2025中考復習數學考點突破課件：第五章　四邊形 考點27　矩形、正方形

第五章四邊形考點突破練刷基礎刷易錯刷提升刷風向考點27矩形、正方形考點27刷基礎考向1矩形的性質與判定1.

[2023湖北襄陽中考]如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，下列結論一

定正確的是(

C

)A.

AC平分∠BADB.

AB＝BCC.

AC＝BDD.

AC⊥BD【解析】矩形ABCD的對角線相交于點O，根據矩形的對角線相等，可得AC

＝BD.

故選C.

C12345678910111213142.

[2023上海中考]在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD.

下列說法能使四

邊形ABCD為矩形的是(

C

)A.

AB∥CDB.

AD＝BCC.

∠A＝∠BD.

∠A＝∠DC1234567891011121314【解析】A選項，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形.由AB

＝CD，不能判定四邊形ABCD為矩形，故選項A不符合題意.B選項，∵AD

＝BC，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形.由AB＝CD，不能判定四邊

形ABCD為矩形，故選項B不符合題意.C選項，∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝

180°.∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴AB的長為AD與BC間的距離.∵AB＝CD，∴易知CD⊥AD，CD⊥BC，∴∠C＝∠D＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，故選項C符合題意.D選項，∵AD∥BC，

∴∠A＋∠B＝180°，∠D＋∠C＝180°.∵∠A＝∠D，∴∠B＝∠C.

∵A＝CD，∴四邊形ABCD可能是等腰梯形，無法判定是矩形，故選項D不符合題

意.故選C.

1234567891011121314刷有所得矩形的判定方法①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直

角的四邊形是矩形；③對角線相等的平行四邊形是矩形；④對角線互相

平分且相等的四邊形是矩形.12345678910111213143.

[2024陜西西安二模]如圖，在矩形ABCD中，連接AC，延長AB至點E，

使BE＝AC，連接DE，若∠E＝20°，則∠BAC的度數是

°.

4012345678910111213144.

[2023湖南湘西州中考]如圖，在矩形ABCD中，點E在邊BC上，點F是

AE的中點，AB＝8，AD＝DE＝10，則BF的長為

.

12345678910111213145.

[2023四川樂山中考]如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D為AB邊上

任意一點(不與點A，B重合)，過點D作DE∥BC，DF∥AC，分別交AC，BC于點E，F，連接EF.

(1)求證：四邊形ECFD是矩形；(1)【證明】∵DE∥BC，DF∥AC，∴四邊形ECFD為平行四邊形.又∵∠C＝90°，∴四邊形ECFD為矩形.1234567891011121314(2)若CF＝2，CE＝4，求點C到EF的距離.

12345678910111213146.

[2023北京中考]如圖，在?ABCD中，點E，F分別在BC，AD上，BE

＝DF，AC＝EF.

(1)求證：四邊形AECF是矩形；(1)【證明】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD

＝BC，AD∥BC.

∵BE＝DF，∴AF＝EC，

∴四邊形AECF是平行四邊形.∵AC＝EF，∴平

行四邊形AECF是矩形.1234567891011121314

12345678910111213147.

[2023浙江溫州中考]如圖，已知矩形ABCD，點E在CB延長線上，點F在

BC延長線上，過點F作FH⊥EF交ED的延長線于點H，連接AF交EH于

點G，GE＝GH.

(1)求證：BE＝CF.

1234567891011121314(1)【證明】∵FH⊥EF，GE＝GH，∴GE＝GF＝GH，∴∠GFE＝∠E.

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，∴△ABF≌△DCE(AAS)，∴BF＝CE，∴BF－BC＝CE－BC，即BE＝CF.

1234567891011121314

1234567891011121314考向2正方形的性質與判定8.

[2023河北中考]如圖，在Rt△ABC中，AB＝4，點M是斜邊BC的中點，

以AM為邊作正方形AMEF.

若S正方形AMEF＝16，則S△ABC＝(

B

)C.12D.16B1234567891011121314

12345678910111213149.

[2023重慶中考A卷]如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別在BC，CD

上，連接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，則∠FEC一定等

于(

A

)A.2αB.90°－2αC.45°－αD.90°－αA1234567891011121314

1234567891011121314刷有所得半角模型像本題中這樣有公共頂點，銳角等于較大角的一半，且組成這個較大角

的兩邊相等的幾何模型稱為半角模型，一般通過幾何變換得到全等三角

形來解決這類問題.123456789101112131410.

[2023黑龍江佳木斯中考]如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，

BD相交于點O，試添加一個條件

，使得矩形

ABCD為正方形.【解析】添加AB＝AD.

理由：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝AD，∴四邊形

ABCD是正方形.故答案為AB＝AD(答案不唯一).AB＝AD(答案不唯一)123456789101112131411.

[2023遼寧大連中考]如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，延長BC至E，

使CE＝2，連接AE.

CF平分∠DCE交AE于F，連接DF，則DF的長

為

?.

1234567891011121314

123456789101112131412.

[2023湖北黃石中考]如圖，正方形ABCD中，點M，N分別在AB，BC

上，且BM＝CN，AN與DM相交于點P.

(1)求證：△ABN≌△DAM；

1234567891011121314(2)求∠APM的大小.(2)【解】由(1)知△ABN≌△DAM，∴∠MAP＝∠ADM，∴∠MAP＋∠AMP＝∠ADM＋∠AMP＝90°，∴∠APM＝180°－(∠MAP＋∠AMP)＝90°.123456789101112131413.

[2023浙江紹興中考]如圖，在正方形ABCD中，G是對角線BD上的一點

(與點B，D不重合)，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分別為垂足.連接EF，

AG，并延長AG交EF于點H.

(1)求證：∠DAG＝∠EGH；(1)【證明】在正方形ABCD中，AD⊥CD，GE⊥CD，∴∠ADE＝∠GEC＝90°，∴AD∥GE，∴∠DAG＝

∠EGH.

1234567891011121314(2)判斷AH與EF是否垂直，并說明理由.(2)【解】AH⊥EF，理由如下：連接GC交EF于點O，如圖.1234567891011121314∵BD為正方形ABCD的對角線，∴∠ADG＝∠CDG＝45°.又∵DG＝

DG，AD＝CD，∴△ADG≌△CDG(SAS)，∴∠DAG＝∠DCG.

在正

方形ABCD中，∠ECF＝90°，又∵GE⊥CD，GF⊥BC，∴四邊形

FCEG為矩形，∴OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∴∠DAG＝

∠OEC.

由(1)得∠DAG＝∠EGH，∴∠EGH＝∠OEC，∴∠EGH＋

∠GEH＝∠OEC＋∠GEH＝∠GEC＝90°，∴∠GHE＝90°，

∴AH⊥EF.

1234567891011121314考點27刷易錯14.

[2023黑龍江哈爾濱中考]矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點F

在矩形ABCD邊上，連接OF.

若∠ADB＝38°，∠BOF＝30°，則∠AOF

＝

.46°或106°1234567891011121314【解析】①當F在AB上時，如圖(1).∵四邊形ABCD是矩形，∴OD＝OA，

∴∠OAD＝∠ODA＝38°，∴∠AOB＝∠ADO＋∠DAO＝76°.∵∠BOF＝30°，∴∠AOF＝∠AOB－∠BOF＝46°.②當F在BC上時，如圖(2).∵四邊形ABCD是矩形，∴OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA＝38°，∴∠AOB＝

∠ADO＋∠DAO＝76°.∵∠BOF＝30°，∴∠AOF＝∠AOB＋∠BOF＝106°.綜上，∠AOF＝46°或106°.故答案為46°或106°.

1234567891011121314本題點F在AB上時，得到∠AOF＝∠AOB－∠BOF；點F在BC上

時，得到∠AOF＝∠AOB＋∠BOF，分別進行計算求解.易錯警示1234567891011121314考點27刷提升1.

[2023浙江紹興中考，中]如圖，在矩形ABCD中，O為對角線BD

的中點，∠ABD＝60°，動點E在線段OB上，動點F在線段OD上，點

E，F同時從點O出發(fā)，分別向終點B，D運動，且始終保持OE＝OF.

點

E關于AD，AB的對稱點為E1，E2；點F關于BC，CD的對稱點為F1，F2.

在整個過程中，四邊形E1E2F1F2形狀的變化依次是(

A

)AA.

菱形→平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形B.

菱形→正方形→平行四邊形→菱形→平行四邊形C.

平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形→平行四邊形D.

平行四邊形→菱形→正方形→平行四邊形→菱形12345678【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠BDC＝∠ABD＝60°，∠ADB＝∠CBD＝90°－60°＝30°.∵OE＝OF，OB＝OD，∴DF＝EB.

由對稱得DF＝DF2，BF＝BF1，BE＝BE2，DE＝DE1，∴E1F2＝E2F1.由對稱得∠F2DC＝∠CDF＝60°，∠EDA＝∠E1DA＝30°，∴∠E1DB＝60°，同理可得∠F1BD＝60°，∴DE1∥BF1.∵E1F2＝E2F1，∴四邊形E1E2F1F2是平行四邊形.12345678

圖(1)

圖(2)12345678

圖(3)123456782.

[2023安徽中考，中]如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，EF⊥AB

于點F，連接DE并延長，交邊BC于點M，交邊AB的延長線于點G.

若AF

＝2，FB＝1，則MG＝(

B

)B12345678

123456783.

[2023山東棗莊中考，中]如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交

于點O，E為BC上一點，CE＝7，F為DE的中點，若△CEF的周長為32，

則OF的長為

?.

12345678

123456784.

[2023陜西中考A卷，中]如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4.點E在

邊AD上，且ED＝3，M，N分別是邊AB，BC上的動點，且BM＝BN，P

是線段CE上的動點，連接PM，PN.

若PM＋PN＝4，則線段PC的長

為

?.

12345678

123456785.

[2024湖南長沙一模，中]如圖，四邊形AECF是菱形，對角線AC，EF交

于點O，點D，B是對角線EF所在直線上兩點，且DE＝BF，連接AD，

AB，CD，CB，∠ADO＝45°.(1)求證：四邊形ABCD是正方形；(1)【證明】∵菱形AECF的對角線AC和EF交于點O，

∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF.

∵DE＝BF，∴BO＝

DO.

又∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形.∵∠ADO＝

45°，∴∠DAO＝∠ADO＝45°，∴AO＝DO，∴AC＝

BD，∴四邊形ABCD是正方形.12345678(2)若正方形ABCD的面積為72，BF＝4，求菱形AECF的面積.

123456786.

[2023四川南充中考，較難]如圖，正方形ABCD中，點M在邊BC上，點E

是AM的中點，連接ED，EC.

(1)求證：ED＝EC.

12345678(2)將BE繞點E逆時針旋轉，使點B的對應點B'落在AC上，連接MB'.當點

M在邊BC上運動時(點M不與B，C重合)，判斷△CMB'的形狀，并說明理

由.(2)【解】△CMB'是等腰直角三角形，理由如下：根據旋轉的性質得，EB'＝EB，∴EB'＝AE＝ME，∴∠EAB'＝∠EB'A，∠EMB'＝∠EB'M.

∵∠EAB'＋∠EB'A＋∠EB'M＋∠EMB'＝180°，∴∠EB'A＋∠EB'M＝90°，即∠AB'M＝90°，∴∠MB'C＝180°－∠AB'M＝90°，∴∠B'MC＝90°－∠ACB＝45°，∴∠ACB＝∠B'MC，∴B'M＝B'C，∴△CMB'是等腰直角三角形.12345678(3)在(2)的條件下，已知AB＝1，當∠DEB'＝45°時，求BM的長.(3)【解】延長BE交AD于點F，如圖所示.∵∠EAB＝∠EBA，∠EAB'＝∠EB'A，∴∠BEM＝

2∠BAE，∠B'EM＝2∠B'AE，∴∠BEB'＝∠BEM＋

∠B'EM＝2(∠BAE＋∠B'AE)＝2∠B'AB＝90°，∴∠DEF＝∠B'EF－∠DEB'＝45°.∵△EAD≌△EBC，∴∠AED＝∠BEC.

∵∠AEF＝∠BEM，∴∠CEM＝∠DEF＝45°.∵∠MCA＝45°，∴∠CEM＝∠MCA.

12345678

123456787.

[2023吉林長春中考，較難]如圖(1)，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝

5，點E在邊BC上，且BE＝2，動點P從點E出發(fā)，沿折線EB－BA－AD

以每秒1個單位長度的速度運動.作∠PEQ＝90°，EQ交邊AD或邊DC于

點Q，連接PQ.

當點Q與點C重合時，點P停止運動.設點P的運動時間為t

秒.(t＞0)

12345678(1)當點P和點B重合時，線段PQ的長為

；【解】(1)當點P和點B重合時，如圖(1)所示.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAQ＝∠ABE＝90°.∵∠PEQ＝90°，∴四邊形ABEQ是矩形.當點P和點B重合時，QE＝AB＝3.∵BE＝2，

12345678(2)當點Q和點D重合時，求tan∠PQE；【解】(2)當點Q和點D重合時，如圖(2)所示.∵∠PEQ＝90°，∠PBE＝∠ECD＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∴△PBE∽△ECD，

12345678(3)當點P在邊AD上運動時，△PQE的形狀始終是等腰直角三角形，如圖

(2)，請說明理由；【解】(3)如圖(3)所示，過點P作PH⊥BC于點H.

∵∠PEQ＝90°，∠PHE＝∠ECQ＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，