湖南省長沙市南雅梅溪湖中學(xué)2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期階段性檢測 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

湖南省長沙市南雅梅溪湖中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期階段性檢測數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），是的共軛復(fù)數(shù)，則的值為（

）A．1 B． C． D．3．直線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B． C． D．2或4．已知向量，滿足，，則（

）A． B． C．2 D．15．在一次籃球比賽中，某支球隊(duì)共進(jìn)行了8場比賽，得分分別為：29，30，38，25，37，40，42，32，那么這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（

）A．37.5 B．38 C．39 D．406．已知甲盒中有3個(gè)大小和質(zhì)地相同的小球，標(biāo)號(hào)為，乙盒中有3個(gè)大小和質(zhì)地相同的小球，標(biāo)號(hào)為，現(xiàn)從甲?乙兩盒中分別隨機(jī)摸出1個(gè)小球，記事件“摸到的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)相同”，事件“摸到的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和為奇數(shù)”，則（

）A．事件A和相等 B．事件A和互相對(duì)立C．事件A和相互獨(dú)立 D．事件A和互斥7．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在正方體的體對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，異面直線與所成角的取值范圍是A． B． C． D．8．已知點(diǎn)在橢圓上，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，且的面積為1，則的最小值為（

）A．2 B． C．2 D．4二、多選題（本大題共3小題）9．已知是直線的一個(gè)方向向量，是直線的一個(gè)方向向量，則下列說法不正確的是（

）A． B．C． D．直線，夾角的余弦值為10．下列說法正確的是（

）A．若，則B．若a>b>c，則C．“”是無理數(shù)是“a是無理數(shù)”的充要條件D．在中，“為直角三角形”的充要條件是“”11．下列各組函數(shù)中，是相同函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線與曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．13．已知點(diǎn)，若的夾角為銳角，則的取值范圍為．14．已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則三角形的面積為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線.（1）求證：直線過定點(diǎn)；（2）若直線不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積最小，求的方程.16．已知函數(shù)最小值為，周期為.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.17．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，．

(1)求與所成角的大??；(2)求與平而所成角的正弦值．18．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．(1)求角；(2)若，且，求的面積．19．杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)，是亞洲最高規(guī)格的國際綜合性體育賽事，本屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州舉辦，某款亞運(yùn)會(huì)周邊產(chǎn)品深受大家喜愛，供不應(yīng)求，某工廠日夜加班生產(chǎn)該款產(chǎn)品，生產(chǎn)該款產(chǎn)品的固定成本為4萬元，每生產(chǎn)萬件，需另投入成本萬元．當(dāng)產(chǎn)量不足6萬件時(shí)，；當(dāng)產(chǎn)量不小于6萬件時(shí)，，若該款產(chǎn)品的售價(jià)為6元/件，通過市場分析，該工廠生產(chǎn)的該款產(chǎn)品可以全部銷售完．(1)求該款產(chǎn)品銷售利潤（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，該工廠在生產(chǎn)中所獲得利潤最大？

參考答案1．【答案】C【詳解】由，得，解得，所以.所以.故選C.2．【答案】B【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以，.故選B.3．【答案】C【詳解】當(dāng)直線與直線不相交時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，直線與直線重合，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，直線，即與直線平行，所以實(shí)數(shù)的值為.故選C4．【答案】C【詳解】因?yàn)橄蛄?，滿足，所以，，又因?yàn)?，故，所?故選C.5．【答案】C【分析】由百分位數(shù)的概念求解．【詳解】數(shù)據(jù)按從小到大排序?yàn)?，而，故?5百分位數(shù)為.故選C.6．【答案】D【詳解】用每次取球的結(jié)果，分別表示甲?乙兩盒中分別隨機(jī)摸出1個(gè)小球的標(biāo)號(hào)，由題意可知：樣本空間；事件；事件，；對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以事件A和不相等，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)BD：因?yàn)槭录?，所以事件A和互斥，事件A和不互相對(duì)立，故B錯(cuò)誤，D正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，則，顯然，所以事件A和不相互獨(dú)立，故C錯(cuò)誤；故選D.7．【答案】B【詳解】以為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出BP與AD1所成角的取值范圍．【詳解】以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，，，故，對(duì)于函數(shù)，有：，，故，又，故.故選.8．【答案】B【詳解】如圖所示：不妨設(shè)，，（，），，則可知，，兩式相除可得，所以，又，所以，可得（，），由橢圓的定義，得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以．故選B．9．【答案】ABC【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的位置關(guān)系，及夾角公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄渴侵本€的一個(gè)方向向量，是直線的一個(gè)方向向量，由，所以A不正確；設(shè)，可得，此時(shí)，此時(shí)方程組無解，所以B不正確；由，所以與不垂直，所以C不正確；由，可得，所以D正確.故選：ABC．10．【答案】BC【詳解】對(duì)于，當(dāng)時(shí)，滿足，但，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)椋?，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，充分性：若是無理數(shù)，則是無理數(shù)，充分性成立；必要性：若是無理數(shù)，則是無理數(shù)，必要性成立.故“是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”的充要條件，故C正確；對(duì)于，若為直角三角形，當(dāng)時(shí)，則有，故D錯(cuò)誤.故選BC.11．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，的定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系都與相同，是同一函數(shù)．對(duì)于B，與是同一函數(shù)．對(duì)于C，，解析式不同，與不是同一函數(shù)．對(duì)于D，與是同一函數(shù)．故選ABD.12．【答案】或【詳解】曲線，，即曲線表示圓的上半圓，直線變形可得，該直線過定點(diǎn)，且斜率為，如圖所示，

當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，則有，即，解得，由圖得，舍去，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，由圖形可知，當(dāng)曲線與直線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，或．13．【答案】【詳解】，，的夾角為銳角，，且不能同向共線．解得，．則的取值范圍為．14．【答案】4【詳解】因?yàn)闉樯详P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，所以四邊形為矩形，設(shè)，由橢圓的定義可得，所以，又因?yàn)?，所以，所以，則.

15．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【詳解】（1）由，即，則，解得，所以直線過定點(diǎn)；（2）如圖所示，結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線斜率不存在，方程為，不經(jīng)過第二象限，成立；當(dāng)時(shí)，直線斜率存在，方程為，又直線不經(jīng)過第二象限，則，解得；綜上所述；（3）已知直線，且由題意知，令，得，得，令，得，得，則，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)直線的方程為，即.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，所以.（2）由題意，因?yàn)椋?，于是，所以，所以函?shù)的值域?yàn)?17．【答案】(1)；(2)【詳解】（1），又底面，，底面，，，故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，所以，所以，即與所成角的大小為；（2）由（1）知，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，，所以是平面的一個(gè)法向量，設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為．

18．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理求出，再由，得；（2）由已知條件及正弦定理得，根據(jù)余弦定理得，求出，最后根據(jù)面積公式計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以由正弦定理?，又，所以，又，所以.（2）由，則，故，，所以，所以，又，整理得，則，解得，所以的面積為．19．【答案】(1)；(2)9；9.5萬元【分析】（1）根據(jù)題意可列出利潤與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式.（