3.1 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 課件-2025屆高三數(shù)學(xué)三輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)

3.1導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算命題形式本專題知識(shí)內(nèi)容豐富,題目難度跨度較大,出題形式常常是一大一小.重點(diǎn)考查內(nèi)容有:

①利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程;②利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最

值問題;③利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題、不等式證明問題;④利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零

點(diǎn)問題.在復(fù)習(xí)備考中要注重練習(xí)含參問題的討論、恒成立問題的轉(zhuǎn)化以及有關(guān)不等

式證明問題的處理方法.重視數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程思想的

應(yīng)用.考點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義1.導(dǎo)數(shù)的概念一般地,函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率是

=

,稱為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),記作f'(x0)或y'

,即f'(x0)=

=

.注意

f'(x)與f'(x0)的區(qū)別與聯(lián)系:f'(x)是一個(gè)函數(shù),f'(x0)是函數(shù)f'(x)在x0處的函數(shù)值(常

數(shù)),所以[f'(x0)]'=0.2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在x=x0處導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處切線的斜率.相應(yīng)地,切線

方程為y-y0=f'(x0)(x-x0).函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢,|f'(x)|的大小反映了f(x)圖象變化

的快慢,|f'(x)|越大,曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”.考點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))f'(x)=0f(x)=xα(α∈Q且α≠0)f'(x)=αxα-1f(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=-sinxf(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=axlnaf(x)=exf'(x)=exf(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)=

f(x)=lnxf'(x)=

2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);

'=

(g(x)≠0);[cf(x)]'=cf'(x).考點(diǎn)3復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般地,由函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y=f(g(x)),它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y'x=y'u·u'x.即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.知識(shí)拓展

'=

,(

)'=

.即練即清1.判斷正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“?”)(1)設(shè)f(x)為R上的可導(dǎo)函數(shù),且f'(1)=1,則

=2.

(

)(2)函數(shù)y=2sin(1-3x)的導(dǎo)函數(shù)為y'=6cos(1-3x).

(

)2.已知函數(shù)f(x)=alnx+x2的圖象在x=1處的切線方程為3x-y+b=0,則a+b=

(

)A.-2

B.-1

C.0

D.13.若f(x)=x3ex,則f'(x)=

.4.若g(x)=x3,則g'(3)=

.××B3x2ex+x3ex27題型一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算典例1

(2020課標(biāo)Ⅲ文,15,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=

.若f

'(1)=

,則a=

.1解析

f'(x)=

=

,則f'(1)=

=

,解得a=1.變式訓(xùn)練1-1

(情境模型變式)(2025屆福建泉州階段練)已知函數(shù)f(x)=ex+2f

′(0)x+1,則f

′(2)的值為

.e2-2解析

由題意知f'(x)=ex+2f'(0),所以f'(0)=1+2f'(0),所以f'(0)=-1,所以f'(x)=ex-2,所以f'(2)=e2-2.變式訓(xùn)練1-2

(設(shè)問條件變式)若定義域都為R的函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f

′(x),滿足對(duì)任意

實(shí)數(shù)x都有f(x)-f(2025-x)=2x-2025,則

f'(k)=

.2024解析

對(duì)f(x)-f(2025-x)=2x-2025兩邊同時(shí)求導(dǎo)得f'(x)-f'(2025-x)(2025-x)'=2,即f'(x)+f'(2025-

x)=2(不要忘記對(duì)內(nèi)層函數(shù)求導(dǎo)),則f'(1)+f'(2024)=2,f'(2)+f'(2023)=2,……,f'(1012)+f'(1013)=2,從而

f'(k)=2×1012=2024.題型二曲線的切線問題解決切線問題應(yīng)注意以下三點(diǎn):1.切點(diǎn)在切線上,即切點(diǎn)坐標(biāo)可代入切線方程建立等式關(guān)系;2.切點(diǎn)在曲線上,即切點(diǎn)坐標(biāo)可代入曲線方程建立等式關(guān)系;3.在切點(diǎn)橫坐標(biāo)處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率.角度1在某點(diǎn)處的切線問題典例2

(2023全國甲文,8,5分)曲線y=

在點(diǎn)

處的切線方程為

(

)A.y=

x

B.y=

xC.y=

x+

D.y=

x+

C解析

由y=

,可得y'=

=

,則y'|x=1=

,∴曲線在點(diǎn)

處的切線方程為y-

=

(x-1),即y=

x+

,故選C.提示在某點(diǎn)處的切線,則該點(diǎn)一定為切點(diǎn),該點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值必為切線斜率.變式訓(xùn)練2-1

(關(guān)鍵元素變式)已知曲線y=aex+xlnx在點(diǎn)(1,ae)處的切線方程為y=2x+b,

則(

)A.a=e,b=-1

B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1

D.a=e-1,b=-1D解析

∵y'=aex+lnx+1,∴y'|x=1=ae+1,∴2=ae+1,∴ae=1.∴a=e-1,切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),將(1,1)代入y=2x+b,得1=2+b,∴b=-1,故選D.角度2過某點(diǎn)的切線問題典例3過點(diǎn)(0,m)可作曲線f(x)=ex-x的斜率為1的切線,則實(shí)數(shù)m=

.2-2ln2解析

由已知可得切點(diǎn)未知,故設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),由f(x)=ex-x得f'(x)=ex-1,則有f'(x0)=

-1=1,解得x0=ln2,故y0=f(ln2)=eln2-ln2=2-ln2,故切點(diǎn)坐標(biāo)為(ln2,2-ln2)且切線斜率為1,故切線方程為y-(2

-ln2)=x-ln2,由已知可知點(diǎn)(0,m)在切線上,則m=2-2ln2.提示

過某點(diǎn)的切線問題,該點(diǎn)不一定為切點(diǎn),需要先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),再建立方程求解.變式訓(xùn)練2-2

(結(jié)論拓展變式)(2025屆湖北省實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考,13)已知直線y=kx+b與函

數(shù)f(x)=

x2+lnx的圖象相切,則k-b的最小值為

.解析

設(shè)切點(diǎn)為P

,由f'(x)=x+

,得斜率k=x0+

,則切線方程為y-

=

(x-x0),即y=

x-

+lnx0-1,故

故k-b=

+x0+

-lnx0+1,令g(x)=

x2+x+

-lnx+1(x>0),則g'(x)=x+1-

-

=

,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,所以g(x)min=g(1)=

,即k-b的最小值為

.提示

本題雖未出現(xiàn)“在”和“過”兩個(gè)關(guān)鍵詞,但仍然可以歸類為切點(diǎn)未知型切線

問題,故先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo),再建立方程組求解.角度3公切線問題典例4若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線,也是曲線y=ln(x+1)的切線,則b=

.1-ln2解析

設(shè)直線y=kx+b與曲線y=lnx+2和y=ln(x+1)的切點(diǎn)分別為(x1,lnx1+2)和(x2,ln(x2+1)).由y=lnx+2得y'=

,由y=ln(x+1)得y'=

,∴k=

=

,則切線分別為y-lnx1-2=

(x-x1),y-ln(x2+1)=

(x-x2),化簡得y=

·x+lnx1+1,y=

x+ln(x2+1)-

,依題意

(利用兩條切線重合,建立等式關(guān)系)解得x1=

,從而b=lnx1+1=1-ln2.注意

公切線問題通常需要設(shè)出兩個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo),得到兩條切線方程,再通過兩條直線

重合建立關(guān)系式,得到相應(yīng)結(jié)果.變式訓(xùn)練2-3

(設(shè)問條件變式)(2024廣東茂名一模,7)曲線y=lnx與曲線y=x2+2ax有公切

線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(

)A.

B.

C.

D.

B解析

對(duì)兩個(gè)函數(shù)分別求導(dǎo)得y'=

,y'=2x+2a,設(shè)公切線與曲線y=lnx,y=x2+2ax相切的切點(diǎn)分別為(x1,lnx1),(x2,

+2ax2),則在這兩點(diǎn)處的切線方程分別為y=

+lnx1-1,y=(2x2+2a)x-

,則

(利用切線重合,建立等式關(guān)系)所以2a=