高二上學(xué)期第一次月考十八大題型歸納（拔尖篇）

高二上學(xué)期第一次月考十八大題型歸納（拔尖篇）【人教A版（2019）】題型1由空間向量的線性運算求參數(shù)題型1由空間向量的線性運算求參數(shù)1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，點E為上底面對角線A1C1的中點，若BE=AA．x=?12,y=C．x=?12,y=?【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運算即可求解.【解答過程】根據(jù)題意，得；BE==又∵∴x=?故選：A.2．（2023春·高二課時練習(xí)）設(shè)a1=2m?j+k，a2=m+3j?2k，a3=?2m+jA．1，?2，?3B．?2，1，?3C．?2，1，3D．?1，2，3【解題思路】根據(jù)條件可得(2λ+μ?2υ)m【解答過程】a4即(2λ+μ?2υ)m所以2λ+μ?2υ=3?λ+3μ+υ=2λ?2μ?3υ=故選：B.3．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是上底面A1(1)AE=x(2)AF=x(3)EF=x【解題思路】（1）由向量加法的三角形法則和四邊形法則得AE=AA（2）由向量加法的三角形法則和四邊形法則得AF=AD+（3）因為EF=AF?【解答過程】（1）解：由向量加法的三角形法則得，AE=由平行四邊形法則和向量相等得，A1所以AE=所以x=y=1（2）解：由向量加法的三角形法則得，AF=由四邊形法則和向量相等得，DF=所以AF=所以x=1,y=z=1（3）解：由（1），（2）可知，EF=1所以x=14．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖所示，已知幾何體ABCD﹣A1B1C1D1是平行六面體．（1）化簡12AA1+BC+（2）設(shè)M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面BCC1B1對角線BC1上的點，且C1N=14C1B，設(shè)MN=αAB+βAD【解題思路】（1）取AA1的中點E，在D1C1上取一點F，使得D1F＝2FC1，連接EF，再根據(jù)向量的線性運算計算即可；（2）通過AB，AD，AA1表示MN，根據(jù)對應(yīng)關(guān)系求出α，β，【解答過程】解（1）取AA1的中點E，在D1C1上取一點F，使得D1F＝2FC1，連接EF，則12（2）MN=12（DA+AB）=1所以α=12，β=1題型2題型2向量共線、共面的判定及應(yīng)用1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）下列條件能使點M與點A,B,C一定共面的是（

）A．OMB．OMC．OMD．OM【解題思路】根據(jù)空間共面向量定理以及其結(jié)論一一判斷各選項，即可得答案.【解答過程】設(shè)OM=xOA+yOB+z對于A，OM=OA?對于B，OM=OA+對于C,OM=?OA?對于D，OM=?OA?OB+3故選：D.2．（2023秋·山東煙臺·高二校考開學(xué)考試）已知向量e1，e2不共線，AB=e1+eA．AB與AC共線 B．AB與CD共線C．A，B，C，D四點不共面 D．A，B，C，D四點共面【解題思路】根據(jù)平面向量共線定理及推論依次判斷各個選項即可.【解答過程】對于A，∵12≠18，∴不存在實數(shù)λ，使得AB=λAC對于B，∵AC=2e1+8e2，又11≠1?13，∴不存在實數(shù)λ，使得AB=λCD成立，對于C、D，若A，B，C，D四點共面，則有AD=x∴x+2y=3x+8y=?5，即x=17故A，B，C，D四點共面，C錯誤，D正確.故選：D.3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A（1）用a,b,（2）求證：E，F(xiàn)，B三點共線.【解題思路】（1）由已知得EB=（2）由已知得FB=3【解答過程】解：（1）因為A1E=2所以EB=所以EB=（2）AFB===3又EB與FB相交于B，所以E，F(xiàn)，B三點共線.4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)BD∥平面EFGH.【解題思路】（1）要證E，F(xiàn)，G，H四點共面，只需證明向量EG，EF，EH共面，結(jié)合向量的線性運算及共面向量定理證明即可；（2）由向量共線結(jié)合線面平行的判定定理證明．【解答過程】（1）如圖，連接EG，BG．因為EG＝EB＋BG＝EB＋12(BC＋BD)＝EB＋BF＋EH＝EF＋EH由向量共面的充要條件可知，向量EG，EF，EH共面，又EG，EF，EH過同一點E，從而E，F(xiàn)，G，H四點共面．（2）因為EH＝AH－AE＝12AD－12AB＝12(AD又E，H，B，D四點不共線，所以EH∥BD，又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH．題型3題型3空間向量的夾角及其應(yīng)用1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知空間向量a，b，a=1，b=2，且a?b與a垂直，則a與A．60° B．30° C．135°【解題思路】根據(jù)已知可得a?b?【解答過程】因為a?b與a垂直，所以即a2所以cosa又0°≤a故選：D.2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知不共面的三個向量a,b,c都是單位向量，且夾角都是π3，則向量aA．π6 B．π4 C．3π4【解題思路】根據(jù)題意計算得a?b?【解答過程】解：由題意，得a=所以a?b?a設(shè)向量a?b?c和b的夾角為又θ∈0,π，所以θ=故選：C.3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，正方體ABCD?A′B(1)求A′B和(2)求證：A′【解題思路】（1）選好基底后，根據(jù)空間向量數(shù)量積即可求解；（2）利用向量垂直，數(shù)量積為0即可得解.【解答過程】（1）AB=a，AD=由于正方體ABCD?A′B∴a=b=c=a，且∵A′B∴A′B又A′B=∴cos又A′∴A∴A′B（2）證明：由（1）知A′B=∴A′B∴A∴A4．（2023秋·江蘇無錫·高二?？奸_學(xué)考試）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為A（1）用a,b,（2）求對角線AC（3）求cos?【解題思路】（1）根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合向量的運算法則，即可容易表示目標(biāo)向量；（2）用基向量表示AC（3）根據(jù)（2）中所求，結(jié)合向量夾角余弦值的計算公式，代值即可.【解答過程】（1）連接A1因為AB=a，AD在△A1因為底面ABCD是平行四邊形故AC因為AC//A1∴A又M為線段A1∴A1在△ABM=（2）因為頂點A為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是60故aab由（1）可知AC故平行四邊形AA故：AC|==|=1+1+1+2×12故A（3）因為AC1又cos=(題型4題型4利用空間向量的數(shù)量積求模1．（2023秋·福建莆田·高三?？奸_學(xué)考試）如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB=2，AD=

A．26 B．25 C．26 【解題思路】根據(jù)題意，由AC【解答過程】由AC1=因為底面為矩形，AB=2，AD=2，所以AC2=AC又AC=AB所以AC12故選：B.2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，二面角A?EF?C的大小為45°，四邊形ABFE、CDEF都是邊長為1的正方形，則B、D兩點間的距離是（

A．2 B．3 C．3?2 D．【解題思路】利用二面角的定義可得出∠AED=45°，由空間向量的線性運算可得出DB=【解答過程】因為四邊形ABFE、CDEF都是邊長為1的正方形，則AE⊥EF，DE⊥EF，又因為二面角A?EF?C的大小為45°，即∠AED=45°因為DB=DE+EA+所以，DB=1+1+1?2×1×1×故選：C.3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在四面體ABCD中，∠BAC=60°,∠BAD=∠CAD=45°，AD=2，AB=AC=3

(1)求BC?(2)已知F是線段CD中點，點E滿足AE=2EB，求線段【解題思路】（1）根據(jù)題意得到BC?（2）根據(jù)EF=【解答過程】（1）在四面體ABCD中，∠BAC=60°,∠BAD=∠CAD=45°，AD=2，BC?BD=(（2）如圖所示：

因為AE=2EB，則因為F是CD中點，則DF=于是EF=EF=4所以EF=4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，已知平行六面體ABCD?A1B1C1(1)求線段CA(2)求證：CA【解題思路】（1）CA（2）B1【解答過程】（1）設(shè)CD=a,∵∠C1CB=∠BCD=∠∵CA1=故線段CA1的長為（2）證明：∵B1D1故CA題型5題型5利用空間向量基本定理證明平行、共線、共面問題1．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知空間的一組基底a,b,c，若m=a?A．2 B．?2 C．1 D．0【解題思路】根據(jù)m與n共線，由xa【解答過程】因為m與n共線，空間的一組基底a,所以xa所以x=z,解得x=1,y=?1.所以x＋y＝0.故選：D.2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知a,b,c是空間的一組基底，其中AB=2a?3b，AC=a?c，A．?34 B．34 C．4【解題思路】根據(jù)題意，設(shè)存在唯一的實數(shù)對(x,y)，使得AB=x【解答過程】由題意，設(shè)存在唯一的實數(shù)對(x,y)，使得AB=x即2a則2a則x=2，y=?32，λy?x=0，解得故選：D.3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知e1,e2,e3為空間的一個基底，且OP(1)判斷P,A,B,C四點是否共面；(2)能否以O(shè)A,OB,【解題思路】（1）假設(shè)P,A,B,C四點共面，然后利用空間向量共面定理列方程求解；（2）先判斷OA,【解答過程】（1）假設(shè)P,A,B,C四點共面，則存在實數(shù)x,y,z，使OP=xOA+y即2比較對應(yīng)的系數(shù)，得到關(guān)于x,y,z的方程組x?3y+z=22x+y+z=?1?x+2y?z=3，解得x=17y=?5故P,A,B,C四點不共面．（2）若OA,OB,OC共面，則存在實數(shù)所以e1所以?3m+n=1m+n=2所以O(shè)A,所以O(shè)A,OB,所以e1+2所以O(shè)P=17a4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足OM=(1)判斷MA,(2)判斷點M是否在平面ABC內(nèi).【解題思路】（1）根據(jù)空間向量的線性運算，結(jié)合平面向量基本定理證明即可；（2）根據(jù)（1）結(jié)合平面向量的基本定理判斷即可.【解答過程】（1）由題知OA+∴OA?即MA=∴MA,（2）由（1）知，MA,MB,∴M，A，B，C四點共面，從而點M在平面ABC內(nèi).題型6題型6利用空間向量基本定理解決夾角、距離、垂直問題1．（2023秋·山西·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在三棱錐P?ABC中，△PAC是邊長為3的正三角形，M是AB上一點，AM=12MB，D為BC的中點，N為PD上一點且PN=

A．5 B．3 C．5 D．3【解題思路】以PA,PB,【解答過程】解：以PA,則MN2=PN=2=1=1=1=1所以MN=故選：D.2．（2023·全國·高二假期作業(yè)）如圖所示，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點A．3 B．2 C．5 D．6【解題思路】記AB=a，AD=b，AA【解答過程】解：記AB=a，AD=由題意可知a=b=所以a?AC所以AC1=6，即故選：D.3．（2023秋·山東濱州·高二?？奸_學(xué)考試）已知平行六面體ABCD?A1B1C（1）證明：DD（2）求異面直線CA1與【解題思路】（1）由題，選定空間中三個不共面的向量為基向量，只需證明DD（2）用基向量求解向量CA【解答過程】設(shè)CD=a，CB由題可知：a,b,c兩兩之間的夾角均為π（1）由D=所以DD（2）由CA1所以CA1又C則cos<又異面直線夾角范圍為(0,所以異面直線CA1,AB4．（2023春·高二課時練習(xí)）平行六面體ABCD?A1B1(1)求線段AC(2)若AB=a,AD=【解題思路】（1）利用AC1=（2）{a,b,c【解答過程】（1）AC1=AB+BC=1+1+1+21×1×12+1×1×1（2）AB,AD,故{a,b,c}可作為空間中的一組基底；假設(shè){a+b,a?b于是{a于是A1題型7題型7空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示1．（2023秋·河北邯鄲·高二?？奸_學(xué)考試）已知兩個向量a=2,?1,2，b=6,m,n，且a∥A．1 B．3 C．5 D．9【解題思路】根據(jù)空間向量的平行，列出比例式，求得m,n，即得答案.【解答過程】由題意a=2,?1,2，b=故62故m+n=3，故選：B.2．（2023秋·福建莆田·高三?？奸_學(xué)考試）設(shè)x,y∈R，向量a=x,1,1，b=1,y,1，c=2,?4,2A．22 B．10 C．3 【解題思路】根據(jù)空間向量平行與垂直的坐標(biāo)表示，求得x,y的值，結(jié)合向量模的計算公式，即可求解.【解答過程】由向量a=x,1,1,b=1,y,1可得2x?4+2=012=y?4，解得x=1,y=?2則a+b=故選：C.3．（2023秋·高二單元測試）已知空間向量a=(1,0,1(1)若(a+b(2)若ka+b與2【解題思路】（1）根據(jù)空間向量共線公式列式求參即可；（2）根據(jù)空間向量垂直數(shù)量積為0列式求參即可.【解答過程】（1）∵a+b∴(a+b即3=μ(λ+4)，且?1=?μλ，1=μλ，解得λ=2（2）∵ka+b=(k+2,?1,k)又∵(ka+b4．（2023秋·全國·高二階段練習(xí)）已知點A?2，0，2、B?1，(1)若c=3，且c//BC(2)求cosa(3)若ka+b與k【解題思路】（1）利用空間向量平行充要條件設(shè)出c=?2λ，?λ，（2）先求得a=1，1，（3）利用空間向量垂直充要條件列出關(guān)于k的方程，解之即可求得k的值．【解答過程】（1）∵B?1，1，2、C?3，∴設(shè)c=?2λ，解得λ=±1，∴c=?2（2）∵A?2，0，2、B?1，∴a=1∴cos（3）∵ka+b又ka+b∴k解得k=?52或題型8題型8利用空間向量研究距離問題1．（2023秋·全國·高二隨堂練習(xí)）在三棱錐P?ABC中，PC⊥底面ABC,∠BAC=90°,AB=AC=4,∠PBC=45°，則點C到平面PAB的距離是（

）A．463 B．263 C．【解題思路】解法一：以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，過A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點C到平面PAB的距離．解法二：根據(jù)三棱錐等體積轉(zhuǎn)換求解點C到平面PAB的距離.【解答過程】解法一：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),B(4,0,0),C(0,4,0),P(0,4,42∴AP設(shè)平面PAB的法向量為m=(x,y,z)則m?AP=0,令y=2，則z=?1∴m=(0,2,?1)，∴點C到平面故選：A.解法二

∵PC⊥底面ABC，∴PC⊥AB，又AB⊥AC，且PC∩AC=C,PC,AC?平面PAC，∴AB⊥平面PAC，∵PA?平面PAC∴AB⊥PA，∵AC=AB=4，∴BC=42∴PC=42在Rt△PAB中，PA=令點C到平面PAB的距離為d，∵V∴1∴d=4故選：A.2．（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖所示，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，A．5 B．8 C．6013 D．【解題思路】以D為坐標(biāo)原點，DA,DC,DD1所在的直線分別為【解答過程】以D為坐標(biāo)原點，DA,DC,DD1所在的直線分別為則C0,12,0,D10,0,5．設(shè)B由n⊥n?∴a=0,b=512c又B1B=(0,0,?5)，∴點B1到平面∵B1C1∥BC，BC?平面A1∴B1C1∴B1C1到平面故選：C.3．（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖，在長方體ABCD?A′B′C

(1)求頂點B′到平面D(2)求直線BC′到平面【解題思路】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面D′（2）可得BC′∥平面D′AC【解答過程】（1）如圖，分別以D′A′

則D′0,0,0、A1,0,1、C所以D′A=設(shè)平面D′AC的法向量為n=u,v,w，則把各向量的坐標(biāo)代入，得u+w=0，2v+w=0，取v=1，從而得到平面D′AC的一個法向量為因為B′點B′到平面D′AC（2）因為BC′=又BC′?平面D′AC，AD′問題轉(zhuǎn)化為求點C′0,2,0到平面因為C′所以直線BC′到平面D′4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，邊長為2，側(cè)棱A1

(1)求證：平面AMN//平面EFBD；(2)求平面AMN與平面EFBD的距離．【解題思路】（1）法一：由面面平行的判定定理即可證明；法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，通過證明EF→（2）法一:平面AMN與平面EFBD的距離=B到平面AMN的距離?,再由等體積法即可求出答案.法二:求出平面AMN的法向量,AB→=(0，2，0)，平面AMN與平面EFBD的距離等于B到平面AMN的距離【解答過程】（1）法一:證明：連接B1D1E、F分別是C1∴MN//EF//B1D1，∵M(jìn)N?∴MN//平面EFBD，∵NF平行且等于AB∴ABFN是平行四邊形，∴AN//∵AN?平面EFBD，BF?平面EFBD，∴AN//平面EFBD∵AN∩MN=N，∴平面AMN//平面EFBD法二:如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，

則A(2，0，0)，M(1，0，3)，B(2，2，0)，E(0，1，3)，F(xiàn)(1，2，3)，N(2，1，3)，∴AM→∴EF→=MN→∵M(jìn)N?平面EFBD，EF?平面EFBD，∴MN//平面EFBD∵AN?平面EFBD，BF?平面EFBD，∴AN//平面EFBD又MN∩AM=M，∴平面AMN//平面EFBD（2）法一:平面AMN與平面EFBD的距離=B到平面AMN的距離?．△AMN中，AM=AN=10，MN=2，∴由等體積可得13?19法二:設(shè)平面AMN的一個法向量為n=則n→?MN∵AB∴平面AMN與平面EFBD的距離為d=|題型9題型9利用空間向量求空間角1．（2023秋·江西撫州·高三?？奸_學(xué)考試）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是棱AD上一點，DE=2AE,F是棱D1A．8534 B．8568 C．6534【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【解答過程】不妨設(shè)AB=1，以D為坐標(biāo)原點，DA,DC,DD1所在直線分別為x軸，y軸，則A1所以A1所以BF=所以cos?所以異面直線A1E與BF所成角的余弦值為故選：A.

2．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點M，N分別是A1C，A．73 B．23 C．66【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)MN為A1C,BD的公垂線時線段MN的長最小，進(jìn)而求出【解答過程】以D為坐標(biāo)原點，DA,DC,DD1所在直線分別為因為AA1⊥平面ABCD，BD?所以AA因為正方形ABCD中，AC⊥BD，且AC∩AA1=A，AC,A所以BD⊥平面A1因為點M，N分別是A1當(dāng)點N為AC,BD交點時，MN⊥BD，過點N作NM⊥A1C于點此時MN為A1C,BD的公垂線，即線段設(shè)正方體邊長為2，則N1,1,0，A因為△MCN～△ACA1，所以CNC解得：MC=233過點M作MO⊥AC于點O，同上可知MOAA1解得：MO=23，OC=2MN=又A(2,0,0),D1(0,0,2)設(shè)平面AD1N則AD1?n=?2x+2z=0設(shè)MN與平面AD1N則sinθ=

故選：B.3．（2023秋·廣西南寧·高二校考開學(xué)考試）圖①是直角梯形ABCD，AB//CD，∠D=90°，四邊形ABCE是邊長為2的菱形，并且∠BCE=60°，以BE為折痕將△BCE折起，使點

(1)求證：平面BC1E⊥(2)在棱DC1上是否存在點P，使得點P到平面ABC1的距離為155【解題思路】（1）由二面角平面角定義可知∠AOC1是二面角A?BE?C（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DP=λDC【解答過程】（1）在圖①中，連接AC，交BE于O，∵四邊形ABCE是邊長為2的菱形，∠BCE=60°，∴AC⊥BE，在圖②中，相交直線OA,OC1均與BE垂直，∴∠AOC∵AC1=6，∴OA2+OC12=A（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA,OB,則D32,?32,0，C1∴DC1=?32,3設(shè)DP=λDC則AP=設(shè)平面ABC1的一個法向量則AB?n=?3x+y=0AC1?∴點P到平面ABC1的距離d=AP?n∴AP=?∴cos∴直線EP與平面ABC1所成角的正弦值為

4．（2023春·全國·高一期末）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，頂點在A1

(1)求證：A1C(2)求棱AA1與(3)在線段B1C1上確定一點P，使AP=【解題思路】（1）由線面垂直得線線垂直，再由線面垂直的判斷定理得到證明.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線夾角的向量公式求解即可；（3）利用已知條件求出點P的坐標(biāo)，利用向量法求解平面角的余弦值.【解答過程】（1）因為三棱柱ABC?A1B1C因為頂點在A1底面ABC上的射影恰為點B，AC?平面ABC，所以A1B⊥AC又A1B∩A1B1=A1，A1B?（2）以A為原點，射線AC，AB，Az分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則C2,0,0，B0,2,0，A10,2,2，B1設(shè)棱AA1與BC所成的角為所以cosθ=cosAA故棱AA1與BC所成的角為（3）設(shè)B1P=λ于是AP=2λ2則P為棱B1C1設(shè)平面PAB的一個法向量n=x,y,z，則令z=?1，得n=而平面ABA1的一個法向量則cosn故二面角P?AB?A1的平面角的余弦值是題型10題型10直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知兩點A?3,2,B2,1，過點P0,?1的直線與線段AB有交點，則直線A．π4,3C．0,π4 【解題思路】分別求出點P與線段AB端點所成直線的斜率，即可得直線l的斜率范圍，再由傾斜角與斜率關(guān)系求傾斜角范圍即可求解.【解答過程】由題意：如下圖所示：所以kPA=2+1?3?0=?1若直線l的傾斜角θ∈[0,π)，則kl=故選：A.2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點A?1,1,B1,1,C2,3+1，D為△ABC的邊ACA．0,33 C．33,3【解題思路】作出圖象，求出AB,BC的斜率，再結(jié)合圖象即可得解.【解答過程】如圖所示，kAB因為D為△ABC的邊AC上一動點，所以直線BD斜率k的變化范圍是?∞故選：D.3．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知過點0,?2的直線l與以點A3,1和B?2,5為端點的線段AB相交，求直線【解題思路】作出圖形，根據(jù)直線與線段的關(guān)系及斜率的定義即可得解.【解答過程】設(shè)點P0,?2

因為kPA=1?若要使直線l與線段AB相交，則kl≥k所以直線l的斜率滿足kl≥1或4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，已知兩點A?2,?3,B3,0，過點P?1,2的直線l與線段AB始終有公共點，求直線

【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合圖形求出直線AP的斜率kAP，直線BP的斜率kBP，即得直線【解答過程】根據(jù)圖形，∵直線AP的斜率是kAP直線BP的斜率是kBP∴過點P的直線l與線段AB有公共點時，直線l的斜率的取值范圍是?∞,?題型11題型11直線平行、垂直的判定在幾何中的應(yīng)用1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）順次連接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所構(gòu)成的圖形是（）A．平行四邊形 B．直角梯形C．等腰梯形 D．以上都不對【解題思路】結(jié)合直角梯形的性質(zhì)，利用兩直線間的平行和垂直關(guān)系來判斷即可得出結(jié)論.【解答過程】kAB=3?5?4?2=所以AB//CD,AD與BC不平行，k因此AD⊥AB故構(gòu)成的圖形為直角梯形.故選：B.2．（2023秋·全國·高二隨堂練習(xí)）已知ΔABC的頂點B2,1，C?6,3，其垂心為H?3,2A．?19,?62 B．19,?62 C．?19,62 D．19,62【解題思路】由垂心的定義可知AH⊥BC，BH⊥AC；根據(jù)垂直時斜率乘積為?1可知kAH=4，【解答過程】∵H為ΔABC的垂心，∴AH⊥BC，BH⊥AC，又kBC=3?1∴直線AH,AC斜率存在且kAH=4，設(shè)Ax,y，則kAH=y?2x+3故選A.3．（2023秋·高二課前預(yù)習(xí)）如圖所示，已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A(0,0)，B(2,?1)，C(4,2)，D(2,3)，試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明.

【解題思路】通過計算得到kAB=kCD，【解答過程】由已知可得AB邊所在直線的斜率kABCD邊所在直線的斜率kCDBC邊所在直線的斜率kBCDA邊所在直線的斜率kDA因為kAB=kCD，kBC因此四邊形ABCD是平行四邊形.4．（2023秋·全國·高二隨堂練習(xí)）已知A1,2，B5,0，（1）若A，B，C，D可以構(gòu)成平行四邊形，求點D的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，判斷A，B，C，D構(gòu)成的平行四邊形是否為菱形.【解題思路】（1）分四邊形ABCD、ABDC、ACBD是平行四邊形三種情況討論，分別利用對邊的斜率相等求解，即可；（2）分別驗證對角線是否垂直，即對角線斜率乘積是否為?1，即可.【解答過程】（1）由題意得kABkAC=4?23?1=1若四邊形ABCD是平行四邊形，則kCD=k即b?4a?3=?12b?2若四邊形ABDC是平行四邊形，則kCD=k即b?4a?2=?12b?0若四邊形ACBD是平行四邊形，則kCD=k即b?0a?5=1b?2a?1=?2綜上，點D的坐標(biāo)為（1，6）或（7，2）或（3，2）.（2）若D的坐標(biāo)為（1，6），因為kAC=1，所以kAC?k所以平行四邊形ABCD為菱形.若D的坐標(biāo)為（7，2），因為kBC=?2，所以kBC?k若D的坐標(biāo)為（3，2），因為kAB=?12，直線因此，平行四邊形ABCD為菱形,平行四邊形ABDC,ACBD不是菱形.題型12題型12根據(jù)兩直線平行、垂直求參數(shù)1．（2023秋·江蘇揚州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）直線l1:mx?3y?1=0,l2:(3m?2)x?my+2=0，若lA．0 B．3 C．0或?13【解題思路】根據(jù)直線垂直的充要條件列方程求解即可.【解答過程】因為l1:mx?3y?1=0,l所以m3m?2?3×?m=0，即3m故選：C.2．（2023春·江西南昌·高三?？茧A段練習(xí)）已知直線l1:x+ay?2=0，l2:a+1x?ay+1=0，若p:l1//A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)兩直線平行可構(gòu)造方程求得a的值，由推出關(guān)系可得結(jié)論.【解答過程】若l1//l2，則1×?a∴p?q，q?p，∴p是q的必要不充分條件.故選：B.3．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知直線l1:x+my?2=0，l2(1)l1(2)l1【解題思路】（1）按照m是否為0討論，根據(jù)直線平行的充要條件即可得解；（2）根據(jù)直線垂直的充要條件即可得解.【解答過程】（1）當(dāng)m=0時，l1:x=2，l2當(dāng)m≠0時，由兩條直線l1與l2平行的充要條件m?21所以，當(dāng)m=0或m=5時，l1（2）由兩條直線互相垂直的充要條件，得m?2+3m2=0，解得所以當(dāng)m=23或m=?1時，4．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知三條直線l1:ax+by+4=0，l2(1)若l1⊥l2，且l1過點?1,1(2)若l1//l2//【解題思路】（1）由直線垂直的特征及直線過的點可得關(guān)于a、b的方程組，即可得解；（2）由直線平行的特征求解a，b，再代入驗證即可.【解答過程】（1）因為l1:ax+by+4=0，l2:a?1又直線l1過點?1,1，所以?a+b+4=0，所以b=a?4所以aa?1+a?4=0，所以（2）若l1//l2//當(dāng)b=3a=32時，ll2:12x+y+3=0所以若l1//l題型13題型13三線能圍成三角形的問題1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能構(gòu)成三角形，則a的取值范圍是（

）A．a(chǎn)≠?2 B．a(chǎn)≠±1C．a(chǎn)≠?2且a≠±1 D．a(chǎn)≠?2且a≠1【解題思路】由三條直線兩兩不平行，且不交于同一點可得．【解答過程】已知三條直線能構(gòu)成三角形，首先不平行，若a=0，則三條直線圍成三角形，若a≠0，則a1≠1a，a≠±1時，由ax+y+1=0x+y+a=0，得x=1y=?(a+1)，代入x+ay+1=0得1?a(a+1)+1=0，a=1或a=?2綜上：a≠±1且a≠?2．故選：C．2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若三條直線l1:4x+y=3,l2:mx+y=0,A．2個 B．3個C．4個 D．6個【解題思路】分析可知至少有兩條直線平行或三條直線相交于同一點，則三條直線不能構(gòu)成三角形.【解答過程】∵三條直線不能構(gòu)成三角形∴至少有兩條直線平行或三條直線相交于同一點.若l1∥l2，則m=4；若l1∥l3，則若l2∥l3，則?m若三條直線相交于同一點，直線l1和l2聯(lián)立：4x+y=3mx+y=0∴x=34?my=3mm?4直線l1和l3聯(lián)立：4x+y=3x?my=2∴x=3m+21+4my=?51+4m∵三條直線相交于同一點∴P、Q兩點重合∴34?m=3m+21+4m故實數(shù)m的取值最多有4個.故選:C.3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若三條直線l1:ax+y+1=0，l2:x+ay+1=0，

【解題思路】由題意可分直線l1//l2、l2//l【解答過程】為使三條直線能構(gòu)成三角形，需三條直線兩兩相交且不共點．①若l1//l2，則由②若l2//l3，則由③若l1//l3，則由當(dāng)a=1時，l1,l2與l3④若三條直線交于一點，由x+ay+1=0x+y+a=0，解得x=?a?1將l2,l3的交點解得a=1(舍去)，或a=?2，所以要使三條直線能構(gòu)成三角形，需a≠±1且a≠?2．4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知三條直線l1:4x+y?4=0，l2（1）若直線l1，l2，l3（2）若直線l1，l2，l3【解題思路】（1）聯(lián)立方程組即可求出；（2）根據(jù)題意可知直線交于一點或有兩條直線平行，則可求解.【解答過程】（1）∵直線l1，l2，∴l(xiāng)1與l2不平行，∴由4x+y?4=0mx+y=0，得x=即l1與l2的交點為代入l3的方程，得8解得m=?1或23（2）若l1，l2，l3交于一點，則m=?1若l1//l若l1//l若l2//l綜上，可得m=?1或23或4或?題型14題型14與距離有關(guān)的最值問題1．（2023·全國·高二課堂例題）已知直線l:kx+y+2?k=0過定點M，點Px,y在直線2x?y+1=0上，則MP的最小值是（

A．5 B．5 C．355 【解題思路】先求定點，再根據(jù)點到直線距離求解點到直線上動點距離最小值即可.【解答過程】由kx+y+2?k=0得y+2=k1?x，所以直線l過定點M依題意可知MP的最小值就是點M到直線2x?y+1=0的距離，由點到直線的距離公式可得MPmin故選:B.2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休．”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：x?a2+y?b2可以轉(zhuǎn)化為點x,y到點a,b的距離，則A．3 B．22+1 C．23【解題思路】把目標(biāo)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，看作動點到兩個定點距離和的最值，利用對稱性可得答案.【解答過程】x2可以看作點Px,0到點A作點A關(guān)于x軸的對稱點A′0,?1，顯然當(dāng)最小值為B,A′間的距離故選：D.3．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知點P是直線3x?4y+2=0上任意一點，求點P與點A3,?1【解題思路】依題意可知，當(dāng)PA與直線3x?4y+2=0垂直時點P與點A之間距離的最小，求出點A到直線的距離即可.【解答過程】根據(jù)題意畫出圖象如下圖所示：

易知當(dāng)PA與直線3x?4y+2=0垂直時，點P與點A3,?1其余位置如P1，則A所以最小值即為點A3,?1到直線3x?4y+2=0的距離d=所以，點P與點A3,?14．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知兩條平行直線分別過點A6,2和B?3,?1，并且各自繞點A，【解題思路】首先求出AB，即可求出距離的范圍，求出最大距離，此時兩直線和直線AB垂直，求出kAB【解答過程】兩條平行直線分別過點A6,2、B?3,?1，并且各自繞點A，且AB=故這兩條平行線之間的距離d的變化范圍為d∈0,3這兩條平行直線之間的距離有最大值，最大值為310此時的兩直線和直線AB垂直．∵直線AB的斜率kAB=2+1則兩平行直線分別為y?2=?3(x?6)、y+1=?3(x+3)，即3x+y?20=0和3x+y+10．題型15題型15點、線間的對稱問題1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知入射光線經(jīng)過點A?3,4，被直線l:x?y+3=0反射，反射光線經(jīng)過點B3,8，則反射光線所在直線的斜率為（A．?1 B．14 C．4 D．【解題思路】根據(jù)點關(guān)于線的對稱，可求A′【解答過程】設(shè)點A?3,4關(guān)于直線l:x?y+3=0對稱的點為A′a,b，則b?4a+3=?1反射線經(jīng)過點A′,B,所以故選：C.2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為B(?2,0)，若將軍從山腳下的點A(1,0)處出發(fā)，河岸線所在直線的方程為x+y=3，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A．27 B．5 C．15 D．29【解題思路】設(shè)B(?2,0)關(guān)于x+y=3的對稱點為(x,y)，列方程求對稱點坐標(biāo)，再應(yīng)用兩點距離公式求“將軍飲馬”的最短總路程.【解答過程】由B(?2,0)關(guān)于x+y=3的對稱點為(x,y)，所以{x?22+y2=3所以“將軍飲馬”的最短總路程為(3?1)2故選：D.3．（2023秋·江蘇鹽城·高二校考階段練習(xí)）已知直線l：y＝－12x(1)點P(－2，－1)關(guān)于直線l的對稱點坐標(biāo)；(2)直線l1：y＝x－2關(guān)于直線l對稱的直線l2的方程；(3)直線l關(guān)于點A(1,1)對稱的直線方程．【解題思路】（1）設(shè)出對稱點的坐標(biāo)，利用中點在對稱軸上以及斜率乘積等于?1列方程組，解方程組求得對稱點的坐標(biāo).（2）設(shè)l2上一點的坐標(biāo)，以及該點對稱點的坐標(biāo)，利用（1）的方法求得兩個對稱點的坐標(biāo)的關(guān)系式，代入直線l1的方程，化簡后求得l2【解答過程】解:(1)設(shè)點P關(guān)于直線l的對稱點為P′(x0，y0)，則線段PP′的中點M在直線l上，且PP′⊥l.所以y0+1x0+2（2）直線l1：y＝x－2關(guān)于直線l對稱的直線為l2，則l2上任一點P1(x，y)關(guān)于l的對稱點P1′(x′，y′)一定在直線l1上，反之也成立．由y?y'把(x′，y′)代入方程y＝x－2并整理，得：7x－y－14＝0.即直線l2的方程為7x－y－14＝0.(3)設(shè)直線l關(guān)于點A(1,1)的對稱直線為l′，直線l上任一點P2(x1，y1)關(guān)于點A的對稱點P2′(x，y)一定在直線l′上，反之也成立．由x+x12將(x1，y1)代入直線l的方程得：x＋2y－4＝0，∴直線l′的方程為x＋2y－4＝0.4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）一束光從光源C1,2射出，經(jīng)x軸反射后（反射點為M），射到線段y=?x+b,x∈3,5上(1)若M3,0,b=7，求光從C出發(fā)，到達(dá)點(2)若b=8，求反射光的斜率的取值范圍；(3)若b≥6，求光從C出發(fā)，到達(dá)點N時所走過的最短路程．【解題思路】（1）先求出C關(guān)于x軸的對稱點C′，則光所走過的路程為C（2）根據(jù)kC（3）當(dāng)N的橫坐標(biāo)∈3,5，光所走過的最短路程為點C′到直線y=?x+b的距離．當(dāng)?shù)臋M坐標(biāo)∈5,+【解答過程】（1）C1,2關(guān)于x軸的對稱點C′1,?2由y=x?3y=?x+7?x=5∈3,5所以光所走過的路程即C′（2）對于線段y=?x+8,x∈3,5，令其端點A則kC所以反射光斜率的取值范圍是54（3）若反射光與直線y=?x+b垂直，則由y=?x+by=x?3①當(dāng)x=b+32∈3,5，即6≤b≤7時，光所走過的最短路程為點所以路程S=1?2?b②當(dāng)x=b+32∈5,+∞，即b>7所以C′綜上：S=b+1題型16題型16圓的切線長及切線方程問題1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）過圓x2+y2?2x?4y=0A．2x?y+9=0 B．2x+y?9=0C．2x+y+9=0 D．2x?y?9=0【解題思路】根據(jù)圓的一般方程得到圓心，從而得到直線PC的斜率，進(jìn)而求出過點P的切線斜率，由直線的點斜式方程即可求得切線方程.【解答過程】由x2+y則該圓的圓心為C1,2，又P則直線PC的斜率為kPC所以過點P的切線的斜率k=?2，則過點P3,3的切線方程為y?3=?2x?3，即故選：B.2．（2023春·福建莆田·高二校考階段練習(xí)）若P是直線l:x+2y?25=0上一動點，過P作圓O:x2+y2A．3 B．3 C．2 D．2【解題思路】由題意可得當(dāng)OP取最小值時，AB的值最小，求得圓心O到直線l:x+2y?25=0的距離即得OPmin【解答過程】如下圖所示，易知∠OAP=90°,∠OBP=90°,且且OA=1，由勾股定理可得AP所以AB=2×即OP取最小值時，AB取得最小值；易知OPmin為圓心O到直線l:x+2y?2即OPmin=?2故選：A.3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知△ABC的頂點分別為A(?1,7),B(?4,?2),C(3,?1)．(1)求△ABC外接圓的方程；(2)設(shè)P是直線l:4x?3y?25=0上一動點，過點P作△ABC外接圓的一條切線，切點為Q，求PQ最小值及點P的坐標(biāo)．【解題思路】（1）設(shè)出圓的一般方程將A,B,C三點坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法即可求得△ABC外接圓的方程；（2）根據(jù)切線長公式可知，當(dāng)P與圓心之間的距離最小時，切線長PQ最小，根據(jù)點到直線距離公式和兩直線垂直關(guān)系即可求得最小值及點P的坐標(biāo).【解答過程】（1）設(shè)△ABC外接圓的方程為x2將A,B,C分別代入圓方程可得50?D+7E+F=020?4D?2E+F=010+3D?E+F=0，解得所以△ABC外接圓的方程為x2（2）△ABC外接圓(x+1)2+(y?2)2=25因為PQ=PM2?R當(dāng)PM⊥l時，PM最小，所以PMmin所以PQmin設(shè)P(x0,解得x0即點P的坐標(biāo)為P234．（2023秋·江西吉安·高二統(tǒng)考期末）已知圓M經(jīng)過A2,4，B(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點P?1,5的直線l與圓M相切于點E，F(xiàn)，求直線l的方程及四邊形PEMF的面積S【解題思路】（1）設(shè)出圓的一般式方程，根據(jù)在兩坐標(biāo)軸上的四個截距之和是6，以及韋達(dá)定理和圓過A，B坐標(biāo)，列出方程組即可求解；（2）設(shè)切線方程為x=ty?5?1，由直線與圓相切列出方程求出t即可得切線方程；求出PM2，根據(jù)四邊形PEMF的面積S=2【解答過程】（1）設(shè)圓M與x軸的交點為(x1,0),(x2設(shè)圓M:x2令y=0，得x2+Dx+F=0，則令x=0，得y2+Ey+F=0，則∵圓M在兩坐標(biāo)軸上的四個截距之和是6，∴D+E=?6，∵圓過A2,4，B∴將A,B代入方程得4+16+2D+4E+F=025+1+5D+E+F=0，即2D+4E+F=?20解得：D=?4,E=?2,F=?4，故得圓M:x∴圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x?22（2）由（1）得圓M的圓心為M2,1，半徑r=3過點P?1,5斜率為0的直線方程為y=5直線y=5與圓x?22+y?1不妨設(shè)過P?1,5的圓的切線l的方程為x=t即x?ty+5t+1=0，則d=2?t+5t+1t2解得t=0或t=?24故切線l方程為x=?1或7x+24y?113=0.又PM2則四邊形PEMF的面積S=2S題型17題型17直線與圓有關(guān)的最值問題1．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知A，B是圓C：x?32+y?12=9上的兩個動點，且AB=25，若PA．2 B．3 C．4 D．7【解題思路】設(shè)P、C到直線AB的距離分別為d1,d2，根據(jù)題意結(jié)合垂徑定理可得【解答過程】由題意可知：圓C：x?32+y?12=9則PC=設(shè)P、C到直線AB的距離分別為d1因為AB=2r2分別過P、C作CM⊥AB,PN⊥AB，垂足分別為M,N，再過C作CD⊥PN，垂足為D，顯然當(dāng)P、C位于直線AB的同側(cè)時，點P到直線AB的距離較大，

則d2當(dāng)且僅當(dāng)CD=0，即直線AB與直線PC所以點P到直線AB距離的最大值為7.故選：D.2．（2023秋·安徽合肥·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知A?1,0，B2,0，若動點M滿足MB=2MA，直線l:x+y?2=0與x軸、y軸分別交于兩點P,Q，則A．4+22 B．4 C．22 【解題思路】由MB=2MA得M的軌跡為圓心為?2,0，半徑為【解答過程】設(shè)Mx,y，由MB=2MA化簡可得x+22+y2=4，故動點M圓心?2,0到l:x+y?2=0的距離為?2?21故圓上的點到直線l:x+y?2=0的最小距離為22由于P2,0,Q0,2故△MPQ的面積的最小值為12

故選：D.3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若點Px,y在圓x?3(1)yx(2)x+y的最值．【解題思路】（1）確定圓心和半徑，設(shè)k=yx=（2）設(shè)x+y=m，聯(lián)立方程得到2x2+【解答過程】（1）x?32+y?32設(shè)k=yx=y?0x?0此時圓心到直線的距離為d=3k?31+故yx的最大值為（2）設(shè)x+y=m，則x?32化簡整理得到2xΔ=23故x+y的最小值3?3，最大值3+34．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知M(m，n)為圓C：x2(1)