湖南省婁底市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題 含解析

年上學(xué)期高一期中考試試卷數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：分鐘滿分：分）命題人：婁底四中彭志良審題人：婁底金海周琪注意事項(xiàng)：答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡上.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集含義即可得到答案.【詳解】由題意知.故選：C.2.若復(fù)數(shù)（的虛部為（）AB.C.1D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出可得答案.【詳解】，則的虛部為.第1頁(yè)/共12頁(yè)故選：A.3.在中，為線段的靠近點(diǎn)的一個(gè)三分點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)闉榫€段的靠近點(diǎn)的一個(gè)三分點(diǎn)，所以，所以.故選：B4.若，則（）A.B.2C.2023D.2025【答案】A【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的商式關(guān)系，可得答案.【詳解】.故選：A.5.在中，角的對(duì)邊分別為，則的外接圓面積為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用余弦定理求得，由正弦定理求外接圓半徑，進(jìn)而求圓的面積.【詳解】由題設(shè)，則，第2頁(yè)/共12頁(yè)所以外接圓半徑，故圓的面積為.故選：D6.已知，且，則的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】令，可得出，結(jié)合求出的值，再利用對(duì)數(shù)和指數(shù)的互化可求得的值.【詳解】因?yàn)?，由于，則，令，則，于是有，整理可得，因?yàn)?，解得，即，解?故選：B.7.在中，角的對(duì)邊分別為，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若，則C.若，則D.若，則三角形為銳角三角形【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用三角形內(nèi)角和及誘導(dǎo)公式判斷A；由正弦定理判斷B；注意以鈍角三角形作反例判斷C；由正弦邊角關(guān)系及余弦定理判斷D.【詳解】A：由，錯(cuò)；B：由，則，又，則，對(duì)；C：對(duì)于鈍角三角形，若，此時(shí)，錯(cuò)；第3頁(yè)/共12頁(yè)D：由，則，故，所以為銳角，但不能說(shuō)明三角形為銳角三角形，錯(cuò).故選：B8.已知單位向量、、滿足，則的值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知等式變形得出，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值，同理可得出、的值，再由結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】因?yàn)閱挝幌蛄?、、滿足，則，所以，所以，，解得，同理可得，因?yàn)?故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列各組向量中，不能作為基底的是（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)平行向量的坐標(biāo)表示，建立方程組，集合基底的定義，可得答案.第4頁(yè)/共12頁(yè)【詳解】對(duì)于A，令，則，顯然無(wú)解，則向量不共線，故A不合題意；對(duì)于B，令，則，顯然無(wú)解，則向量不共線，故B不合題意；對(duì)于C，令，則，解得，則向量共線，故C符合題意；對(duì)于D，令，則，解得，則向量共線，故D符合題意.故選：CD.10.已知函數(shù)，則下列命題正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得的圖象與函數(shù)的圖象重合【答案】ABD【解析】【分析】利用正弦型函數(shù)的周期公式可判斷A選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可判斷B選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)；利用三角函數(shù)圖象變換可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋屎瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，C錯(cuò)；第5頁(yè)/共12頁(yè)對(duì)于D選項(xiàng)，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，D對(duì).故選：ABD.已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意a，都滿足，則下述正確的是（）A.B.C.是奇函數(shù)D.若，則【答案】ACD【解析】分析】對(duì)取特殊值代入已知表達(dá)式即可求解【詳解】令，則，故A正確；令，則，則，故B錯(cuò)誤；令，則，所以，又令，則，所以奇函數(shù)，故C正確；令，則，所以，故D正確；故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.觀圖一定是菱形.以上結(jié)論正確的是__________.【答案】①第6頁(yè)/共12頁(yè)【解析】【分析】利用斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則，對(duì)各結(jié)論逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】由斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則知，斜二測(cè)畫(huà)法保持平行性不變，因此原相交直線，利用斜二測(cè)畫(huà)法得到的仍是相交直線，三角形的直觀圖一定是三角形，①正確；斜二測(cè)畫(huà)法中只有平行于軸或在軸上的線段，長(zhǎng)度保持不變，因此正方形、菱形的相鄰兩邊，利用斜二測(cè)畫(huà)法得到的線段不等，②③錯(cuò)誤.故答案為：①13.已知向量，則在上的投影向量為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影向量的計(jì)算，結(jié)合數(shù)量積以及模長(zhǎng)的計(jì)算，可得答案.【詳解】在上的投影向量為.故答案為：.14.已知，且，則的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】依題意可得，再利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，且，所以，?頁(yè)/共12頁(yè)當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).故答案為：四?解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.須購(gòu)買(mǎi)一批機(jī)器投入施工，據(jù)分析，這批機(jī)器可獲得的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）與運(yùn)轉(zhuǎn)的時(shí)間（單位：年）的函數(shù)關(guān)系為.（1）當(dāng)這批機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)第幾年時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？（2）當(dāng)運(yùn)轉(zhuǎn)多少年時(shí)，這批機(jī)器的年平均利潤(rùn)最大？【答案】（1）第7年時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)45萬(wàn)元（2）【解析】1）對(duì)已知的二次函數(shù)配方可求得結(jié)果；（2且然后利用基本不等式可得其最大值.【小問(wèn)1詳解】故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為45，所以這批機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)第7年時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)45萬(wàn)元；【小問(wèn)2詳解】記年平均利潤(rùn)為，則14當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.16.已知.（1）若，求的坐標(biāo)；（2）若，求與的夾角的余弦值.【答案】（1）的坐標(biāo)為或第8頁(yè)/共12頁(yè)（2）【解析】1）由平行向量的坐標(biāo)表示，建立方程組，可得答案；（2）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，求得數(shù)量積的值，結(jié)合數(shù)量積的定義式，可得答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，由題意有，解得或.故的坐標(biāo)為或；【小問(wèn)2詳解】由化簡(jiǎn)整理得，則，解得，=.17.在中，角的對(duì)邊分別為.（1）求.（2）若，求的面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】1）根據(jù)正弦定理結(jié)合輔助角公式計(jì)算求解；（2）應(yīng)用余弦定理結(jié)合基本不等式計(jì)算求值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，因?yàn)?，所以，，又，所以.【小問(wèn)2詳解】第9頁(yè)/共12頁(yè)因?yàn)?，由余弦定理可得，所?，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取的面積的最大值.18.在中，已知分別為上的點(diǎn)，且.（1）求；（2）求證：；（3）若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，滿足均為正常數(shù)，求的最大值.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】1）根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算律及數(shù)量積定義，轉(zhuǎn)化法計(jì)算得出模長(zhǎng)；（2）根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算律及數(shù)量積定義，得出，即可證明；（3）應(yīng)用平面向量基本定理結(jié)合共線得出結(jié)合基本不等式計(jì)算求出最大值.【小問(wèn)1詳解】，-，，第10頁(yè)/共12頁(yè)所以，；【小問(wèn)2詳解】，所以，所以；【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，由三點(diǎn)共線可得，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值.19.已知函數(shù).（1）解方程；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；（3）若函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）（2）偶函數(shù)，理由見(jiàn)解析（3）2或【解析】1）證明即可求解；（2）求出定義域，根據(jù)奇偶性的定義判斷即可；（3）把函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根的問(wèn)題，結(jié)合換元法和判別式進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】由得，所以，所以，第11頁(yè)/共12頁(yè)令，解得，所以；【小問(wèn)2