磁場H?內(nèi)，球的磁導(dǎo)率為μ,求空腔內(nèi)的場B,討論μ>>μ?時(shí)的磁屏蔽作用。14.將解析函數(shù)的性質(zhì)與靜電場性質(zhì)進(jìn)行比較，分析解析函數(shù)表示靜電場的可能性。應(yīng)用解析函數(shù)方法求無窮長導(dǎo)體條橫截面積內(nèi)電位的分布。已知導(dǎo)體條的電位為Vo。思考與練習(xí)五1.若把麥克斯韋方程組的所有矢量都分解為無旋〔縱場〕和無散〔橫場〕兩部分，導(dǎo)出E和B的這兩部分在真空中所滿足的方程式，并證明電場的無旋部分對應(yīng)于庫侖場。2.利用Maxwell方程組導(dǎo)出線性均勻各向同性介質(zhì)中電磁波方程，求出電磁波在介質(zhì)中傳播的速度表達(dá)式。簡述所得結(jié)果與經(jīng)典物理學(xué)之間的矛盾。3.從Coulomb規(guī)X導(dǎo)出Lorentz規(guī)X的變換關(guān)系，并且證明它們之間的變換關(guān)系滿足規(guī)X變換不變性。4.試分析產(chǎn)生勢函數(shù)[A,ψ]非唯一性的原因，何謂勢函數(shù)[A,φ]的規(guī)X和規(guī)X變換。為什么在規(guī)X變換下電磁場和方程保持不變性。5.設(shè)真空中矢勢A(r,t)可用復(fù)數(shù)傅里葉展開為其中a是的復(fù)共軛。(1)證明展開系數(shù)a滿足諧振子方程〔2〕當(dāng)選取規(guī)X▽·A=0,φ=0時(shí)，證明k·ak=06.推遲勢是D'Alembert方程解的一部分，導(dǎo)出D'Alembert方程的全部解，說明舍棄另外一部分的原因。分析并理解推遲勢的物理意義，7.在靜態(tài)電磁場中，電場和磁場的能量可以表示為即靜態(tài)電磁場的能量由電荷和電流與勢函數(shù)確定，而時(shí)變電磁場的能量則不能由電荷和電流與勢函數(shù)確定，分析產(chǎn)生這一差別的原因。8.說明Poynting矢量s(r,t)的物理意義。以同軸傳輸線為例，分析并證明電磁場的能量是通過場傳輸?shù)摹?.由于初始條件描述困難，一般時(shí)變電磁場波動(dòng)方程很難直接求解。我們通過Fourier變換，將一般時(shí)變電磁場問題轉(zhuǎn)變?yōu)闀r(shí)諧電磁場問題的求解。然而實(shí)際應(yīng)用中，電磁場的初始狀態(tài)總是存在的，請思考如何處理初始條件與其影響。10.從電磁場與介質(zhì)相互作用的機(jī)理，分析為什么不同頻率的諧變電磁場中介質(zhì)的電磁特性參數(shù)ε(w)、μ(w)有不同的數(shù)值。11.證明平面電磁波中波矢量k的方向與能流密度矢量方向，E(r)H(r)滿足諧變波動(dòng)方程12.何謂電磁波的極化。證明任意線極化平面波可分解為兩個(gè)振幅相等、旋轉(zhuǎn)相反的圓極化平面波的疊加。13.有兩個(gè)頻率和振幅都相等的單色平面波沿z軸傳播，一個(gè)波沿x軸方向偏振，另一個(gè)沿y方向偏振，但相位比前者超前,求合成波的偏振。14.在均勻無源的空間區(qū)域內(nèi)，如果已知諧變電磁場中的矢量A(r),證明其電磁場強(qiáng)度與A(r)的關(guān)系是：思考與練習(xí)六1.簡述天線輻射電磁波的機(jī)理，分析影響天線輻射能力的主要因素，說明這些因素是如何影響天線對電磁波的輻射的。2.比較和總結(jié)電偶極子和磁偶極子天線的輻射特性，比較同樣長度的導(dǎo)線制作成電偶極子和磁偶極子天線對同一頻率電磁波的輻射能力，分析并說明為什么的電偶極子比磁偶極子天線輻射能力強(qiáng)。3.理論和實(shí)驗(yàn)都證明特性對電磁波的輻射具有方向性，在天線的特性參數(shù)中那些是描述天線輻射電磁波的方向特性的。說明產(chǎn)生天線輻射電磁波的方向特性的原因。4.求相距為一個(gè)波長的兩電偶極子天線在自由空間輻射的電磁場的分布。已知兩電偶極子天線上的電流強(qiáng)度和初相位完全相同。從該例中，你能夠得到同類型多元天線輻射的什么特性。5.設(shè)有一球?qū)ΨQ分布的電荷，沿徑向以頻率W作簡諧振動(dòng)，求輻射場，并對結(jié)果給以物理解釋。6.設(shè)有電偶極子天線和磁偶極子天線，它們在空間輻射電磁波能流密度相同。請問用這兩個(gè)天線如何實(shí)現(xiàn)圓極化電磁波的輻射。7.為測試天線的性能，將天線放置在如圖所示的地表面上〔可視為接地的理想導(dǎo)體平面),請問此時(shí)測量的結(jié)果與真空中電偶極子天線的輻射特性有何不同?在測試過程中，由于不小心，將垂直地表面的天線倒放在地面上，結(jié)果導(dǎo)致發(fā)射機(jī)毀壞，并請解釋導(dǎo)致發(fā)射機(jī)毀壞的原因。接地線第7題圖第10題圖8.時(shí)變電磁場的鏡象法與靜態(tài)電磁場鏡象法在形式上完全相同，分析它們具有相同形式的原因。歸納時(shí)變電磁場鏡象法的基本結(jié)果。9.何謂天線的阻抗，天線阻抗與那些因素有關(guān)。當(dāng)天線用作發(fā)射時(shí)，如果天線的阻抗與發(fā)射機(jī)的內(nèi)阻抗不匹配，嚴(yán)重時(shí)將導(dǎo)致什么結(jié)果，為什么?10.應(yīng)用等效原理，求導(dǎo)體平面上如圖所示的圓環(huán)縫隙在上半徑空間的輻射場。圓環(huán)縫隙的內(nèi)外半徑分別為a和b。11.利用相控陣天線可以得到很窄的電磁波輻射波束，簡述相控陣天線的基本原理，導(dǎo)出在天線陣長度L>>λ(波長)時(shí)，相控陣天線波束寬度的近似表達(dá)式。將相控陣天線與光柵衍射特性進(jìn)行比較，討論兩者之間的相同點(diǎn)。12.簡述雷達(dá)的基本工作原理，畫出雷達(dá)原理框圖，說明雷達(dá)各主要組成部分的作用和功能。思考與練習(xí)71.什么是介質(zhì)的波阻抗，它是由介質(zhì)中的電磁波確定，還是由介質(zhì)本身確定，為什么?電磁波在波阻抗不匹配的界面上要產(chǎn)生反射，而在波阻抗匹配的界面不產(chǎn)生反射，將它與電路理論中的阻抗匹配相比較，體會(huì)波阻抗的含義。2.等效阻抗的意義是什么?設(shè)Z>0為介電常數(shù)ε2的介質(zhì)空間，在此介質(zhì)前為一介質(zhì)薄片，厚度為D,介電常數(shù)為&?。平面波自自由空間垂直入射到介質(zhì)薄片，如圖所示。求證當(dāng)8?=√EoE?,時(shí)〔λ為電磁波在介質(zhì)薄片中的波長),電磁波無反射而全部透射。DDZ3.平面電磁波以θ=45°從真空入射到8,=2的介質(zhì)，電場強(qiáng)度垂直于入射面，求反射系數(shù)和折射系數(shù)。4.何謂全反射現(xiàn)象。有一可見平面光波由水入射到空氣，入射角為60°,證明這時(shí)將發(fā)生全反射，并求折射波沿表面?zhèn)鞑サ南嗨俣群屯溉肟諝獾纳疃取ＴO(shè)光波在空氣中的波長為λo=6.28×10??cm,水的折射率為n=1.33。5.證明在導(dǎo)電介質(zhì)體內(nèi)不存在自由電荷分布。6.何謂復(fù)介電常數(shù)、復(fù)波數(shù)，其實(shí)部和虛部的物理意義是什么。7.在設(shè)計(jì)對潛艇通信時(shí)，必須考慮海水是一種良導(dǎo)體。為了使通信距離足夠遠(yuǎn)，請就下面兩個(gè)問題給出你的設(shè)計(jì)方案。①有兩種不同頻率w?和W?的發(fā)射機(jī)和接受機(jī)，且w?>W?,請問選擇那種頻率的通信設(shè)備?為什么?②有兩種不同接受特性的天線可供選擇，其中天線1對電場敏感，天線2對磁場敏感，選擇那種天線作為通信的接受天線?為什么?8.平面電磁波由真空傾斜入射到導(dǎo)電介質(zhì)表面上，入射角為θ?,求導(dǎo)電介質(zhì)中電磁波的相速度和衰減長度，若導(dǎo)電介質(zhì)為金屬，結(jié)果如何?9.平面電磁波垂直射到金屬表面上，試證明透入金屬內(nèi)部的電磁波能量全部變?yōu)榻苟鸁帷?0.導(dǎo)出電磁波傳播的相速度和群速度，它們各代表什么物理意義。考慮兩列振幅相同、偏振方向相同、頻率分別為w+dw和w-dw的線偏振平面波，它們都沿z軸方向傳播。(1)求合成波，證明波的振幅不是常數(shù)，而是一個(gè)波；(2)求合成波的相位傳播速度和振幅傳播速度。11.頻率為w的電磁波在各向異性介質(zhì)中傳播時(shí)，若