專題02數(shù)軸上的動點問題（人教版）

專題02數(shù)軸上的動點問題點的往返運動1．一個動點P從數(shù)軸上的原點O出發(fā)開始移動，第1次向右移動1個單位長度到達(dá)點P1，第2次向右移動2個單位長度到達(dá)點P2，第3次向左移動3個單位長度到達(dá)點P3，第4次向左移動4個單位長度到達(dá)點P4，第5次向右移動5個單位長度到達(dá)點P5…，點P按此規(guī)律移動，則移動第158次后到達(dá)的點在數(shù)軸上表示的數(shù)為（）A．159 B．156 C．158 D．1【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)軸，按題目敘述的移動方法即可得到點前五次移動后在數(shù)軸上表示的數(shù)；根據(jù)移動的規(guī)律即可得移動第158次后到達(dá)的點在數(shù)軸上表示的數(shù)．【詳解】解：設(shè)向右為正，向左為負(fù)，則表示的數(shù)為+1，表示的數(shù)為+3表示的數(shù)為0表示的數(shù)為4表示的數(shù)為+1……由以上規(guī)律可得，每移動四次相當(dāng)于向左移動4個單位長度．所以當(dāng)移動156次時，156=39×4相當(dāng)于向左移動了39次四個單位長度．此時表示的數(shù)為．則第157次向右移動157個單位長度，；第158次還是向右，移動了158個單位長度，所以．故在數(shù)軸上表示的數(shù)為159．故選A．【點睛】本題考查了數(shù)軸上點的運動規(guī)律，正確理解題意，找出點在數(shù)軸上的運動次數(shù)與對應(yīng)點所表示的數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．一個機(jī)器人從數(shù)軸原點出發(fā)，沿數(shù)軸正方向，以每前進(jìn)3步后退2步的程序運動，設(shè)該機(jī)器人每秒鐘前進(jìn)或后退1步，并且每步的距離為1個單位長度，表示第n秒時機(jī)器人在數(shù)軸上的位置所對應(yīng)的數(shù)．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中，正確結(jié)論的序號是．【答案】①②④【分析】“前進(jìn)3步后退2步”這5秒組成一個循環(huán)結(jié)構(gòu)，先根據(jù)題意列出幾組數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)找尋規(guī)律：第一個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x5=1，第二個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x10=2，第三個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x15=3，…，第m個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)就是第5m個數(shù)，即x5m=m．然后再根據(jù)“前進(jìn)3步后退2步”的運動規(guī)律來求取對應(yīng)的數(shù)值．【詳解】根據(jù)題意可知：x1=1，x2=2，x3=3，x4=2，x5=1，x6=2，x7=3，x8=4，x9=3，x10=2，x11=3，x12=4，x13=5，x14=4，x15=3，…由上列舉知①②正確，符合題意；由上可知：第一個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x5=1，第二個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x10=2，第三個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x15=3，…，即第m個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x5m=m．∵x100=20，∴x101=21，x102=22，x103=23，x104=22，∵x105=21，∴x106=22，x107=23，x108=24故x108＞x104，故③錯誤，不合題意；∵x2015=403，∴x2016=404，x2017=405，x2018=406，x2019=405，x2020=404，故x2019＞x2020，故④正確．符合題意．故答案為：①②④．【點睛】本題考查了規(guī)律型——數(shù)字的變化類，主要考查了數(shù)軸，要注意數(shù)軸上點的移動規(guī)律是“左減右加”．把數(shù)和點對應(yīng)起來，也就是把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來．前進(jìn)3步后退2步”這5秒組成一個循環(huán)結(jié)構(gòu)，讓n÷5看余數(shù)，余數(shù)是幾，那么第n秒時就是循環(huán)節(jié)中對應(yīng)的第幾個數(shù)．運動時間問題3．已知多項式的常數(shù)項是a，次數(shù)是在數(shù)軸上分別表示的點是（如圖），點A與點B之間的距離記作．(1)求的值；(2)求的長；(3)動點P從數(shù)1對應(yīng)的點開始向右運動，速度為每秒1個單位長度．同時點A，B在數(shù)軸上運動，點A，B的速度分別為每秒2個單位長度，每秒3個單位長度，運動時間為t秒．若點A向右運動，點B向左運動，，求t的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)多項式的次數(shù)和常數(shù)項的定義，即可進(jìn)行解答；（2）用點A到原點的距離加上點B到原點的距離即可；（3）根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離，將和的長度表示出來，進(jìn)行分類討論即可．【詳解】（1）解：∵多項式，次數(shù)為30，常數(shù)項為，∴．（2）∵，∴點A表示，點B表示30，∴．（3）∵經(jīng)過t秒后，點P運動到數(shù)對應(yīng)的點，點A運動到數(shù)對應(yīng)的點，點B運動到數(shù)對應(yīng)的點，∴，，∵，∴，解得：．或，則，解得：．綜上：或．【點睛】本題主要考查了用數(shù)軸上點表示數(shù)，數(shù)軸上兩點之間的距離，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸上兩點之間距離的表示方法．4．已知數(shù)軸上有A，B，C三個點，分別表示有理數(shù)，4，6．(1)畫出數(shù)軸，并用數(shù)軸上的點表示點A，點B，點C；(2)動點P從點C出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向數(shù)軸負(fù)方向運動，到達(dá)點A后立即以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸返回到點C，到達(dá)點C后停止運動，設(shè)運動時間為t秒．①當(dāng)時，的長為__________個單位長度，的長為__________個單位長度，的長為____________個單位長度；②在點P的運動過程中，若個單位長度，則請直接寫出t的值為___________【答案】(1)見解析；(2)①4，2，4；②或或或【分析】（1）根據(jù)題意畫出數(shù)軸即可；（2）①先求出當(dāng)時，P點表示的數(shù)為64=2，然后根據(jù)數(shù)軸上兩點距離公式求解即可；②分當(dāng)P從C向A運動和當(dāng)P從A向C運動兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：①當(dāng)時，P點表示的數(shù)為64=2，∴，，，故答案為：4、2、4；②當(dāng)P從C向A運動，時，，，，∵，∴，解得；當(dāng)P從C向A運動，時，，，，∵，∴，解得；當(dāng)P從A向C運動時，當(dāng)時，，，，∵，∴，解得；當(dāng)P從A向C運動時，當(dāng)時，，，，∵，∴，解得；綜上所述，t的值為或或或．【點睛】本題主要考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點的距離，數(shù)軸上的動點問題，解題的關(guān)鍵在于能夠正確理解題意，利用分類討論的思想求解．5．如圖，在數(shù)軸上點A表示的數(shù)為﹣6，點B表示的數(shù)為10，點M、N分別從原點O、點B同時出發(fā)，都向左運動，點M的速度是每秒1個單位長度，點N的速度是每秒3個單位長度，運動時間為t秒．（1）求點M、點N分別所對應(yīng)的數(shù)（用含t的式子表示）；（2）若點M、點N均位于點A右側(cè)，且AN＝2AM，求運動時間t；（3）若點P為線段AM的中點，點Q為線段BN的中點，點M、N在整個運動過程中，當(dāng)PQ+AM＝17時，求運動時間t．【答案】（1）點M、點N分別所對應(yīng)的數(shù)分別為，；（2）；（3）t=1或18【分析】（1）根據(jù)題意進(jìn)行求解即可；（2）由（1）所求，根據(jù)數(shù)軸上兩點距離公式可得，，再由，得到，由此即可得到答案；（3）分當(dāng)M、N均在A點右側(cè)時，當(dāng)N在A點左側(cè)，M在A點右側(cè)時，當(dāng)M、N都在A點左側(cè)時，三種情況討論求解即可．【詳解】解：（1）由題意得：點M、點N分別所對應(yīng)的數(shù)分別為，；（2）∵點A表示的數(shù)為6，點M、點N分別所對應(yīng)的數(shù)分別為，，∴，，∵，∴，∴；（3）如圖1所示，當(dāng)M、N均在A點右側(cè)時，由（1）（2）得點M、點N分別所對應(yīng)的數(shù)分別為，，∵點P為線段AM的中點，點Q為線段BN的中點，∴點P和點Q表示的數(shù)分別為，，∴∵，∴，∴；如圖2所示，當(dāng)N在A點左側(cè)，M在A點右側(cè)時，同圖1可知點P和點Q表示的數(shù)分別為，，∴∵，∴，∴，不符合題意；如圖3所示，當(dāng)M、N都在A點左側(cè)時，同圖1可得點P和點Q表示的數(shù)分別為，，∴，，∵，∴，此時方程無解；如圖4所示，當(dāng)M、N都在A點左側(cè)時，同理可得點P和點Q表示的數(shù)分別為，，∴，，∵，∴，解得，∴綜上所述，當(dāng)，t=1或18．【點睛】本題主要考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點的距離，數(shù)軸上的動點問題，熟知數(shù)軸的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．點表示的數(shù)6．已知A，B兩點在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b，A，B兩點之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A，B兩點之間的距離．已知數(shù)軸上A，B兩點對應(yīng)的數(shù)分別為－1，3，P為數(shù)軸上一動點．(1)若點P到A，B兩點之間的距離相等，則點P對應(yīng)的數(shù)為______．(2)若點P到A，B兩點的距離之和為6，則點P對應(yīng)的數(shù)為______．(3)現(xiàn)在點A以2個單位長度/秒的速度運動，同時點B以0.5個單位長度/秒的速度運動，A和B的運動方向不限，當(dāng)點A與點B之間的距離為3個單位長度時，求點B所對應(yīng)的數(shù)是多少？【答案】(1)1；(2)4或；(3)點表示的數(shù)為或或或．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離計算方法進(jìn)行計算即可得出答案；（2）設(shè)點對應(yīng)的數(shù)為，根據(jù)題意可得；分類討論，當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，計算即可得出答案；（3）設(shè)經(jīng)過秒，分情況討論①當(dāng)點點相向而行時，經(jīng)過秒，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，即可得出，②當(dāng)點點同向向右運動時，經(jīng)過秒，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，則，③當(dāng)點點同向向左運動時，求出的值，即可算出點對應(yīng)的數(shù)．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得，，因為點到，兩點之間的距離相等，所以點到點和點3的距離為2，則點對應(yīng)的數(shù)為：1；故答案為：1；（2）解：設(shè)點對應(yīng)的數(shù)為，則；①當(dāng)時，最大值為4，不滿足題意；②當(dāng)時，解得：；③當(dāng)時，解得：，點對應(yīng)的數(shù)為4或；故答案為：4或；（3）解：設(shè)經(jīng)過秒，①當(dāng)點點相向而行時，經(jīng)過秒，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，則，解得或，點對應(yīng)的數(shù)為或；②當(dāng)點點同向向右運動時，經(jīng)過秒，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，則，解得：或，點表示的數(shù)為或；③當(dāng)點點同向向左運動時，因為，點的運動速度大于點的運動速度，不能滿足題意．綜上：點表示的數(shù)為或或或．【點睛】本題主要考查了數(shù)軸上兩點間的距離，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸上兩點間距離的計算方法進(jìn)行求解．7．平移和翻折是初中數(shù)學(xué)中兩種重要的圖形變化，閱讀并回答下列問題：(1)平移：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移．①把筆尖放在數(shù)軸的原點處，先向左移動2個單位長度，再向右移動3個單位長度，這時筆尖的位置表示的數(shù)是______；②一個機(jī)器人從數(shù)軸上表示﹣1的點出發(fā)，并在數(shù)軸上移動2次，每次移動3個單位后到達(dá)B點，則B點表示的數(shù)是______；③數(shù)軸上點A表示的數(shù)為m．則點A向左移動n個單位長度所表示的數(shù)為______；(2)翻折：將一個圖形沿著某一條直線折疊的運動．①若折疊紙條，表示﹣2的點與表示1的點重合，則表示﹣4的點與表示______的點重合；②若數(shù)軸上A、B兩點之間的距離為8，點A在點B的左側(cè)，A、B兩點經(jīng)折疊后重合，折痕與數(shù)軸相交于表示﹣2的點，則A點表示的數(shù)為______；③在數(shù)軸上，點P表示的數(shù)為4，點Q表示的數(shù)為x，將點P、Q兩點重合后折疊，折痕與數(shù)軸交于M點；將點P與點M重合后折疊，新的折痕與數(shù)軸交于N點，若此時點P與點N的距離為3，數(shù)x的值為______．【答案】(1)①；②或5或；③；(2)①3；②；③16或．【分析】（1）平移：①根據(jù)右加左減的平移規(guī)律即可求解；②分四種情況：①兩次向左移動；②兩次向右移動；③第一次向左移動，第二次向右移動；④第一次向右移動，第二次向左移動．根據(jù)右加左減的平移規(guī)律分別求解即可；③設(shè)需將點向左移動個單位，根據(jù)，兩點的距離是，兩點距離的2倍列出方程，解方程即可；（2）翻折：①設(shè)所求數(shù)為，根據(jù)重合點相同列出方程，解方程即可；②設(shè)點表示的數(shù)為，根據(jù)與表示的點之間的距離等于4列出方程，解方程即可；③根據(jù)中點坐標(biāo)公式得出點、表示的數(shù)，根據(jù)點與點的距離為3列出方程，解方程即可．【詳解】（1）①由題意可得，筆尖的位置表示的數(shù)是：．故答案為：；②分四種情況：①如果兩次向左移動，那么點表示的數(shù)是：；②如果兩次向右移動，那么點表示的數(shù)是：；③如果第一次向左移動，第二次向右移動，那么點表示的數(shù)是：；④如果是第一次向右移動，第二次向左移動，那么點表示的數(shù)是：．綜上所述，點表示的數(shù)是或6或0．故答案為：或5或；③數(shù)軸上點A表示的數(shù)為m．則點A向左移動n個單位長度所表示的數(shù)：．故答案為：；（2）翻折：將一個圖形沿著某一條直線折疊的運動．①設(shè)所求數(shù)為，根據(jù)題意得，解得．故答案為：3；②設(shè)點表示的數(shù)為，根據(jù)題意得，解得．故答案為：；③根據(jù)題意可得，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為．點與點的距離為2，，即，，或，或．故答案為：16或．【點睛】本題考查了數(shù)軸、列代數(shù)式，解決本題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸上兩點之間的距離公式．定值問題8．如圖，記數(shù)軸上A、B兩點之間線段長為，（單位長度），（單位長度），在數(shù)軸上，點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點D在數(shù)軸上表示的數(shù)是15．(1)點B在數(shù)軸上表示的數(shù)是_____，點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是_____，線段BC的長＝_____．(2)若線段以1個單位長度/秒的速度向右勻速運動，同時線段以2個單位長度/秒的速度向左勻速運動，當(dāng)點B與C重合時，點B與點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是多少？(3)若線段以1個單位長度/秒的速度向左勻速運動，同時線段以2個單位長度/秒的速度也向左勻速運動，設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)時，M為中點，N為中點．①若數(shù)軸上兩個數(shù)為a、b，則它們的中點可表示為．則點M表示的數(shù)為_____，點N表示的數(shù)為______．（用代數(shù)式表示）②線段MN的長是否為定值，如果是，請求出這個值；如果不是，請說明理由．【答案】(1)，14，24(2)當(dāng)點B與C重合時，點B與點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是﹣2(3)①；；②MN的長是定值，【分析】（1）數(shù)軸上點A右邊的點B表示的數(shù)是點A表示的數(shù)加上這兩個點的距離，數(shù)軸上點D左邊的點C表示的數(shù)是點D表示的數(shù)減去這兩個點的距離，依此方法可求出點B和點C表示的數(shù)，因為點C在點B的右邊，所以用點C表示的數(shù)減去點B表示的數(shù)即得到線段的長；（2）設(shè)運動的時間為t秒，先確定點B表示的數(shù)為，點B與點C相距24個單位長度，兩個點相向運動，則點B與點C重合時，點B與點C運動的距離和為24，列方程求出t的值再求出點B表示的數(shù)即可；（3）①先用t的代數(shù)式表示出A、B、C、D四點對應(yīng)的數(shù)，再根據(jù)中點公式即可求解；②用兩點間距離公式即可求解．【詳解】（1）解：因為點A表示的數(shù)是，點B在點A右側(cè)，且，所以，所以點B表示的數(shù)是；因為點D表示的數(shù)是15，點C在點D的左側(cè)，且，所以，所以點C表示的數(shù)是14，點B與點C的距離是（單位長度），所以線段BC的長為24個單位長度，故答案為：，14，24．（2）設(shè)運動的時間為t秒，則點B表示的數(shù)是，根據(jù)題意得，解得，所以，答：當(dāng)點B與C重合時，點B與點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是．（3）①根據(jù)題意得，t秒后點A對應(yīng)的數(shù)為：，點C對應(yīng)的數(shù)為：，∵M(jìn)為中點，∴點M對應(yīng)的數(shù)為：，t秒后點B對應(yīng)的數(shù)為：，點D對應(yīng)的數(shù)為：，∵N為中點，∴點N對應(yīng)的數(shù)為：，故答案為：；；②線段的長為定值，∵點M對應(yīng)的數(shù)為，點N對應(yīng)的數(shù)為；∴，∴線段的長為定值．【點睛】此題考查數(shù)軸上兩點的距離的求法、解一元一次方程、列一元一次方程解應(yīng)用題等知識與方法，解題的關(guān)鍵是正確理解行程問題中相遇問題和追及問題的數(shù)量關(guān)系并且用代數(shù)式和等式表示這些關(guān)系．9．如圖，一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向左移動到達(dá)A點，再向右移動到達(dá)B點，然后再向右移動到達(dá)C點，數(shù)軸上一個單位長度表示．（1）請你在數(shù)軸上表示出A，B，C三點的位置；（2）把點C到點A的距離記為，則_______．（3）若點A沿數(shù)軸以每秒勻速向右運動，經(jīng)過多少秒后點A到點C的距離為？（4）若點A以每秒的速度勻速向左移動，同時點B、點C分別以每秒、的速度勻速向右移動。設(shè)移動時間為t秒，試探索：的值是否會隨著t的變化而改變？若變化，請說明理由，若無變化，請直接寫出的值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）秒或秒；（4）不變化，值為．【分析】（1）根據(jù)題意，在數(shù)軸上表示點A、B、C的位置即可；（2）利用數(shù)軸上兩點間的距離公式解題；（3）分兩種情況討論：點A在點C的左側(cè)或點A在點C的右側(cè)；（4）表示出，再相減即可解題．【詳解】解：（1）如圖，（2）故答案為：；（3）①當(dāng)點A在點C的左側(cè)時：

②點A在點C的右側(cè)時：所以，經(jīng)過或秒后點A到點C的距離為3cm，

（4）BA=，CB=的值不會隨著的變化而變化，BACB=．【點睛】本題考查數(shù)軸、數(shù)軸上兩點間的距離等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．12．根據(jù)數(shù)軸和絕對值的知識回答下列問題(1)一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n兩點之間的距離我們可用│mn│表示．例如，數(shù)軸上4和1兩點之間的距離是________.數(shù)軸上3和2兩點之間的距離是________.(2)

數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于4與2之間，則│a+4│+│a2│的值為_____________.(3)

當(dāng)a為何值時，│a+5│+│a1│+│a4│有最小值？最小值為多少？【答案】(1)3；5；（2）6；（3）當(dāng)a=1時，原式有最小值9.【分析】(1)根據(jù)題意，結(jié)合數(shù)軸即可得到結(jié)果(2)由a的范圍，利用絕對值的代數(shù)意義化簡即可(3)根據(jù)|a＋5|＋|a?1|＋|a?4|表示一點到?5，1，4三點的距離的和．即可求解．【詳解】(1)數(shù)軸上表示1和4的兩點之間的距離是3；表示3和2的兩點之間的距離是5；(2)根據(jù)題意得:4＜a＜2，即a+4＞0，a2＜0則原式=a+4+2a＝6(3)根據(jù)|a＋5|＋|a?1|＋|a?4|表示一點到?5，1，4三點的距離的和．所以當(dāng)a＝1時，式子的值最小，此時|a＋5|＋|a?1|＋|a?4|的最小值是9．故答案為:(1)3；5；（2）6；（3）當(dāng)a＝1時，原式有最小值9.【點睛】本題主要考查了