G10教育聯(lián)盟2024-2025學年高二下學期4月期中聯(lián)考數(shù)學試題 含解析

年4月高二期中聯(lián)考數(shù)學（本試卷共4頁，題，考試用時分鐘，全卷滿分分）注意事項：在答題卡上的指定位置.選擇題的作答：每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上相應題目的答案標號涂黑寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.題卡上的非答題區(qū)域均無效.考試結(jié)束后，將答題卡上交.85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在復平面內(nèi)，對應的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】B【解析】【分析】方法一：利用等比數(shù)列求和公式和負數(shù)的乘法運算化簡，然后得到答案.方法二：利用虛數(shù)單位的冪的運算的周期性計算化簡，然后得到答案.【詳解】解法一：∵，解法二：,,∴.則所求復數(shù)對應的點為，位于第二象限.故選：B.2.有可以表示為（）第1頁/共19頁A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)定義可得結(jié)果.【詳解】由排列數(shù)公式可得，故選：D.3.若，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先對變形為，再利用二項式定理求出通項，進而求出指定項的系數(shù)即可.【詳解】易得，且，則，由二項式定理得展開式的通項公式為，令，.故選：A.4.已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項公式為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造等差數(shù)列，再結(jié)合通項公式計算求解.【詳解】因為，左右同乘，所以，為首項是1，公差為3的等差數(shù)列，所以，第2頁/共19頁所以，故選:C.5.已知，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】求解.【詳解】，則，.，則，則.故選：A.6.已知集合中的，，是取自集合該直線的傾斜角為鈍角，符合以上所有條件的直線的條數(shù)為（）A.40B.32C.24D.23【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意按照順序分別將的選法種類逐一確定，結(jié)合組合計算，再除去不合題意的即可.【詳解】可得，從集合中任取三個不同元素，且，異號，若，共有條，若，共有條，總共種.又因為當，，和，，時，都表示直線，所以符合條件的直線的條數(shù)為種.故選：D.7.為研究不同性別學生對“deepseek”第3頁/共19頁生各50名作為樣本，設(shè)事件"了解deepseek"，“學生為女生”，據(jù)統(tǒng)計，40deepseek的學生的人數(shù)為，則當取得最大值時的值為（）A.16B.17C.18D.19【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項分布概率公式構(gòu)造不等式組，解題即可.【詳解】已知，，抽取男生和女生各50名，所以.根據(jù)條件概率公式，可得.再根據(jù)條件概率公式，可得.所以隨機變量，令，解得，因為，所以當時，取得最大值.故選：C.8.馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，在強化學習、自然語言處理、金融領(lǐng)域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用.馬爾科夫鏈因俄國數(shù)學家安德烈·馬爾科夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第，，，?次狀態(tài)無關(guān).現(xiàn)有，兩個盒子，各裝有1個黑球和1個紅球，現(xiàn)從，兩個盒子中各任取一盒子中紅球的個數(shù)為1個紅球的概率為.則的值為（）A.B.C.D.【答案】A第4頁/共19頁【解析】【分析】用古典概型，根據(jù)組合數(shù)算出第一次操作后盒恰有個紅球的概率和恰有個紅球的概率.用全概率公式得到與的遞推關(guān)系..依據(jù)等比數(shù)列通項公式求出的表達式.把代入表達式，算出的值.【詳解】設(shè)第次操作后盒子中恰有2個紅球的概率為，則沒有紅球的概率為.由題意知，，，因為，所以.又因為，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列.所以，.故選：A.36分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對得6分，部分選對的得部分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.正方體的表面積和體積是相關(guān)關(guān)系B.已知函數(shù)，則C.若，且，則D.已知隨機變量，若，則函數(shù)為偶函數(shù)【答案】CD【解析】ABC據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)結(jié)合偶函數(shù)定義判斷D.第5頁/共19頁【詳解】A是確定的函數(shù)關(guān)系，所以錯誤；B選項，∵，∴.故B錯誤；C選項，因為，所以.又，所以，故C正確；D選項，若，則區(qū)間和關(guān)于直線對稱，∴，則，∴函數(shù)為偶函數(shù).故選：CD.10.已知點，為圓為直線（）A.圓心到直線的距離為B.以為直徑的圓與直線相離C.的最大值為D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，根據(jù)條件，利用弦長公式，即可求解；對于B，利用選項A可得點在以為圓心，CD可求解.【詳解】對于選項A，設(shè)的中點為，如圖1，連接，.第6頁/共19頁則，，所以，故選項A正確；對于選項B，由A知，點在以為圓心，為半徑圓上，又原點到的距離為，所以點到直線的距離的最小值為，因為，故以為直徑的圓與直線相離，所以選項B正確；對于選項C，如圖2，當直線與直線平行，且，，共線時，為等腰三角形，此時最小，最小值為，又，故此時最大，且，則，所以，則，故選項C錯誤；對于選項D，，當，，，共線，且在，之間時取等號，，所以的最小值為，所以選項D正確，故選：ABD.已知函數(shù)，有兩個零點，的是（）A.B.C.D.第7頁/共19頁【答案】BCD【解析】ABCD變量代換構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值來證明不等式.【詳解】對于A：因為有兩個零點，，且，所以在上有兩個根，即在上有兩個交點，，，故A錯誤；對于B：作出圖象，與關(guān)系如圖，，則，故B正確；對于C：由A選項可知，當時，顯然成立.當時，等價于，可知，，，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，單調(diào)遞減.要讓，只需證，又∵，只需證，令，則，∵，∴，∴，函數(shù)在區(qū)間∴∴∴∴C正確；第8頁/共19頁對于D：，，，，又，，，，∴，只需要證明，.令，，，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.下列5個數(shù)據(jù)，，1，，的第40百分位數(shù)為______.【答案】0.9##【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)可得答案.【詳解】從小到大排列后，得到，由于，則求與1的平均數(shù)為0.9.則第40百分位數(shù)為0.9.故答案為：0.9.13.直線經(jīng)過橢圓的兩個頂點，則該橢圓的離心率______.【答案】【解析】【分析】先求出直線與坐標軸的交點，再代入橢圓方程進而得出即可得出離心率.【詳解】由題意，直線過點，，代入橢圓方程得，解得，，所以橢圓方程為，所以，，，則.第9頁/共19頁故答案為：.14.已知正三棱柱中，，，是是線段上的動點，過且與垂直的截面與交于點，則三棱錐的體積的最大值為______.【答案】##【解析】【分析】設(shè)的中點為在以為直徑的圓上，從而可求出點到底面距離的最大值，進而可求得三棱錐的體積的最大值.【詳解】如圖1，設(shè)的中點為,連接，截面如圖2，且，.因為平面，平面，則，則點在以為直徑的圓上.當點在弧的中點時，此時點到底面距離的最大，且最大值為，所以三棱錐的體積的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共分解答過程應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知等比數(shù)列的首項中每相鄰兩項之間都插入6原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式.第10頁/共19頁（2）記數(shù)列前項的乘積為，試問：是否有最大值？如果有，請求出此時的值以及的最大值；若沒有，請說明理由.【答案】（1）（2）是，或6，最大值為【解析】12）求出數(shù)列的前n項的乘積為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.【小問1詳解】，公比，，設(shè)新數(shù)列的公比為，則，，由，所以.【小問2詳解】.令，當或6時，有最大值30.所以的最大值為，此時或6.16.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面，.第11頁/共19頁（1）棱上是否存在點，使平面，若存在，請求出的值；（2在線段的位置.【答案】（1）存在，（2）點在點處，與點重合【解析】1）建立空間直角坐標系，利用空間位置關(guān)系的向量表示建立方程，求解參數(shù)，進而得到的值即可.（2）利用二面角的向量求法將二面角的余弦值表示為一元函數(shù)，再利用二次函數(shù)結(jié)合復合函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)性，進而確定取得最值時的自變量取值，再確定動點位置即可.【小問1詳解】如圖，建立如圖所示的空間直角坐標系，，，，，，則，，由于，故.設(shè)，，則，則，要使平面，則，解得，故存在點，當時，.【小問2詳解】設(shè)，，則，第12頁/共19頁設(shè)平面一個法向量為，故，，，，令，則.設(shè)平面的一個法向量為，故，，，令，則，設(shè)二面角為，，，因為，所以，令，則可化為，由二次函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，由復合函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞減，則，則當時，最大，此時二面角夾角最小，故點在點處，與點重合.17.已知橢圓過點，離心率為.（1）求橢圓的標準方程.第13頁/共19頁（2（點關(guān)于軸的對稱點為平行的直線與橢圓相交于，兩點，直線，分別與軸交于，兩點.若四邊形為菱形，求滿足條件的點坐標.【答案】（1）（2）【解析】1）根據(jù)離心率以及代入點到橢圓方程即可聯(lián)立方程求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，得韋達定理，根據(jù)菱形的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為，代入斜率公式，即可化簡求解.【小問1詳解】由題意可知，解得，.所以橢圓的標準方程為.【小問2詳解】設(shè)點關(guān)于軸的對稱點的坐標為.直線的斜率為.直線與平行，設(shè)直線的方程為.由得，由（點，且，第14頁/共19頁設(shè)，，則，，四邊形為菱形，所以，所以.即，化簡可得.將韋達定理代入可得，化簡可得，又因為點在第一象限，所以.18.設(shè)函數(shù)，.（1）試判斷函數(shù)在區(qū)間上是否存在極值點，并說明理由；（2）若任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）存在極大值點，無極小值點，理由見解析（2）【解析】1）先求出導函數(shù)，得出函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零點存在定理判斷導數(shù)零點即可得出極值點；（2分和及分類討論得出單調(diào)性即可求參.【小問1詳解】，令，則，則，恒小于0，單調(diào)遞減，第15頁/共19頁且，，∴，，，，單調(diào)遞增，，，無極小值點.【小問2詳解】，則.又令，，①當，即時，恒成立，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，∴，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴②當，即時，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，∴，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴③當，即時，由，，∴，使，且時，，，，∴在上單調(diào)遞增，∴綜上，的取值范圍是.19.生物研究工作中，統(tǒng)計鳥類主要是研究鳥類種群數(shù)量和分布規(guī)律.統(tǒng)計人員發(fā)現(xiàn)某鳥類在區(qū)域經(jīng)常出I種和II種.統(tǒng)計人員在區(qū)域隨機捕獲了50只該鳥，再將捕獲的鳥全部放回，作為一次試驗結(jié)果.記第次試驗中I種的數(shù)目為隨機變量.設(shè)該區(qū)域中I種的數(shù)目為，II種的數(shù)目為.（1i）求在第1次試驗中隨機變量的分布列.第16頁/共19頁（ii）假設(shè)每一次試驗均相互獨立，統(tǒng)計人員完成所有試驗后，得到的實際取值分別為，其平均值，方差.記隨機變量.采用和分別代替期望和方差，試給出，的估計值（結(jié)果保留整數(shù)）.件次品的件產(chǎn)品中次品數(shù)為.隨機變量與滿足.若隨機變量與相互獨立，則.（2）假設(shè)統(tǒng)計人員每次隨機捕獲一只該鳥，統(tǒng)計種類，再將捕獲的鳥放回，重復進行次.“使得的取值達到最大時的作為的估計值”的思想稱為最大似然原理.基于最大似然原理的最大似然參數(shù)估計方法稱為最大似然估計.具體步驟：先對參數(shù)構(gòu)建對數(shù)似然函數(shù)，再對其關(guān)于參數(shù)求導，得到似然方程，最后求解參數(shù)的估計值.已知的參數(shù)的對數(shù)似然函數(shù)為明頻率估計概率的合理性.【答案】（1i）分布列見解析（ii），（2），合理性說明見解析；【解析】1i）根據(jù)超幾何分布寫出分布列即可；（ii）根據(jù)超幾何分布的期望和方差公式求出、，再結(jié)合題中給的參考公式即可求、，進而列出關(guān)于