福建省莆田市第八中學(xué)2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

福建省莆田市第八中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．在四面體中，（

）A． B． C． D．2．若Am4＝18Cm3A．9B．8C．7D．63．函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于時的瞬時變化率，則（

）A．1 B． C．2 D．4．的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．5．已知，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．若，，，則以下不等式正確的是（

）A． B． C． D．7．在棱長為4的正方體中，分別是棱的中點，過作平面，使得，則點到平面的距離是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．若，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．C．D．10．甲口袋中有3個紅球，2個白球和5個黑球，乙口袋中有3個紅球，3個白球和4個黑球，先從甲口袋中隨機取出一球放入乙口袋，分別以和表示由甲口袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙口袋中隨機取出一球，以表示由乙口袋取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．事件與事件相互獨立C． D．11．已知函數(shù)，則（

）A．是的極小值點B．的圖象關(guān)于點對稱C．在上單調(diào)遞減D．當(dāng)時，三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量，，若，則實數(shù)等于.13．已知，則a被10除所得的余數(shù)為.14．小明喜愛踢足球和打羽毛球．在周末的某天，他下午去踢足球的概率為．若他下午去踢足球，則晚上一定去打羽毛球；若下午不去踢足球，則晚上去打羽毛球的概率為．已知小明在某個周末晚上去打羽毛球，則下午踢足球的概率為．四、解答題（本大題共5小題）15．在的展開式中，若第3項的二項式系數(shù)為28，求：（1）展開式中所有項的二項式系數(shù)之和；（2）展開式中的有理項；（3）展開式中系數(shù)最大的項．16．甲乙丙丁戊五個同學(xué)（1）排成一排，甲乙不相鄰，共有多少種不同的排列方法？（2）排成一排，甲不在首位，乙不在末位，共有多少種不同排列方法？（3）去三個城市游覽，每人只能去一個城市，可以有城市沒人去，共有多少種不同游覽方法？（4）分配到三個城市參加活動，每個城市至少去一人，共有多少種不同分配方法？17．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，點E為棱PC的中點，．(1)證明：平面PAD；(2)在棱PC上是否存在點F，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．18．教育是阻斷貧困代際傳遞的根本之策．補齊貧困地區(qū)義務(wù)教育發(fā)展的短板，讓貧困家庭子女都能接受公平而有質(zhì)量的教育，是夯實脫貧攻堅根基之所在．治貧先治愚，扶貧先扶智．為了解決某貧困地區(qū)教師資源匱乏的問題，某市教育局?jǐn)M從5名優(yōu)秀教師中抽選人員分批次參與支教活動．支教活動共分3批次進(jìn)行，每次支教需要同時派送2名教師，且每次派送人員均從這5人中隨機抽選．已知這5名優(yōu)秀教師中，2人有支教經(jīng)驗，3人沒有支教經(jīng)驗．(1)求5名優(yōu)秀教師中的“甲”，在第一批次支教活動中就被抽選到的概率；(2)求第一次抽取到無支教經(jīng)驗的教師人數(shù)的分布列；(3)求第二次抽選時，選到?jīng)]有支教經(jīng)驗的教師的人數(shù)最有可能是幾人？請說明理由．19．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的圖象在（為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線方程；（2）若對任意的，均有，則稱為在區(qū)間上的下界函數(shù)，為在區(qū)間上的上界函數(shù).①若，求證：為在上的上界函數(shù)；②若，為在上的下界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案1．【答案】B【詳解】根據(jù)向量的加法、減法法則，得，故選B.2．【答案】D【詳解】由Am4＝m(m－1)(m－2)(m－3)＝18·mm-1m-23×2×1，且m≥4，m∈3．【答案】A【詳解】易知平均變化率為，可得，瞬時變化率為，因此，解得.故選A4．【答案】B【詳解】二項展開式的通項為，要得到項，有兩類方法：第一類：當(dāng)中取項時，則需展開式中的項與之相乘，由得，，即，則系數(shù)為；第二類：當(dāng)中取項時，則需展開式中的項與之相乘，由得，，即，則項的系數(shù)為；綜上可知，展開式中的系數(shù)為.故選B.5．【答案】A【詳解】由題意可知：，∴，又∵時，即時，共線，∴，∴.故選A6．【答案】D【詳解】因為，令，定義域為，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因為，所以，又，所以，所以，即.故選D.7．【答案】D【詳解】如圖，以原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，∴，，設(shè)平面的一個法向量為，∵，，∴，，即，令則，即為平面的一個法向量，∴點到平面的距離.故選D8．【答案】B【詳解】令，得，設(shè)，，則，易知當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，．當(dāng)時，，易得的圖象在處的切線方程為，作出與的大致圖象如圖1所示，可知與的圖象有且僅有一個交點，即只有一個零點，不符合題意；當(dāng)時，作出與的大致圖象如圖2所示，可知與的圖象沒有交點，即沒有零點，不符合題意；當(dāng)時，作出與的大致圖象如圖3所示，可知與的圖象有兩個交點，即有兩個零點，符合題意．綜上，實數(shù)的取值范圍為，故選B．（另解：令，得．令，，通過研究，的圖象的交點情況求解）9．【答案】AC【詳解】令，則，故A正確，令可得，故，故B錯誤，令可得，故，故C正確，令可得，，故D錯誤，故選AC10．【答案】ACD【詳解】由題意得可知，，是兩兩互斥的事件，，，，，故A正確；，，故事件與事件B不獨立，故B錯誤，D正確；，故C正確；故選ACD.11．【答案】BD【詳解】函數(shù)，，令，解得或，故當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極大值點，是的極小值點，故A錯誤，C錯誤；對B．，則的圖象關(guān)于點對稱，故B正確；對D．當(dāng)時，，而在上單調(diào)遞增，故，故D正確．故選BD12．【答案】【詳解】由題意，∵，∴，．13．【答案】1【詳解】，，所以被10除所得的余數(shù)為1.14．【答案】/0.9【詳解】設(shè)小明周末晚間去打羽毛球為事件，下午去踢足球為事件，則，，依題意，.15．【答案】（1）；（2）；（3）.【詳解】（1）依題意，，而，解得，所以展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為.（2）二項式展開式通項為，當(dāng)為整數(shù)時，為有理項，則，因此當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以展開式中的有理項為．（3）設(shè)第項的系數(shù)最大，則，即，整理得，解得，由，得或，所以展開式中系數(shù)最大的項為．16．【答案】（1）72；（2）78；（3）243；（4）150.【詳解】（1）排成一排，甲乙不相鄰，先將丙丁戊排成一列有種方法，再將甲乙插空隙中，有種方法，所以共有不同排法數(shù)為（種）.（2）排成一排，無限制條件的排列有，甲不在首位，乙不在末位的反面是甲在首位或乙在末位，共有，則甲不在首位，乙不在末位的不同排法有（種）.（3）去三個城市游覽，每人只能去一個城市，可以有城市沒人去，因此每個人都有種選擇，所以不同游覽方法有（種）.（4）分配到三個城市參加活動，每個城市至少去一人，則先把5人按分組，有種分組方法，按分組，有種分組方法，因此不同分組方法數(shù)為，再把每一種分組安排到三個城市，有種方法，所以不同分配方法種數(shù)是.17．【答案】(1)證明見詳解；(2)存在，.【詳解】（1）在PD上找中點G，連接AG，EG，如圖，∵G和E分別為PD和PC的中點，∴，且，又∵底面ABCD是直角梯形，，，∴且，即四邊形ABEG為平行四邊形，∴，∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD；（2）∵平面，平面，∴，又，以A為原點，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，，，，，由F為棱PC上一點，設(shè)，，，設(shè)平面FAD的法向量為，由可得解得，令，則，則，取平面ADC的法向量為，則二面角的平面角滿足，則，解得或（舍去），故存在滿足條件的點F，此時．18．【答案】(1)(2)分布列見解析(3)1，理由見解析【分析】（1）由古典概率公式求解即可；（2）求出的可能取值及其對應(yīng)的概率，即可求出的分布列；（3）設(shè)表示第二次抽取到的無支教經(jīng)驗的教師人數(shù)，求出的可能取值及其對應(yīng)的概率，即可得出答案.【詳解】（1）5名優(yōu)秀教師中的“甲”在第一批次支教活動中就被抽選到的概率：．（2）表示第一次抽取到的無支教經(jīng)驗的教師人數(shù)，的可能取值有0，1，2．；；．所以分布列為：0120.10.60.3（3）設(shè)表示第二次抽取到的無支教經(jīng)驗的教師人數(shù)，可能的取值有，則有：因為，故第二次抽取到的無支教經(jīng)驗的教師人數(shù)最有可能是1人．19．【答案】（1）；（2）①證明見解析；②.【詳解】（1）因為，所以，所以函數(shù)的圖象在處的切線斜率.又因為，所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為；（2）①由題意得函數(shù)