期中典例專練10：比例應(yīng)用題綜合“Pro版”-2023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列（解析版）北師大版

2023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列期中典例專練10：比例應(yīng)用題綜合“Pro版”1．在一幅比例尺為1∶3000000的地圖上，量得甲乙兩地之間的公路長(zhǎng)是21厘米，一輛貨車和一輛客車同時(shí)從甲乙兩地相對(duì)出發(fā)，5小時(shí)后相遇。已知貨車和客車的速度比是3∶4，貨車和客車每小時(shí)各行多少千米？【答案】貨車54千米；客車72千米【分析】已知比例尺和甲乙兩地間的圖上距離，根據(jù)“實(shí)際距離＝圖上距離÷比例尺”，求出甲乙兩地的實(shí)際距離，再根據(jù)“1千米＝100000厘米”換算單位；已知客車和貨車同時(shí)從甲乙兩地相對(duì)開出，5小時(shí)后相遇，根據(jù)“速度和＝路程÷相遇時(shí)間”，求出兩車的速度和；又已知客車和貨車的速度比是3∶4，即貨車的速度占兩車速度和的，客車的速度占兩車速度和的，用兩車的速度和分別乘和，即可求出貨車、客車的速度?！驹斀狻?1÷＝21×3000000＝63000000（厘米）63000000＝630千米630÷5＝126（千米）貨車：126×＝126×＝54（千米/小時(shí)）客車：126×＝126×＝72（千米/小時(shí)）答：貨車每小時(shí)行駛54千米，客車每小時(shí)行駛72千米?！军c(diǎn)睛】2．一輛貨車2小時(shí)可以行駛90千米。按照這樣的速度，從甲地到乙地共行駛了5小時(shí)，甲，乙兩地之間的公路長(zhǎng)多少千米？（用比例解答）【答案】225千米【分析】設(shè)甲，乙兩地之間的公路長(zhǎng)x千米，根據(jù)路程÷時(shí)間＝速度（一定），列出正比例算式解答即可。【詳解】解：設(shè)甲，乙兩地之間的公路長(zhǎng)x千米。x÷5＝90÷2x÷5＝45x÷5×5＝45×5x＝225答：甲，乙兩地之間的公路長(zhǎng)225千米?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是理解正比例的意義，商一定是正比例關(guān)系。3．用正方形瓷磚鋪一間教室的地面，如果用邊長(zhǎng)為4分米的正方形瓷磚需要400塊，如果改用邊長(zhǎng)為5分米的正方形瓷磚，需要多少塊？（用比例解決）【答案】256塊【分析】每塊磚的面積×磚的塊數(shù)＝教室的地面面積（一定），所以每塊磚的面積與磚的塊數(shù)成反比例。設(shè)如果改用邊長(zhǎng)為5分米的正方形瓷磚，需要x塊。邊長(zhǎng)為4分米的正方形瓷磚的面積×400＝邊長(zhǎng)為5分米的正方形瓷磚的面積×x。據(jù)此列出方程并解方程即可?！驹斀狻拷猓涸O(shè)需要邊長(zhǎng)為5分米的正方形瓷磚x塊。5×5×x＝4×4×40025x＝6400x＝6400÷25x＝256答：需要256塊?！军c(diǎn)睛】用比例知識(shí)解決問題關(guān)鍵是找到不變的量，只要兩種相關(guān)聯(lián)的量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值一定，就可以用正比例知識(shí)解答；只要兩種相關(guān)聯(lián)的量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的乘積一定，就可以用反比例知識(shí)解答。4．生產(chǎn)一批零件，計(jì)劃每天生產(chǎn)60個(gè)，20天完成。實(shí)際每天超產(chǎn)20個(gè)，可以提前幾天完成任務(wù)？（用方程解）【答案】5天【分析】由題意可知，這批零件的總數(shù)量不變，每天生產(chǎn)零件的數(shù)量和需要的天數(shù)成反比例，實(shí)際每天生產(chǎn)零件的數(shù)量×（計(jì)劃需要的天數(shù)－提前完成任務(wù)的天數(shù)）＝計(jì)劃每天生產(chǎn)零件的數(shù)量×計(jì)劃需要的天數(shù)，據(jù)此解答?！驹斀狻拷猓涸O(shè)可以提前x天完成任務(wù)。（60＋20）×（20－x）＝60×2080×（20－x）＝60×2020－x＝60×20÷8020－x＝1200÷8020－x＝15x＝20－15x＝5答：可以提前5天完成任務(wù)?！军c(diǎn)睛】本題主要考查反比例的應(yīng)用，理解相關(guān)聯(lián)的兩種量成反比例關(guān)系是解答題目的關(guān)鍵。5．在一幅比例尺是1∶500的平而圖上，量得一塊三角形菜地的底是12厘米，高是8厘米，這塊三角形菜地的實(shí)際的面積是多少平方米？【答案】1200平方米【分析】根據(jù)實(shí)際距離＝圖上距離÷比例尺，據(jù)此求出三角形的實(shí)際的底和高的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形的面積公式：S＝ah÷2，據(jù)此計(jì)算即可?！驹斀狻?2÷＝12×500＝6000（厘米）＝60（米）8÷＝8×500＝4000（厘米）＝40（米）60×40÷2＝2400÷2＝1200（平方米）答：這塊三角形菜地的實(shí)際的面積是1200平方米?！军c(diǎn)睛】本題考查圖上距離和實(shí)際距離的換算，結(jié)合三角形的面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵。6．鋪設(shè)一條煤氣管道。計(jì)劃每天鋪設(shè)120米，用12天完成任務(wù)。由于居民著急使用，上級(jí)要求每天多鋪20%，這樣可以提前幾天完成？（用比例的知識(shí)解）【答案】2天【分析】把計(jì)劃每天鋪設(shè)的長(zhǎng)度（120米）看作單位“1”，則實(shí)際每天鋪設(shè)120×（1＋20%）米，設(shè)這樣可以提前x天完成，實(shí)際用了（12－x）天完成。工作效率×工作時(shí)間＝工作總量（一定），工作效率與工作時(shí)間成反比例。即計(jì)劃每天鋪的米數(shù)×計(jì)劃的天數(shù)＝實(shí)際每天鋪的米數(shù)×實(shí)際的天數(shù)，據(jù)此可列比例“120×12＝120×（1＋20%）×（12－x）”解答?！驹斀狻拷猓涸O(shè)提前x天完成任務(wù)。120×12＝120×（1＋20%）×（12－x）1440＝120×1.2×（12－x）1440＝144×（12－x）1440÷144＝144×（12－x）÷14410＝12－x10＋x＝12－x＋x10＋x＝1210＋x－10＝12－10x＝2答：這樣可以提前2天完成?！军c(diǎn)睛】用比例知識(shí)解決問題關(guān)鍵是找到不變的量，只要兩種相關(guān)聯(lián)的量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值一定，就可以用正比例知識(shí)解答；只要兩種相關(guān)聯(lián)的量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的乘積一定，就可以用反比例知識(shí)解答。7．在一幅比例尺為的地圖上，量得甲乙兩地之間的公路長(zhǎng)8厘米。一輛汽車和一輛貨車從兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，汽車以每小時(shí)65千米的速度行駛，2小時(shí)后在超過中點(diǎn)10千米的地方相遇。貨車每小時(shí)行多少千米？【答案】55千米【分析】根據(jù)“實(shí)際距離＝圖上距離÷比例尺”求出甲乙兩地之間的實(shí)際距離，再利用“速度和＝總路程÷相遇時(shí)間”求出汽車和貨車的速度和，最后用減法求出貨車速度，據(jù)此解答?！驹斀狻?÷＝8×3000000＝24000000（厘米）24000000厘米＝240千米240÷2－65＝120－65＝55（千米）答：貨車每小時(shí)行55千米?！军c(diǎn)睛】掌握?qǐng)D上距離和實(shí)際距離換算的方法是解答題目的關(guān)鍵。8．深中通道，又稱“深中大橋”，是連接深圳市和中山市以及廣州市南沙區(qū)的建設(shè)中大橋，計(jì)劃2024年6月建成通車。該橋全程24千米，其中有6.8千米長(zhǎng)的沉管隧道。如果一輛汽車通過沉管隧道用時(shí)5分鐘，按照這個(gè)速度，通過全程預(yù)計(jì)需要多少分鐘？（用比例解答，得數(shù)保留整數(shù)）【答案】18分鐘【分析】速度＝路程÷時(shí)間，所以速度一定時(shí)，路程和時(shí)間成正比例關(guān)系。據(jù)此列方程解答即可。【詳解】解：設(shè)按照這個(gè)速度，通過全程預(yù)計(jì)需要x分鐘，根據(jù)題意列方程：6.8∶5＝24∶x6.8x＝24×56.8x＝120x≈18答：照這個(gè)速度，通過全程預(yù)計(jì)需要18分鐘.【點(diǎn)睛】考查行程問題以及正比例的實(shí)際應(yīng)用，注意保留整數(shù)要計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后第一位，然后根據(jù)“四舍五入”法寫出答案。9．一個(gè)水池某天6：00起開始放水，每2小時(shí)水位下降情況如下表。時(shí)間8：0010：0012：0014：00…與6：00相比水位下降/cm14284256…（1）觀察上表數(shù)據(jù)，水位下降的高度與放水的時(shí)間成（

）比例關(guān)系。（2）照這樣的速度，要使水位下降126厘米，一共要放水多少小時(shí)？（用比例解）【答案】（1）正（2）18小時(shí)【分析】（1）兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值一定（也就是商一定），這兩種量成正比例關(guān)系。（2）根據(jù)題意可知，水位下降的高度∶放水的時(shí)間＝每小時(shí)水位下降的高度（一定），比值一定，則水位下降的高度與放水的時(shí)間成正比例關(guān)系，據(jù)此列出正比例方程，并求解?！驹斀狻浚?）＝＝＝＝…＝7（一定）比值一定，則水位下降的高度與放水的時(shí)間成正比例關(guān)系。（2）解：設(shè)一共要放水小時(shí)。＝14＝126×214＝252＝252÷14＝18答：一共要放水18小時(shí)。【點(diǎn)睛】先確定水位下降的速度不變，得出水位下降的高度與放水的時(shí)間成正比例關(guān)系，列出相應(yīng)的比例方程。10．一個(gè)服裝店的所有服裝都打六折，張伯伯有一筆錢，如果買現(xiàn)價(jià)90元一件的襯衫，正好買4件。如果想買原價(jià)200元一件的夾克衫，能買多少件？（用比例知識(shí)解答）【答案】3件【分析】六折表示原價(jià)的60%，也就是把原價(jià)看作單位“1”，根據(jù)單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià)，已知總價(jià)一定，單價(jià)和數(shù)量成反比例，所以一件襯衫的現(xiàn)價(jià)×襯衫的數(shù)量＝一件夾克衫的原價(jià)×60%×夾克衫的數(shù)量，設(shè)如果想買原價(jià)200元一件的夾克衫，能買x件，列方程為200×60%x＝90×4，然后解出方程即可?！驹斀狻拷猓涸O(shè)如果想買原價(jià)200元一件的夾克衫，能買x件。200×60%x＝90×4120x＝360x＝360÷120x＝3答：如果想買原價(jià)200元一件的夾克衫，能買3件。【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例的應(yīng)用以及折扣的應(yīng)用，要注意幾折表示百分之幾十。11．趙麗讀一本書，如果平均每天讀25頁，那么8天可以讀完；如果趙麗想10天讀完，那么平均每天讀多少頁？（用比例解）【答案】20頁【分析】由題意可知，這本書的頁數(shù)是一定的，則平均每天讀的頁數(shù)與天數(shù)成反比例，據(jù)此列比例解答即可?！驹斀狻拷猓涸O(shè)平均每天讀x頁。10x＝25×810x＝20010x÷10＝200÷10x＝20答：那么平均每天讀20頁。【點(diǎn)睛】本題考查用比例解決實(shí)際問題，明確平均每天讀的頁數(shù)與天數(shù)成反比例是解題的關(guān)鍵。12．加工一批零件，計(jì)劃每天加工180個(gè)，12天完成。實(shí)際每天加工216個(gè)，多少天可以完成？（用比例解）【答案】10天【分析】設(shè)x天可以完成，根據(jù)每天加工個(gè)數(shù)×對(duì)應(yīng)天數(shù)＝零件總個(gè)數(shù)，列出反比例算式解答即可?！驹斀狻拷猓涸O(shè)x天可以完成。216x＝180×12216x＝2160216x÷216＝2160÷216x＝10答：10天可以完成。【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是理解反比例的意義，積一定是反比例關(guān)系。13．東門有一批蘋果要裝箱，計(jì)劃每箱裝45個(gè)，可以裝100箱，如果每箱多裝5個(gè)，那么這批蘋果可以裝多少箱？（用比例解答）【答案】90箱【分析】由題意可知：這批蘋果的總數(shù)量是一定的，即每箱裝蘋果的個(gè)數(shù)與裝箱的數(shù)量的乘積是一定的，則每箱裝蘋果的個(gè)數(shù)與裝箱的數(shù)量成反比例，據(jù)此即可列比例求解?！驹斀狻拷猓涸O(shè)這批蘋果可以裝x箱，45×100＝（45＋5）×x4500＝50x50x＝4500x＝4500÷50x＝90答：這批蘋果可以裝90箱?！军c(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是弄清楚哪兩種量成何比例，進(jìn)而列比例求解。14．張方和李紅積極參加社區(qū)舉行的全民健身活動(dòng)。張方計(jì)劃每天跳繩600下，連續(xù)跳繩30天；李紅計(jì)劃連續(xù)跳繩40天。如果張方和李紅計(jì)劃跳繩的總下數(shù)相同，則李紅平均每天跳繩多少下？（用比例知識(shí)列解方程解答）【答案】450下【分析】根據(jù)題意可知，每天跳的下數(shù)×天數(shù)＝總下數(shù)，總下數(shù)一定，則每天跳的下數(shù)和天數(shù)成反比例，據(jù)此設(shè)李紅平均每天跳繩x下，列方程為40x＝600×30，然后解出方程即可?！驹斀狻拷猓涸O(shè)李紅平均每天跳繩x下。40x＝600×3040x＝18000x＝18000÷40x＝450答：李紅平均每天跳繩450下?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了用比例解決問題，判斷相關(guān)的量是反比例還是正比例，是解答本題的關(guān)鍵。15．六年級(jí)學(xué)生參加消防知識(shí)大賽，參加的男、女生人數(shù)之比是。獲獎(jiǎng)的共110人，其中男、女生人數(shù)比為，未獲獎(jiǎng)的學(xué)生中，男、女生人數(shù)比是。參加這次消防知識(shí)大賽的六年級(jí)學(xué)生共多少人？【答案】180人【分析】根據(jù)比的意義，獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)÷總份數(shù)，求出一份數(shù)，一份數(shù)分別乘男、女生的對(duì)應(yīng)份數(shù)，求出男生和女生的獲獎(jiǎng)人數(shù)。參加的男、女生人數(shù)之比是，設(shè)參加這次消防知識(shí)大賽的男生有5x人，女生有4x人，根據(jù)（男生人數(shù)－男生獲獎(jiǎng)人數(shù)）∶（女生人數(shù)－女生獲獎(jiǎng)人數(shù)）＝4∶3，列出比例求出x的值，再根據(jù)5x＋4x＝六年級(jí)參賽人數(shù)，列式解答即可?！驹斀狻?10÷（6＋5）＝110÷11＝10（人）10×6＝60（人）10×5＝50（人）解：設(shè)參加這次消防知識(shí)大賽的男生有5x人，女生有4x人。（5x－60）∶（4x－50）＝4∶3（4x－50）×4＝（5x－60）×316x－200＝15x－18016x－200－15x＋200＝15x－180－15x＋200x＝2020×5＋20×4＝100＋80＝180（人）答：參加這次消防知識(shí)大賽的六年級(jí)學(xué)生共180人?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是理解比的意義，用比例解決問題只要比例兩邊的比統(tǒng)一即可。16．小學(xué)門口有一個(gè)圓柱形景觀水池（如圖1），學(xué)校決定在景觀水池中央修建一座銅像。（1）如果把蓄水池（如圖2）中的水全部引到景觀水池中，正好注滿。景觀水池的高度是多少米？（用比例知識(shí)解答）（2）工人叔叔在景觀水地中央修建了一塊水泥底座后（如圖3），再在底座上面放一座銅像?，F(xiàn)在將蓄水池中的水引入景觀水池，至少需要引入多少立方米的水才能把景觀水池注滿？【答案】（1）0.4米（2）19.082立方米【分析】（1）根據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，體積一定，高和半徑的平方成反比，兩容器的高度比等于半徑平方的比，據(jù)此列比例即可；（2）由題意可知，用景觀水池的體積減去水泥底座的體積就是需要引入水的體積，根據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，長(zhǎng)方體的體積公式：V＝abh，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可?！驹斀狻浚?）解：設(shè)水池的高度為x米。x∶1.6＝（3÷2）2∶（6÷2）2x∶1.6＝2.25∶99x＝1.6×2.259x＝1.6×2.259x＝3.69x÷9＝3.6÷9x＝0.4答：景觀水池的高度是0.4米。（2）6÷2＝3（米）3.14×32×0.7－1×1×0.7＝3.14×9×0.7－1×0.7＝28.26×0.7－0.7＝19.782－0.7＝19.082（立方米）答：至少需要引入19.082立方米的水才能把景觀水池注滿?！军c(diǎn)睛】本題考查圓柱和長(zhǎng)方體的體積，熟記公式是解題的關(guān)鍵。17．量一量，填一填，畫一畫。

（1）蘋蘋的新家到學(xué)校的實(shí)際距離是10千米，量出兩地的圖上距離為2厘米。這幅圖的比例尺是（

）。（2）超市位于學(xué)校正西方向10千米處；文化宮位于超市正北方向15千米處；公園位于文化宮正東方向5千米處。請(qǐng)根據(jù)比例尺，在圖中畫出以上位置的平面圖?！敬鸢浮浚?）1∶500000；（2）見詳解【分析】（1）根據(jù)比例尺的意義可知，比例尺＝圖上距離÷實(shí)際距離，統(tǒng)一單位后，把數(shù)據(jù)代入即可求出這幅圖的比例尺。（2）根據(jù)圖上距離＝實(shí)際距離×比例尺，代入數(shù)據(jù)分別求出超市與學(xué)校、文化宮與超市、公園與文化宮之間的圖上距離，再根據(jù)地圖上的方向“上北下南，左西右東”，分別以學(xué)校、超市、文化宮為觀測(cè)點(diǎn)，根據(jù)方向、距離確定超市、文化宮、公園的位置，并在圖中畫出以上位置?！驹斀狻浚?）2厘米∶10千米＝2厘米∶1000000厘米＝2∶1000000＝1∶500000即這幅圖的比例尺是1∶500000。（2）10千米＝1000000厘米15千米＝1500000厘米5千米＝500000厘米1000000×＝2（厘米）1500000×＝3（厘米）500000×＝1（厘米）如圖：

【點(diǎn)睛】此題主要考查比例尺的意義、圖上距離和實(shí)際距離之間的換算以及根據(jù)方向、距離確定物體的位置。18．（1）圖形①頂點(diǎn)D的位置用數(shù)對(duì)表示是（

），畫出圖形①繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形。（2）請(qǐng)畫出按3∶1將圖形②放大后的圖形。放大后的圓與原來的圓的面積之比