重慶市部分學(xué)校2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期四月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（含解析）

重慶市部分學(xué)校2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期四月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．如圖（1）、（2）、（3）分別為不同樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，其對(duì)應(yīng)的樣本相關(guān)系數(shù)分別是，那么之間的關(guān)系為（

）

A． B．C． D．2．已知某地區(qū)高中生的身高近似服從正態(tài)分布，若，則（

）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.63．在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中出現(xiàn)如圖形狀，被后人稱為“三角垛”．已知＂三角垛＂的最上層有個(gè)球，第二層有個(gè)球，第三層有個(gè)球，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．4．已知數(shù)列為等比數(shù)列且，設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．或18 B． C．18 D．25．展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A．200 B．210 C．220 D．2306．在四面體中，，且，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則與所成的角為（

）A． B． C． D．7．如圖，在某城市中，M、N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中、、、是道路網(wǎng)中位于一條對(duì)角線上的4個(gè)交匯處，今在道路網(wǎng)M、N處的甲、乙兩人分別要到N、M處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，直到到達(dá)N、M處為止，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．甲從M必須經(jīng)過(guò)到達(dá)N處的方法有9種B．甲乙兩人在處相遇的概率為C．甲、乙兩人相遇的概率為D．甲從M到達(dá)N處的方法有120種8．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．可表示為B．5個(gè)朋友聚會(huì)，見(jiàn)面后每?jī)扇宋帐忠淮?，一共握?0次C．若把英語(yǔ)單詞“happy”的字母順序?qū)戝e(cuò)，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有59種D．將4名老師分派到兩個(gè)學(xué)校支教，每個(gè)學(xué)校至少派1人，則共有8種不同的分派方法10．如圖，在直四棱柱中，底面是正方形，，，若，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，B．直線與平面所成角的正弦值最大值為C．當(dāng)平面截直四棱柱所得截面面積為時(shí)，D．四面體的體積為定值11．若對(duì)一切恒成立，則的值可能為（

）A． B． C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．某公司收集了某商品銷售收入（單位：萬(wàn)元）與相應(yīng)的廣告支出（單位：萬(wàn)元）共10組數(shù)據(jù)，繪制出散點(diǎn)圖，如圖，并利用線性回歸模型進(jìn)行擬合．若將圖中10個(gè)點(diǎn)中去掉點(diǎn)后再重新進(jìn)行線性回歸分析，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是．

①?zèng)Q定系數(shù)變小

②殘差平方和變小③相關(guān)系數(shù)的值變小

④自變量與因變量相關(guān)性變?nèi)?3．在某抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，設(shè)置3個(gè)不同顏色的抽獎(jiǎng)箱，每個(gè)箱子中的小球大小相同質(zhì)地均勻，其中紅色箱子中放有紅球2個(gè)，黃球2個(gè)，綠球2個(gè)；黃色箱子中放有紅球3個(gè)，黃球1個(gè)，綠球2個(gè)；綠色箱子中放有紅球3個(gè)，黃球2個(gè)．要求參與者先從紅色箱子中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，將其放入與小球顏色相同的箱子中，再?gòu)姆湃胄∏虻南渥又须S機(jī)抽取一個(gè)小球，抽獎(jiǎng)結(jié)束．若第二次抽取的是紅色小球，則獲得獎(jiǎng)品，否則不能獲得獎(jiǎng)品．若甲為參與者，在其第一次抽取的不是紅球的條件下，獲得獎(jiǎng)品的概率為．14．甲、乙兩位同學(xué)玩游戲，對(duì)于給定的實(shí)數(shù)，按下列方法操作一次產(chǎn)生一個(gè)新的實(shí)數(shù)：由甲、乙同時(shí)各擲一枚均勻的硬幣，如果出現(xiàn)兩個(gè)正面朝上或兩個(gè)反面朝上，則把乘以2后再減去12,；如果出現(xiàn)一個(gè)正面朝上，一個(gè)反面朝上，則把除以2后再加上12，這樣就得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)，對(duì)實(shí)數(shù)仍按上述方法進(jìn)行一次操作，又得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝，若甲獲勝的概率為，則的取值范圍是四、解答題（本大題共5小題）15．現(xiàn)將近幾日某地區(qū)門鎖銷售的數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下表格：第x天1234567數(shù)量y200260280350420440500（1）若y與x線性相關(guān)，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)第10天該地區(qū)門鎖的銷售數(shù)量；（參考公式和數(shù)據(jù):）（2）某人手里有三把鑰匙，其中只有一把可以打開(kāi)門鎖，他現(xiàn)在無(wú)法分清哪一把能夠打．記X為他有放回的進(jìn)行開(kāi)鎖時(shí)的開(kāi)鎖次數(shù)，Y為他無(wú)放回的進(jìn)行開(kāi)鎖時(shí)的開(kāi)鎖次數(shù)．求的概率．16．“馬街書會(huì)”是流行于河南省寶豐縣的傳統(tǒng)民俗活動(dòng)，為國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．每年農(nóng)歷正月十三來(lái)自省內(nèi)外的說(shuō)書藝人負(fù)鼓攜琴，匯集于此，說(shuō)書亮藝，河南墜子、道情、曲子、琴書等曲種應(yīng)有盡有，規(guī)模壯觀．為了解人們對(duì)該活動(dòng)的喜愛(ài)程度，現(xiàn)隨機(jī)抽取200人進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如下列聯(lián)表：不喜愛(ài)喜愛(ài)合計(jì)男性90120女性25合計(jì)200附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828(1)完成列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別與對(duì)該活動(dòng)的喜愛(ài)程度有關(guān)聯(lián)？(2)為宣傳曲藝文化知識(shí)，當(dāng)?shù)匚幕衷跁鴷?huì)上組織了戲曲知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)定從8道備選題中隨機(jī)抽取4道題進(jìn)行作答．假設(shè)在8道備選題中，戲迷甲正確完成每道題的概率都是，且每道題正確完成與否互不影響；戲迷乙只能正確完成其中的6道題．①求戲迷甲至少正確完成其中3道題的概率；②設(shè)隨機(jī)變量表示戲迷乙正確完成題的個(gè)數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．17．已知橢圓的離心率為，E的左頂點(diǎn)N到點(diǎn)的距離為．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)過(guò)點(diǎn)M作斜率和為2的直線，，直線，分別與E交于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)．（i）若（點(diǎn)B在點(diǎn)A的下方）的面積為，求直線的方程；（ii）設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為P，Q，證明：直線PQ過(guò)定點(diǎn)．18．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求證.19．新高考數(shù)學(xué)多選題6分制的模式改變了傳統(tǒng)的多選題賦分模式，每題具有多個(gè)正確答案，答對(duì)所有正確選項(xiàng)得滿分，答對(duì)部分選項(xiàng)也可得分，強(qiáng)調(diào)了對(duì)知識(shí)點(diǎn)理解和全面把握的要求．在某次數(shù)學(xué)測(cè)評(píng)中，第11題（6分制多選題）得分的學(xué)生有100人，其中的學(xué)生得部分分，的學(xué)生得滿分，若給每位得部分分的學(xué)生贈(zèng)送1個(gè)書簽，得滿分的學(xué)生贈(zèng)送2個(gè)書簽．假設(shè)每個(gè)學(xué)生在第11題得分情況相互獨(dú)立．（1）從第11題得分的100名學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，記這4人得到書簽的總數(shù)為個(gè)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）從第11題得分的100名學(xué)生中隨機(jī)抽取人，記這人得到書簽的總數(shù)為個(gè)的概率為，求的值；（3）已知王老師班有20名學(xué)生在第11題有得分，若以需要贈(zèng)送書簽總個(gè)數(shù)概率最大為依據(jù)，請(qǐng)問(wèn)王老師應(yīng)該提前準(zhǔn)備多少個(gè)書簽比較合理？

參考答案1．【答案】B【詳解】由散點(diǎn)圖（1）可得，變量與變量之間呈現(xiàn)正相關(guān)，所以；由散點(diǎn)圖（2）可得，變量與變量之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，所以；由散點(diǎn)圖（3）可得，變量與變量之間不相關(guān)，所以，所以.故選B.2．【答案】D【詳解】解：依題意，，故選D.3．【答案】B【詳解】因?yàn)?，，，，以此類推可知，故，因此，?shù)列的前項(xiàng)和為.故選B.4．【答案】C【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，則，所以,所以，所以.故選C.5．【答案】A【詳解】，又中含的項(xiàng)為，中含的項(xiàng)為，故展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，故展開(kāi)式中的系數(shù)為200故選A6．【答案】B【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，則，所以或其補(bǔ)角即為所求因?yàn)?，且，所以且，所以所以與所成的角為故選B7．【答案】D【詳解】解：對(duì)于，甲經(jīng)過(guò)到達(dá)，可分為兩步：第一步：甲從經(jīng)過(guò)的方法數(shù)：種，第二步：甲從到的方法數(shù)：種，所以：甲經(jīng)過(guò)的方法數(shù)為種，故正確；對(duì)于，甲、乙兩人沿最短路徑行走，只可能在、、、處相遇，他們?cè)冢?，3，相遇的走法有種方法；甲、乙兩人相遇的概率，故正確．對(duì)于，甲由道路網(wǎng)處出發(fā)隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑到達(dá)處需走6步，共有種方法，故錯(cuò)誤；對(duì)于，由知：甲從到達(dá)處的方法有種，甲經(jīng)過(guò)的方法數(shù)為：種，同理，乙從到達(dá)處的方法有種，乙經(jīng)過(guò)的方法數(shù)也為：種，甲、乙兩人相遇經(jīng)點(diǎn)的方法數(shù)為：種，甲、乙兩人相遇經(jīng)點(diǎn)的概率，故正確；故選．8．【答案】D【詳解】如圖：

設(shè)，則，，.因?yàn)?，所?又，所以.所以，，.又.所以.所以.所以.故選D9．【答案】BC【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，5人兩兩握手，即從5人中隨便選出2人握手，即共握（次），故B正確；對(duì)于C，在5個(gè)位置中選3個(gè)位置填入h，a，y，剩下2個(gè)位置填入p，共有（種），其中正確的只有1種，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有（種），故C正確；對(duì)于D，將4人按3，1分派，共種；將4人按2，2分派，共有種，故每個(gè)學(xué)校至少派1人，共有14種分派方法，故D錯(cuò)誤．故選BC．10．【答案】ABD【詳解】當(dāng)時(shí)，P為AC的中點(diǎn)，連接，，則，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，A正確.因?yàn)樗睦庵鶠橹彼睦庵?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，則點(diǎn)P到平面的距離等于點(diǎn)A到平面的距離.設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為，由,可得,即,又設(shè)與交于點(diǎn)，連接，則，則,

，則所以所以設(shè)直線BP與平面所成的角為，，因?yàn)辄c(diǎn)P到平面的距離為定值，則,所以當(dāng)BP最小，即P為AC的中點(diǎn)時(shí)，直線BP與平面所成的角最大，此時(shí)，所以，所以B正確.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P為AC上靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作的平行線分別交于連接，由，所以，又所以等腰梯形為平面截四棱柱所得截面圖形.易知，,等腰梯形的高，所以梯形的面積為，由幾何體的對(duì)稱性可知，當(dāng)平面截直四棱柱所得截面面積為時(shí)，或，C錯(cuò)誤.由上可知，平面，所以點(diǎn)P到平面的距離恒為定值，因?yàn)榈拿娣e為定值，所以四面體的體積為定值，D正確.故選ABD.11．【答案】AB【詳解】由題意可得對(duì)一切恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，此時(shí)在上無(wú)最小值，不符合題意，當(dāng)時(shí)，令，有，令，有，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，則，令，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即，當(dāng)，滿足題意.故選AB.12．【答案】①③④【詳解】從圖中可以看出點(diǎn)較其他點(diǎn)，偏離直線遠(yuǎn)，故去掉點(diǎn)后，回歸效果更好，故決定系數(shù)會(huì)變大，更接近于1；殘差平方和變??；相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值，即會(huì)更接近于1，由圖可得與正相關(guān)，故會(huì)更接近于1，即相關(guān)系數(shù)的值變大，自變量與因變量相關(guān)性變強(qiáng)，故①，③，④錯(cuò)誤，②正確．13．【答案】【詳解】設(shè)，分別表示第一次抽到的小球的顏色分別是紅、黃、綠的事件，設(shè)表示第二次抽到的小球的顏色是紅的事件，在甲先抽取的不是紅球的條件下，甲獲得獎(jiǎng)品的概率為：.14．【答案】【詳解】a3的結(jié)果有四種，每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率都是，1．a(chǎn)1→2a1﹣12→2（2a1﹣12）﹣12＝4a1﹣36＝a3，2．a(chǎn)1→2a1﹣12→12＝a1+6＝a3，3．a(chǎn)1→12→+1218＝a3，4．a(chǎn)1→12→2（12）﹣12＝a1+12＝a3，∵a1+6＞a1，a1+12＞a1，∴要使甲獲勝的概率為，即a3＞a1的概率為，∴4a1﹣36＞a1，18≤a1，或4a1﹣36≤a1，18＞a1，解得a1≤12或a1≥24．15．【答案】（1），；（2）【詳解】（1）依題意可得；又，所以，可知，所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，將代入該方程可得預(yù)測(cè)第10天該地區(qū)門鎖的銷售數(shù)量為；（2）有放回時(shí)，隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率為；無(wú)放回時(shí)，隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率為；若，則有以下情況：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)概率為；當(dāng)時(shí)，或，此時(shí)概率為;因此可得的概率為.16．【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，性別與對(duì)活動(dòng)的喜愛(ài)程度無(wú)關(guān)；(2)①概率為；②的分布列見(jiàn)解析；數(shù)學(xué)期望.【分析】（1）計(jì)算出卡方，與2.706比較后得到結(jié)論；（2）①利用二項(xiàng)分布求概率公式求出概率；②得到的可能取值及對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列，求出數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）補(bǔ)全的列聯(lián)表如下：不喜愛(ài)喜愛(ài)合計(jì)男性3090120女性255580合計(jì)55145200根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，因此我們可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為對(duì)該場(chǎng)活動(dòng)的喜愛(ài)程度與性別無(wú)關(guān).（2）①記“戲迷甲至少正確完成其中3道題”為事件A，則．②的可能取值為，，，的分布列為；X234P數(shù)學(xué)期望.17．【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意知橢圓E的左頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，又，，解得，，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）（i）易知直線MN的方程為，即，，由的面積為，得點(diǎn)B到直線的距離為，設(shè)與直線平行且距離為的直線方程為，由，解得或．當(dāng)時(shí)，由，得，顯然，此時(shí)該直線與橢圓無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由，得，解得或當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為時(shí)，直線的斜率為2，此時(shí)直線的斜率為0，此時(shí)直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為時(shí)，直線的斜率為，則直線的斜率為，直線的方程為，即；（ii）設(shè)，，直線，與E的方程聯(lián)立，消去y得，則，則．設(shè)直線，與直線的方程聯(lián)立，可得，則，得，同理，直線的斜率也滿足該式，即，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，則，得，直線，即直線過(guò)定點(diǎn)．18．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令得或，①當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減，②當(dāng)時(shí)，或時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，③當(dāng)時(shí)，或時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，綜上可得，時(shí)在上遞減，在上遞增，時(shí)在上遞減，時(shí)在，上遞減，在上遞增，時(shí)在，上遞減，在上遞增.（2）設(shè)